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浙江衢州第三中学等校2025-2026学年第二学期期中联考高二
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，且，则实数的值是( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
3.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.，，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在四面体中，为线段上一点为线段上一点，且，则等于( )
A. B. C. D.
6.在长方体中，，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
7.甲乙丙等人站成一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列为
若，则( )
A. B. C. D.
10.已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于两点，在两点处的切线相交于点，的中点是，若，则( )
A. B. 抛物线的准线方程是
C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上
11.设函数在上的最大值为，则( )
A. B. 的极小值为
C. 时，都有 D. 有两个极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，二项式系数的和是，则展开式中各项系数的和为 ．
13.已知复数，，，是虚数单位，若，则 ．
14.已知双曲线的左右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于两点，且，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
我校有两个相互独立的消防安全警报系统简称系统甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和．
若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
设系统甲在次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求数列的通项公式；
记，求的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，是的中点，
求到平面的距离；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知过点的椭圆的离心率为．
求的方程；
如图，和是过椭圆左焦点的弦，且，点为直线与的交点．
求四边形面积的最大值．
若点，分别是弦，的中点，求面积的最大值．
19.本小题分
若对且，函数满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
判断函数是否是函数在区间上的级控制函数，并说明理由；
若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；
若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：设“至少有一个系统不发生故障”为事件，
那么，解得．
由题意，的可能取值为，
则，
，
，
，
所以随机变量的概率分布列为：
所以
16.解：由题意知，所以由，得，
所以，又，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，即．
由得，
所以，
，
得
，
所以．
17.解：因为是的中点，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又平面平面，作交于点平面，
所以平面， 则为三棱柱的高，
又，所以，
又，所以，则，即为等腰直角三角形，
所以
即到平面的距离为；
如图以为轴，为轴，过点作与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
所以，．
设平面的法向量为，
则，所以
令，则，
则平面的法向量为
设平面的法向量为，
则，所以
令，则，
则平面的法向量为．
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角余弦值为
18.解：依题意可得，解得，
所以椭圆方程为；
若直线的斜率存在且不为，
设直线：，，
联立，得，
则，
则，
因为，所以可同理得，
则，
令，则，
因为，所以，则
若直线的斜率不存在，
令，得，得，故，
则，
若直线的斜率为，同上，，
综上，四边形面积的最大值为
设分别是与的交点，取的中点，连接
因为，所以，则，则，
同理可得，
故，
故面积的最大值为．
19.解：函数是函数在区间上的级控制函数．
由题意可知，
，
，
，
，
，
，即成立，
所以函数是函数在区间上的级控制函数．
由函数是函数在区间上的级控制函数，
得，
，
，
在上恒成立，
令，则在上恒成立，
即在上单调递增，
故在上恒成立，即，
在恒成立 即，
在上单调递减，
时，最小值为
综上，实数的取值范围是．
因为函数在区间上存在两个零点，
所以我们不妨设，且，
因为函数是函数在区间上的级控制函数，
所以，即，
，可以得到，
，
，
要证，即证，
即证，即证，
令，构造，
，
在上单调递增，
，即成立，
得证．

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