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湖南省湘西土家族苗族自治州凤凰县2025年中考数学模拟试卷1
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．下列四个数中，是负整数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：A、是负整数，故A符合题意，
B、是负分数，故B不符合题意，
C、既不是整数也是分数，故C不符合题意，
D、是正整数， 故D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】
根据有理数的概念：可以化为分数形式的数称为有理数，其中整数是正整数、0与负整数的统称，据此解答即可．
2．如图是由3个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面可看，可得如下图形，
故答案为：B．
【分析】从小正方体搭成的几何体上面向下看得到的平面图形是俯视图，该小正方体搭成的几何体的俯视图有两行两列，从上至下，各行小正方形的个数依次为1，1；从左至右，各列小正方形的个数依次为1，1，从而判断得出答案.
3．《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行。
故答案为：C．
【分析】根据光的反射定律，反射角等于入射角，观察示意图，光线经过平面镜1反射后，再经过平面镜2反射，最终进入眼睛；由于两个平面镜平行，结合反射角等于入射角可推出两次反射过程中，对应角满足内错角相等得关系，从而根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”最终得到一组光线平行.
4．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的除法法则、积的乘方法则、负整数指数幂、零指数幂进行运算即可得出答案.同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；负整数指数幂： (，p为正整数)；零指数幂：.
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 ，
当a＞0，b＞0时，则一次函数的图像经过第一、三、四象限，二次函数的图像开口向下，且与一次函数交于y轴的负半轴的点（0，-b），
当a＞0，b＜0时，则一次函数的图像经过第一、二、三象限，二次函数的图像开口向下，且与一次函数交于y轴的正半轴的点（0，-b），
当a＜0，b＞0时，则一次函数的图像经过第二、三、四象限，二次函数的图像开口向上，且与一次函数交于y轴的负半轴的点（0，-b），
当a＜0，b＜0时，则一次函数的图像经过第一、二、四象限，二次函数的图像开口向上，且与一次函数交于y轴的正半轴的点（0，-b），
由此可知，图像A、B、C错误，D正确，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象和二次函数图象与系数的关系进行解答即可.
6．为建设平安校园，某校开展安全宣讲周活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任遗项参加：交通安全宣讲；食品安全宣讲；预防溺水宣讲，则小明和小丽选择参加同一项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，列表如下：
　
①① ①② ①③
②① ②② ②③
①③ ②③ ③③
由上表可知， 小明和小丽选择的项目共有种等可能结果，其中小明和小丽选择参加同一项目的有种结果，
∴小明和小丽选择参加同一项目的概率=，
故答案为：．
【分析】根据题意列出所有的等可能结果，再找出符合题意的数量，最后由概率公式进行计算.
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意．
故答案为∶D．
【分析】三角形三内角角平分线的交点就是三角形的内心，三角形的内心到三角形三边得距离相等，据此可判断A选项；由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断B选项；由两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可判断C选项；由对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断D选项.
8．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4 i=i，i6=i5 i=﹣1，
可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i。
故选D。
9．如图，在中，， ， 以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法①是的平分线②③点在的垂直平分线上④其中正确的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题目中的作图过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确，
∵在中，，，
∴∠CAB=90°-∠B=60°，
是的平分线，
∴∠BAD=，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°，故②正确，
∵∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确，
∵AD是的平分线，
∴∠CAD=，
∵∠C=90°，
∴AD=2CD，
∵AD=BD，
∴BD=2CD，故④正确，
综上所述，①②③④都正确，故正确的个数是4，
故答案为：A.
【分析】①根据作图的过程结合尺规作图—角平分线即可判断①，根据角平分线的概念可得∠BAD=30°，再由三角形外角的性质即可判断②，根据等角对等边可得BD=AD，即可判断③，由角平分线的概念，结合含30°角的直角三角形的性质即可判断④，进而即可得出答案.
10．圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是(　　)
A．150° B．200° C．180° D．240°
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设这个圆锥的圆心角为n°，
根据题意可得：，解得：n=200，
即这个圆锥的圆心角为200°，
故答案为：B．
【分析】设这个圆锥的圆心角为n°，根据圆锥的侧面展开图是扇形，再根据扇形的弧长等于圆锥底面周长，结合弧长公式列方程求解即可．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下173℃的高温超导材料.我们把高于0℃的温度记为正数，温度零下173℃可记为　 　℃.
【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为．
故答案为：-173．
【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故若高于0℃的温度记为正数， 则低于0℃的温度记为负数，据此解答即可.
12．若 为任意实数，则 的最小值是　 　.
【答案】0
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵m是任意实数，
∴m+2019为任意实数，
∴ ≥0，
故答案为0.
