资源简介

数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:人教 A 版必修第一册第五章第 5 节 二 第 6 节，必修第二册第六章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1.
A. B. C. D. 0
2. 下列命题中正确的是
A. 零向量没有方向
B. 共线向量一定是相等向量
C. 若向量 同向，且 ，则
D. 单位向量的模都相等
3. 已知向量 ，若 ，则
A. -3 B. 0 C. 3 D. 4
4. 在 中, ,则
A. B.
C. D.
5. 已知在 中, 是线段 上靠近 的四等分点,则
A. B.
C. D.
6. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则
A. B. C. D.
7. 若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 已知正方形 的边长为 4,点 满足 ,则 的最大值为
A. 0 B. -16 C. 12 D. -12
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 在下列各组向量中, 不能作为基底的是
A. B.
C. D.
10. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 ,若 有且只有一个,则 的值可以是
A. 1 B. C. D.
11. 受潮汐影响，某港口一天的水深 (单位:m)与时刻 的部分记录如下表:
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
若该天从 与 的关系可近似地用函数 来表示，则下列结论正确的是
A.
B.
C. 时的水深约为
D. 一天中水深低于 的时间为 4 小时
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 若从同一发射源射出的两个粒子 在某一时刻的位移分别为 ,则该时刻 相对于 的位移的坐标为_____.
13. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 在 上的投影向量为_____.
14. 如图,某湖泊沿岸有 四个镇,已知 镇与 镇之间的距离为 镇与 镇之间的距离为 ,测得 ,则 两镇之间的距离为_____km.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知向量 .
(1)求 . ；
(2)当 为何值时， 与 共线
16. (本小题满分 15 分)
已知 分别为 的内角 所对的边.
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
17. (本小题满分 15 分)
将 图象上每个点的横坐标都缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向上平移 1 个单位长度，得到 的图象.
(1)求 的单调递增区间；
(2)求 的图象的对称轴方程；
(3)求不等式 的解集.
18.(本小题满分 17 分)
设锐角 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)若 ，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
如图，在 中， 分别是边 上的点， 与 交于点 ，且
(1)若 ， .
(i)求 的值；
(ii)求 的值；
(2)若存在实数 ，使得 ，求 的取值。 范围.
参考答案、提示及评分细则
1.C . 故选 C.
2.D 零向量的方向是任意的，并不是没有方向，所以 A 错误；共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，所以 B 错误；由于向量不能比较大小，所以 C 错误；由单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为 1 , 所以 D 正确. 故选 D.
3. A 由 ,得 ,解得 . 故选 A.
4. B 因为 ,所以 ,又因为 ,所以 ,所以 . 故选 B.
5. A 由题意可知 . 故选 A.
6. 由余弦定理得 ,所以 . 故选 D.
7. C 因为 ,则 ,由函数 在区间 上单调递减,可知 , 解得 . 综上可知, 的取值范围是 . 故选 C.
8.D 如图所示，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系,则 ,因为 ,所以 , 所以当 时, 取得最大值 -12 . 故选 D.
9. BCD 对于 不共线,可以作为基底; 对于 方向相反,共线,不能作为基底; 对于 , 共线,不能作为基底; 对于 ,则 方向相同,共线,不能作为基底. 故选BCD.
10. 由正弦定理，得 ，所以 ，当 时， ，又 ，所以 ，或 ,当 时, ,不合题意,此时 有且只有一个, 正确; 当 时, ,又 ,所以 ,或 ,当 时, ,不合题意,此时 有且只有一个, B正确; 当 时, ,又 ,所以 ,或 ,此时 有两个, 错误; 当 ，此时 不存在，D错误. 故选 AB.
11.BC 由数据可知 ,所以 , A 错误; , 正确; 由 ,可得 6.25, C 正确; 由 ,得 ,或 ,故水深低于3.75 的时间为 8 小时, D 错误. 故 BC.
12. 相对于 的位移为 .
13. 在 上的投影向量为 .
14. 在 中,由余弦定理得 63,则 ,在 Rt 中, ,在 中,由正弦定理得 ,所以 ,故 ,在 中, ,所以 .
15. 解: (1) 由 ,得 ,解得 . 3 分所以 . 5 分 (2) ， 7 分 9 分因为 与 共线,所以 , 11 分解得 . 13 分
16. 解: (1) 由 及正弦定理得 , 2 分所以 , 5 分因为 ,
所以 . 7 分
(2)法一:因为 ,
由余弦定理得 ,即 ,
解得 (负值舍去), 10 分
由 ,得 , 12 分
由正弦定理得 ,得 . 15 分
法二: 由 及 ,得 ,
由正弦定理 ，得 ， 11 分
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 . 15 分
17. 解: (1) , 2 分
因为 的递增区间为 ,
令 ,
得 ,
所以 的递增区间为 . 5 分
(2)令 ，
得 ,
所以 图象的对称轴的方程为 . 10 分
(3)由 ，得 ，
所以 ,
解得 ,
所以 的解集为 . 15 分
18. 解: (1) 由正弦定理得 , 2 分
所以 , 3 分
又 ,所以 . 4 分
(2)由余弦定理得 ， 6 分
解得 ， 7 分
故 的面积为 . 9 分
(3)由 ,得 ,所以 , 10 分
因为 ,所以 , 11 分
则
14 分
因为 为锐角三角形,所以 ,则 ,
所以 ,故 , 16 分
因此 的取值范围为 . 17 分
19. 解:(1)(i)因为 ，所以 ， 2 分
又 ,所以 , 4 分
所以 6 分
(ii) 因为 ,所以 ,
设 ，则 ， 8 分
因为 三点共线,所以 ,所以 ,即 . 10 分
(2)因为 ,所以 ， 11 分
因为存在 ,使得 ,
则 13 分
整理得 ， 14 分
显然函数 在 上单调递增,所以 , 16 分所以 的取值范围是 . 17 分

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