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数学
一、单选题
1. 设函数 在 处存在导数为 3,则 ( )
A. B. 1 C. 3 D. 9
2. 函数 的定义域为开区间 ,导函数 在 内的图象如图所示,则函数 在开区间 内的极小值点有( )
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
3. 有 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱, 可有不同的投入方法种数为( )
A. 81 B. 64 C. 27 D. 24
4. 曲线 过坐标原点的切线方程为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则 ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
6. 在 的展开式中,含 的项的系数为( )
A. -40 B. 40 C. -80 D. 80
7. 设 ，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 31 D. 32
8. 若函数 在 上有最大值,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 若函数 在区间 上不单调,则实数 的可能取值是( )
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
10. 象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值. 它具有红、黑两种阵营，将、 士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有 3 个红色的“马”“车”“炮”棋子与 2 个黑色的“马”“车” 棋子，将这 5 个棋子排成一列，则下列说法正确的是( )
A. 共有 120 种排列方式
B. 若两个“车”相邻，则有 24 种排列方式
C. 若两个“马”不相邻，则有 72 种排列方式
D. 若红、黑棋子间隔排列, 则有 12 种排列方式
11. 关于 的展开式,下列说法正确的是( )
A. 展开式共有 6 项 B. 展开式的二项式系数之和为 64
C. 展开式各项的系数之和为 1 D. 展开式中第 4 项的二项式系数最大
三、填空题
12. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 平行,则 _____.
13. 现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名志愿者报名参加公益活动, 在某星期的星期一到星期五每天安排 1 人参加公益活动, 且每人只参加一天, 甲要求不安排在星期一, 戊要求不安排在星期五, 则不同的安排方式共有_____种。
14. 在 的展开式中, 项的系数是_____. (用数字作答)
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)当 时,求 的单调区间与最值;
(2)若 在定义域 内单调递增，求 的取值范围.
16. 从包含甲、乙 2 人的 8 人中选 4 人参加 米接力赛,求在下列条件下,各有多少种不同的排法 (结果用数字作答)
(1)甲、乙 2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙 2 人都被选中且必须跑相邻两棒；
(3)甲、乙 2 人都被选中且不能相邻两棒；
(4)甲、乙 2 人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
17. 已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 恒成立，求α的取值范围.
18. 已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
19. 已知曲线 在 处的切线方程为 ,且 .
(1)求 的解析式；
(2)求函数 的极值；
(3)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
数学参考答案
一、单选题
1. B 2. C 3. A 4. D 5. A 6. B 7. C 8. B
二、多选题
9. CD 10. ACD 11. BCD
三、填空题
12. 13. 78 14. -40
四、解答题
15. 解: (1) 当 时, .
令 ,即 ,解得: ;
令 ,即 ,解得: ;
在 时取得极小值,亦为最小值,即 .
当 时,函数 的单调增区间是 ,递减区间为 , 的最小值为: ;
(2) .
在 上单调递增, 恒成立,
即 恒成立.
时, .
即 的取值范围为 .
16. 解: (1) 甲乙两人在中间两棒,则有 种排法,
从剩下 6 人选出 2 人排列到两边,有 种排法,
则共有 种排法.
(2)将甲乙绑定到一起，内部有 2 种排法，
从剩下 6 人选出 2 人，有 种选法，
全排列 3 个元素有 种排法,
所以共有 种排法.
(3)先从剩下 6 人选出 2 人先排列，有 种排法，
将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的 3 个空位中,以保证甲乙不相邻,有 种排法, 所以共有 种排法.
(4)若甲在第四棒，
则从剩下 6 人选出 2 人，有 种选法，
3 人全排列,共有 种排法,
此时共有 种排法,
若甲不在第四棒, 也不在第一棒, 所以甲有 2 种排列方法,
乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有 2 种排列方法，
再从剩下 6 人选出 2 人排列到剩下的两个位置,有 种排法,
此时共有 种排法,
综上,共有 种排法.
17. 解: (1) ,定义域为 ,且 ,
当 ,则 单调递增
当 ,令 ,则 ; 若 ,则 ,
综上,当 时,函数 增区间为 ,无减区间
当 时,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ;
( 2 )若 恒成立，则 恒成立，
,所以分离变量得 恒成立,
设 ,其中 ,则 ,
所以 ,
当 时, ; 当 时, .
即函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
当 时,函数 取最大值,即 ,所以
因此,实数 的取值范围是 .
18. 解: (1) 依题意, , 即 ,而 ,所以 .
(2)二项式 展开式的通项公式为 , 则 为正数, 为负数,
在 中,令 ,
令 ,得 ,
所以 .
19. 解: (1) ,
切线方程为 ,即 ,
.
( 2 )由( 1 )知 ，函数定义域为 ，
所以 ,
故当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以函数 在 处取得极大值,极大值为 ,无极小值.
(3) 令 ,
1. 当 时, ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 符合题意;
2. 当 时,设 ,
① 当 ，所以 在 上单调递增，
,所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 符合题意;
② 当 时， ，所以 在 上递增，
在 上递减, ,所以当 ,
所以 在 上单调递减, ,所以 ,舍去.
综上: .

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