【分析】先得出m+2019的范围，再根据绝对值的性质得出结果.
13．已知直线y＝2x＋1经过P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）两点，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝2x＋1经过P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）两点，
∴k=2＞0，
∴根据一次函数的性质可知，y随x的增加而增加，
∵3＞-2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，当k＜0，y随x的增大而减小即可得出答案.
14．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义 ，
∴x≠0且x+3≥0，
解得：x≥-3且x≠0，
故答案为：x≥-3且x≠0.
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可得出答案．
15．在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，AD是角平分线，CD=3cm，点P在边AB上运动（不与端点A，B重合），则线段DP的长度范围为　 　．
【答案】3≤DP＜6
【知识点】含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
∵AD是角平分线，∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵∠ACB＝90°，CD＝3cm，
∴AD＝2CD＝6cm，
过D作DF⊥AB于F，
∴∠AFD＝90°，
∴FD＝AD＝3cm，
∵FD≤DP＜AD，
∴线段DP的长度范围为3≤DP＜6，
故答案为：3≤DP＜6．
【分析】由角平分线的概念可得∠CAD＝∠BAD＝30°，再由直角三角形的性质可得AD＝2CD＝6，过D作DF⊥AB于F，由含30°角的直角三角形的性质可得FD＝AD＝3cm，进而即可得出答案.
16．如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA1＝：2，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为 　 　．
【答案】
【知识点】相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是以点O为位似中心的位似图形，且OA：OA1＝：2，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比=（）2 ：（2）2=，
故答案为：．
【分析】根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可得出答案．
17．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为　 　．
【答案】2025
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：找规律发现：（a+b）1的第二项系数为2；
的第二项系数为；
的第二项系数为；
的第二项系数为；
的第二项系数为；
由此可知，的第二项系数为；
∴第二项系数为，
故答案为：．
【分析】根据题目中的信息找出第二项的系数的规律，即可求出的展开式中第二项的系数．
18．如图所示，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上.已知，，，设，矩形的面积为，则关于的函数关系式为　 　.（不必写出定义域）
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；二次函数的实际应用-几何问题；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，交DG于点P，如图所示：
∵AC=6，AB=8，BC=10，
∴AC2+AB2=62+82=102=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=AB·AC=BC·AH，
∴AH===4.8，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，DG=EF，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴，
即，
∴AP=0.48x，
∴PH=AH-AP=4.8-0.48x，
∴，
故答案为：.
【分析】 过点A作AH⊥BC，垂足为H，交DG于点P， 根据题意易得△ABC是直角三角形，可求得AH==4.8，再由矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上易得△ADG∽△ABC，可求得，进而得AP=0.48x，PH=AH-AP=4.8-0.48x，再根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式即可.
三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程组：
【答案】解：由①得：y=2x+2③，
将③代入②，得：7x-3（2x+2）=-5，
解得：x=1，
将x=1代入③，得：y=2×1+2=4，
∴原方程组的解是.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可得出答案.
20．先化简再求值： ，其中．
【答案】解：原式=
=
=
=；
当a=3时，原式==1.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】按照分式混合运算的法则将分式进行化简，再代入求值即可得出答案．
21．为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评.为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号.为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩.数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88
整理、描述数据：
成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 3 2 1 2 1
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数 众数 中位数
93
应用数据
（1）由上表填空：________，________，________，________，
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为________分.
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前的学生“禁毒小卫士”荣誉称号.请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由.
【答案】解：（1）5，3，90，91；
（2）91；
（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分，
理由： 七年级授予测评成绩前的学生人数=20×30%=6，
由题中数据可知，99分的学生有1名，98分的学生有2名，97分的学生有3名，1+2+3=6（名），
∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分.
【知识点】中位数；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）由收集的数据可知，90分的学生有5名，97分的学生有3名，结合表中数据可知，90分的学生人数最多，故众数是90，第10名和第11名得学生分数都是91，故中位数是91，
故答案为：5；3；90；91；
（2）根据题意可知：20×50%=10（名），
结合（1）中数据可知，该校想确定七年级前的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为91分，
故答案为：91.
