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安徽省太湖中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题A
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
4.在中，是线段上的靠近的三等分点，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知为单位向量，，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
7.安庆振风塔，始建于年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有“万里长江第一塔”的美誉如图，某同学测量振风塔高度时，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，，则该塔高为 参考数据：
A. B. C. D.
8.已知函数若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，，，则下列结论正确的是( )
A. 线段的中点的坐标为
B. 若，则点的坐标为
C. 若，则
D. 若，则向量，可以作为平面内的一组基底
10.已知，是复数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D. 若，则
11.已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若是非零向量，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，则
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
13.在复平面内，将复数对应的向量绕坐标原点沿逆时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为 ．
14.已知为的外心，且满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，．
若复数是纯虚数，求的值
若是关于的方程的一个根，求的值．
16.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，，．
求；
若，角的平分线交于，求的长．
17.本小题分
小王同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
请将上表数据补充完整，并直接写出的解析式及其图象的对称轴方程；
若函数在上恰有个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点．
用向量，表示，．
若，，求的值；
若，求的取值范围．
19.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
若，，等边的顶点，，分别在边，，上不含端点，求的面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
因为是纯虚数，所以且，解得．
因为是关于的方程的一个根，
所以，整理得，
所以解得，，
所以．
16.解：由，，及余弦定理得
，
所以，故．
因为，所以，，
由题意可知，，
所以，
即，
解得．
17.解：由题意可知，可得，，易知，
数据补全如下表：
所以，图象的对称轴方程是，．
令，得．
当时，，
则函数在上恰有个零点，
等价于当时，的图象与直线恰有一个交点，
所以或，解得或，
即实数的取值范围是．
18.解：由题意可知，，
．
若，，，
设，，，
则，，
，
因为，不共线，所以，解得
所以，所以．
由题意可知，
若，则，
，
当时，
则
所以的取值范围为．
19.解：因为，所以，
由正弦定理得，
而，
所以，
因为，所以，解得舍去，
因为，所以，即．
由知，由正弦定理得，所以，，
又，
所以的周长
，
因为是锐角三角形，所以，所以，所以，
又，所以，
所以．
即的周长的取值范围是．
设，，则，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
所以．
在中，，，所以，
所以，，
所以，
因为，
其中，，
当，即时，等号成立，
所以，
所以，即的面积的最小值为．

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