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2026 年春季学期高二年级第一次月考 数学试题
考生注意:
1. 满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本卷命题范围: 人教 A 版必修第一册, 必修第二册, 选择性必修第一册, 选择性必修第二册。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 集合 (其中 为虚数单位)， ，且 ，则实数 的值为
A. -3 B. 3 C. 3 或 -3 D. -1
2. 一个做直线运动的物体,其位移 与时间 的关系是 (位移单位: ,时间单位: ),则此物体在 时的瞬时速度为
A. B. C. D.
3. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 设 为等差数列 的前 项和,已知 ,则 的值为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
5. 如图是函数 的导函数的图象，下列结论中正确的是
A. 在 上是增函数
B. 当 时, 取得最小值
C. 当 时, 取得极大值
D. 在 上是增函数，在 上是减函数
6. 已知向量 以 为基底时的坐标为 ,则 以 为基底时的坐标是
A. B. C. D.
7. 已知圆 上到直线 的距离为 1 的点有且仅有 2 个,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ,则 的大小关系正确的是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列求导数运算正确的是
A. B.
C. D.
10. 已知数列 满足 ,记数列 的前 项和为 ,则
A. B.
C. D.
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线 右支上的动点, 过 作两渐近线的垂线,垂足分别为 . 若圆 与双曲线 的渐近线相切,则下列命题正确的是
A. 其中一条渐近线的倾斜角为
B. 当点 异于顶点时, 的内切圆的圆心总在直线 上
C. 为定值
D. 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若 是函数 两个相邻的零点,则实数 _____.
13. 某高中有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为 50 的样本. 经计算得到男生身高样本均值为 ，方差为 ，女生身高样本均值为 ，方差为 . 则每个女生被抽入到样本的概率均为_____，所有样本的方差为_____ . (第一空 2 分，第二空 3 分)
14. 已知函数 ,且满足 ,则实数 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
设 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ,求 的面积.
16. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， .
(1)求证: ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
17 世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规, 其中的一种如图 1 所示. 四根等长的杆用铰链首尾链接,构成菱形 . 带槽杆 长为 ,点 间的距离为 2,转动杆 一周的过程中始终有 . 点 在线段 的延长线上,且 .
图 1
图2
( 1 )建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点 的轨迹， 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 、 两点. 记直线 、 的斜率为 、 ，证明: 为定值.
18. (本小题满分 17 分)
已知等比数列 的前 项和为 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 及数列 的前 项和 ；
(3)设 ，求 的前 项和 .
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时,若函数 的最小值为 ,证明: 曲线 在 处的切线平行于 轴；
(3)若函数 在 上有两个极值点，求实数 的取值范围.
2026 年春季学期高二年级第一次月考 · 数学 参考答案、提示及评分细则
二、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B A D C C D
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BCD AC ACD
1.B 因为 ，所以 中的 必须为实数，所以 ，此时实部恰为 -9，满足题意. 故选 B.
2.D 因为 ,所以 . 当 时, . 故选 D.
3.B 抛物线 的准线方程为 ，故选 B.
4. A 由等差数列的性质可得 ，所以 ，解得 . 故选 A.
5. 根据图象知当 时, ,函数单调递减; 当 时, ,函数单调递增. 故 A 错误, 正确; 故当 时, 取得极小值, 错误; 当 时, 不是取得最小值, B 错误. 故选 D.
6. 由题意可知 ,设 ,所以 , 解得 ,则 ,则 以 为基底时的坐标是 . 故选 C.
7. 由题意，圆 的圆心为 ,半径 ,
圆心 到直线 的距离 ,
由圆上到直线 的距离为 1 的点有且仅有 2 个,
得 ,即 ,解得 或 . 故选 C.
8. ,设 ,当 时, ,当 时, ,故 在 上单调递增,当 上单调递减. 故 ,故 ,又 ,即 ,故选 D.