【分析】（1）由收集的数据即可求得a、b的值，由众数和中位数的概念即可得出答案；（2）根据“七年级前的学生为“良好”等次”即可得出答案；
（3）根据表中的数据结合“年级授予测评成绩前的学生“禁毒小卫士”荣誉称号”由即可得出答案．
22．如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A0N平行，长度均为2.4米，B，B0分别在AM和A0N上滑动，且始终保持点B0，C1，A1成一直线．
(1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的 性；
(2)为了安全，该平台在作业时∠B1不得超过40°，求平台高度(AA0)的最大值．(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果保留小数点后一位)．
【答案】解：（1）不稳定；
（2）由图可知，∠B1=40°，平台高度（AA0）取得最大值，
∴AA0≤2.4×sin20°×4＝3.264≈3.3(米)
答：平台高度(AA0)的最大值为3.3米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：(1)∵四边形具有不稳定性，
故答案为：不稳定．
【分析】(1)由四边形的不稳定性即可得出答案；
(2)由图可知，∠B1=40°，平台高度（AA0）取得最大值，进而即可得出答案.
23．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台．已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
【答案】解：设商店应将学习机的售价定为x元，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：商店应将学习机的售价定为1300元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设商店应将学习机的售价定为x元，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
24．如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接．
（1）求的度数；
（2）若的半径为3，，求的长．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
则，
∴，
∵=，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD=∠OCA，
∴ADOC，
∵过点C作O的切线交AB的延长线于点P，
∴PCOC，
∴∠E=∠OCP=90°，
∴∠E的度数是90°.

（2）∵∠E=∠OCP=90°，O的半径为3，sinP=，
∴OC=OA=3，，
∴OP=OC=×3=5，
∴AP=OA+OP=3+5=8，
∴AE=AP=×8=，
∴AE的长是.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；已知正弦值求边长；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）连接，由等边对等角可得，由=，可得∠BAC=∠CAD，则∠CAD=∠OCA，可推出，再根据切线的性质可证明PC⊥OC，进而即可得到答案；
（2）由OC=OA=3，，可求得OP=5，则AP=8，进而即可得出答案.
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
25．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
（3）如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”；
（4）如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
【答案】（1）解：，
为等腰三角形，
则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线，
，
，，
如图所示，即为所求：
（2）解：不能，理由：如图2，
若直线平分的面积，那么，
，
，
，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”．
（3）证明：连接、，设，如图：
垂直平分，
，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，
，，
，，
，
，
，
∴，
∴直线为四边形的“等分积周线”．
（4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，
理由：由作图可得：，
在上取一点G，使得，则有，
，
，
在和中
，
，
，
又易得，
，
，
∴，
是的“等分积周线”．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法及步骤作出∠B的角平分线即可；
（2）利用“直线平分的面积”可得AD=BD，再结合，即可得到过点C不能画出一条“等分积周线”；
（3）连接、，设，利用勾股定理可得，即，求出x的值，再结合，可得，从而可得直线为四边形的“等分积周线”；
（4）在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，先利用“SAS”证出，可得，再结合，可得，从而可得EF是的“等分积周线”．
（1）解：，
为等腰三角形，
则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线，
，
，，
如图所示，即为所求：
（2）解：不能，
理由：如图2，
若直线平分的面积，那么，
，
，
，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”．
（3）证明：连接、，设，如图：
垂直平分，
，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，
，，
，，
，
，
，
，
∴直线为四边形的“等分积周线”．
（4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，
作直线，则是的“等分积周线”，
理由：由作图可得：，
在上取一点G，使得，则有，
，
，
在和中
，
，
，
又易得，
，
，
，
是的“等分积周线”．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点P是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接交于点，当时，求点P的坐标；
（3）设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设．求出关于的函数解析式
【答案】（1）解：根据题意可知，点A（3，0），点B（0，-3）在抛物线上，
∴将点A、点B代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：.
（2）解：设直线的解析式为：，
∵点A、点B在直线AB上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线AB下方抛物线y=x2-2x-3上一动点，横坐标为，
∴，
过点作轴交于点，如图所示：
则点D（m，m-3），
∴PD=，
∵PD∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
∴解得，，
当时，，
即，
当时，
，
即，
由此可知，当时，点的坐标为或.
（3）解：设二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标为E，点B关于对称轴的对称点的为F，如图所示：
∵二次函数的表达式为y=x2-2x-3，
∴对称轴为直线x=1，点E（1，-4），
由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，
∴，
当时，，
解得：，
∴点，
①当时，，
∴，
②当时，，
∴，
③当时，，
∴，
由以上可知，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，由题意可知， 过点作轴交于点，则点D（m，m-3），可得，易证，可得，进而得出，解方程得，进而即可得出答案；
（3）设二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标为E，点B关于对称轴的对称点的为F，则对称轴为直线x=1，点E（1，-4），由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，可得，进而可得点，再分①当时，②当，③当时三种情况情况讨论即可得出答案.
（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为，
∴，
如图所示，过点作轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，
即，
当时，，
即，
综上所述，当时，点的坐标为或；
（3）解：二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为，
∴对称轴直线为，即
由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，
∴，
令时，，
解得，，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，；
1 / 1湖南省湘西土家族苗族自治州凤凰县2025年中考数学模拟试卷1
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．下列四个数中，是负整数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是由3个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
4．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．为建设平安校园，某校开展安全宣讲周活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任遗项参加：交通安全宣讲；食品安全宣讲；预防溺水宣讲，则小明和小丽选择参加同一项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
8．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
9．如图，在中，， ， 以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法①是的平分线②③点在的垂直平分线上④其中正确的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
10．圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是(　　)
A．150° B．200° C．180° D．240°
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下173℃的高温超导材料.我们把高于0℃的温度记为正数，温度零下173℃可记为　 　℃.
12．若 为任意实数，则 的最小值是　 　.
13．已知直线y＝2x＋1经过P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）两点，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
15．在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，AD是角平分线，CD=3cm，点P在边AB上运动（不与端点A，B重合），则线段DP的长度范围为　 　．
16．如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA1＝：2，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为 　 　．
17．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为　 　．
18．如图所示，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上.已知，，，设，矩形的面积为，则关于的函数关系式为　 　.（不必写出定义域）
三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程组：
20．先化简再求值： ，其中．
21．为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评.为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号.为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩.数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88
整理、描述数据：
成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 3 2 1 2 1
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数 众数 中位数
93
应用数据
（1）由上表填空：________，________，________，________，
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为________分.
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前的学生“禁毒小卫士”荣誉称号.请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由.
22．如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A0N平行，长度均为2.4米，B，B0分别在AM和A0N上滑动，且始终保持点B0，C1，A1成一直线．
(1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的 性；
(2)为了安全，该平台在作业时∠B1不得超过40°，求平台高度(AA0)的最大值．(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果保留小数点后一位)．
23．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台．已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
24．如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接．
（1）求的度数；
（2）若的半径为3，，求的长．
25．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
（3）如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”；
（4）如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点P是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接交于点，当时，求点P的坐标；
（3）设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设．求出关于的函数解析式
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：A、是负整数，故A符合题意，
B、是负分数，故B不符合题意，
C、既不是整数也是分数，故C不符合题意，
D、是正整数， 故D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】
根据有理数的概念：可以化为分数形式的数称为有理数，其中整数是正整数、0与负整数的统称，据此解答即可．
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面可看，可得如下图形，
故答案为：B．
【分析】从小正方体搭成的几何体上面向下看得到的平面图形是俯视图，该小正方体搭成的几何体的俯视图有两行两列，从上至下，各行小正方形的个数依次为1，1；从左至右，各列小正方形的个数依次为1，1，从而判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行。
故答案为：C．
【分析】根据光的反射定律，反射角等于入射角，观察示意图，光线经过平面镜1反射后，再经过平面镜2反射，最终进入眼睛；由于两个平面镜平行，结合反射角等于入射角可推出两次反射过程中，对应角满足内错角相等得关系，从而根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”最终得到一组光线平行.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的除法法则、积的乘方法则、负整数指数幂、零指数幂进行运算即可得出答案.同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；负整数指数幂： (，p为正整数)；零指数幂：.
5．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 ，
当a＞0，b＞0时，则一次函数的图像经过第一、三、四象限，二次函数的图像开口向下，且与一次函数交于y轴的负半轴的点（0，-b），
当a＞0，b＜0时，则一次函数的图像经过第一、二、三象限，二次函数的图像开口向下，且与一次函数交于y轴的正半轴的点（0，-b），
当a＜0，b＞0时，则一次函数的图像经过第二、三、四象限，二次函数的图像开口向上，且与一次函数交于y轴的负半轴的点（0，-b），
当a＜0，b＜0时，则一次函数的图像经过第一、二、四象限，二次函数的图像开口向上，且与一次函数交于y轴的正半轴的点（0，-b），
由此可知，图像A、B、C错误，D正确，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象和二次函数图象与系数的关系进行解答即可.
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，列表如下：
　
①① ①② ①③
②① ②② ②③
①③ ②③ ③③
由上表可知， 小明和小丽选择的项目共有种等可能结果，其中小明和小丽选择参加同一项目的有种结果，
∴小明和小丽选择参加同一项目的概率=，
故答案为：．
【分析】根据题意列出所有的等可能结果，再找出符合题意的数量，最后由概率公式进行计算.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意．
故答案为∶D．
【分析】三角形三内角角平分线的交点就是三角形的内心，三角形的内心到三角形三边得距离相等，据此可判断A选项；由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断B选项；由两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可判断C选项；由对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4 i=i，i6=i5 i=﹣1，
可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i。
故选D。
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题目中的作图过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确，
∵在中，，，
∴∠CAB=90°-∠B=60°，
是的平分线，
∴∠BAD=，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°，故②正确，
∵∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确，
∵AD是的平分线，
∴∠CAD=，
∵∠C=90°，
∴AD=2CD，
∵AD=BD，
∴BD=2CD，故④正确，
综上所述，①②③④都正确，故正确的个数是4，
故答案为：A.