9.BCD 对于 ,故 错误;
对于 ,由指数函数求导公式可得 ,故 正确;
对于 ,故 正确;
对于 ,故 正确. 故选 BCD.
10. AC 因为 ,所以 ,
,所以数列 是以 3 为周期的周期数列,所以
,故 A 正确, B 错误;
因为 ,
所以 ,故 C 正确;
,故 D 错误. 故选 AC.
11. ACD 双曲线 的渐近线是 ,圆 的圆心坐标是 ,半径是 1 ,
因为圆 与双曲线 的渐近线相切,则 ,解得 (负值舍去)，
渐近线的斜率 或 正确;
设 的内切圆与三边的切点分别为 ,如图,
由圆的切线性质,得 ,
又 ,所以 ,解得 ,
因此内心 在直线 上,即直线 上, B 错误;
设 ,则 ,即 ,
渐近线方程是 ,不妨设 在 上,
则 ,
所以 为常数, 正确;
直线 的方程是 ,倾斜角为 ,所以 ,
则 ,
当且仅当 ,即 为双曲线 的右顶点时等号成立, 正确. 故选 ACD.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 由题知 ,又 ,则 ,解得 .
13. 依题意,每个女生被抽入到样本的概率等于抽样比 . 由分层抽样知,样本中男生有 人,女生有 人, 则所有的样本均值为: , 所以所有样本的方差 .
14.1 令 ,则 为奇函数,且 单调递增. 由 得 ,即 ,则 . 令 ,则 ,当 时 单调递减,当 时, 单调递增,故 时 取最小值 0,故不等式 的解为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15. 解: (1) 由正弦定理得 , 2 分
可得 5 分由 ,得 ,由 为三角形内角,可得 . 7 分
(2)因为 ,所以由正弦定理可得 8 分因为 ,可得 ,所以 , 11 分
所以 . 13 分
16. ( 1 )证明:由 平面 ，得 ，
由 ，得 ， 2 分
， 3 分
平面 ，
平面 . 5 分
(2)解:以射线 为 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
则 ,
8 分
设平面 的法向量 .
则由 即 11 分
取 ,则 . 14 分
故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. ( 1 )解:由已知可得 . 1 分
又 ,
所以点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆. 3 分
设椭圆的方程为 ，
则 ，所以 ， 5 分
所以点 的轨迹 的方程为 . 6 分
(2)证明:(1)当直线 斜率存在时,如图 1，设 ，
联立直线与椭圆方程 ，可得 ， 8 分
显然 ,设 ,则 , 9 分
由已知得 ,则 ,所以 11 分
又
则 . 13 分
图 1
图 2
当直线 斜率不存在时,直线 垂直于 轴,如图 2,显然 ,可得 ,即 .
14 分
综上所述， 为定值 0 . 15 分
18. 解: (1) 由题意得: ,可得 ,
由 ,可得 ,由 ,可得 ,可得 , 3 分可得 . 4 分
(2)由 ，可得 ， 5 分
由 ,可得 ,可得 , 6 分
可得 的通项公式: ,
可得: ① 7 分
② 8 分
①-②得: , 10 分
可得 . 11 分
(3)由 可得 , 15 分可得: 17 分
19.(1)解:当 时， ， 1 分
当 时, ,当 时, , 2 分所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 3 分
(2)证明: ，则 . 4 分
令 ,得 , 5 分
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 6 分
所以 , 7 分
由题意可知, ,解得 . 8 分
所以 ,则 ,
又 ,则 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 , 9 分
故曲线 在 处的切线平行于 轴. 10 分
(3)解: 在 上有两个零点，即方程 在 上有 2 个根. 11 分
设 ,则 ,
令 ,则 ,所以 在 上单调递增, 即 在 上单调递增, 13 分
又 ,则当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 14 分
则 ,当 时, ,当 时, , 15 分
由题意可知,直线 与曲线 有两个交点,则 ,
故实数 的取值范围为 . 17 分

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