【分析】①根据作图的过程结合尺规作图—角平分线即可判断①，根据角平分线的概念可得∠BAD=30°，再由三角形外角的性质即可判断②，根据等角对等边可得BD=AD，即可判断③，由角平分线的概念，结合含30°角的直角三角形的性质即可判断④，进而即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设这个圆锥的圆心角为n°，
根据题意可得：，解得：n=200，
即这个圆锥的圆心角为200°，
故答案为：B．
【分析】设这个圆锥的圆心角为n°，根据圆锥的侧面展开图是扇形，再根据扇形的弧长等于圆锥底面周长，结合弧长公式列方程求解即可．
11．【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为．
故答案为：-173．
【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故若高于0℃的温度记为正数， 则低于0℃的温度记为负数，据此解答即可.
12．【答案】0
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵m是任意实数，
∴m+2019为任意实数，
∴ ≥0，
故答案为0.
【分析】先得出m+2019的范围，再根据绝对值的性质得出结果.
13．【答案】＞
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝2x＋1经过P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）两点，
∴k=2＞0，
∴根据一次函数的性质可知，y随x的增加而增加，
∵3＞-2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，当k＜0，y随x的增大而减小即可得出答案.
14．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义 ，
∴x≠0且x+3≥0，
解得：x≥-3且x≠0，
故答案为：x≥-3且x≠0.
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可得出答案．
15．【答案】3≤DP＜6
【知识点】含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
∵AD是角平分线，∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵∠ACB＝90°，CD＝3cm，
∴AD＝2CD＝6cm，
过D作DF⊥AB于F，
∴∠AFD＝90°，
∴FD＝AD＝3cm，
∵FD≤DP＜AD，
∴线段DP的长度范围为3≤DP＜6，
故答案为：3≤DP＜6．
【分析】由角平分线的概念可得∠CAD＝∠BAD＝30°，再由直角三角形的性质可得AD＝2CD＝6，过D作DF⊥AB于F，由含30°角的直角三角形的性质可得FD＝AD＝3cm，进而即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是以点O为位似中心的位似图形，且OA：OA1＝：2，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比=（）2 ：（2）2=，
故答案为：．
【分析】根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可得出答案．
17．【答案】2025
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：找规律发现：（a+b）1的第二项系数为2；
的第二项系数为；
的第二项系数为；
的第二项系数为；
的第二项系数为；
由此可知，的第二项系数为；
∴第二项系数为，
故答案为：．
【分析】根据题目中的信息找出第二项的系数的规律，即可求出的展开式中第二项的系数．
18．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；二次函数的实际应用-几何问题；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，交DG于点P，如图所示：
∵AC=6，AB=8，BC=10，
∴AC2+AB2=62+82=102=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=AB·AC=BC·AH，
∴AH===4.8，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，DG=EF，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴，
即，
∴AP=0.48x，
∴PH=AH-AP=4.8-0.48x，
∴，
故答案为：.
【分析】 过点A作AH⊥BC，垂足为H，交DG于点P， 根据题意易得△ABC是直角三角形，可求得AH==4.8，再由矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上易得△ADG∽△ABC，可求得，进而得AP=0.48x，PH=AH-AP=4.8-0.48x，再根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式即可.
19．【答案】解：由①得：y=2x+2③，
将③代入②，得：7x-3（2x+2）=-5，
解得：x=1，
将x=1代入③，得：y=2×1+2=4，
∴原方程组的解是.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可得出答案.
20．【答案】解：原式=
=
=
=；
当a=3时，原式==1.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】按照分式混合运算的法则将分式进行化简，再代入求值即可得出答案．
21．【答案】解：（1）5，3，90，91；
（2）91；
（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分，
理由： 七年级授予测评成绩前的学生人数=20×30%=6，
由题中数据可知，99分的学生有1名，98分的学生有2名，97分的学生有3名，1+2+3=6（名），
∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分.
【知识点】中位数；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）由收集的数据可知，90分的学生有5名，97分的学生有3名，结合表中数据可知，90分的学生人数最多，故众数是90，第10名和第11名得学生分数都是91，故中位数是91，
故答案为：5；3；90；91；
（2）根据题意可知：20×50%=10（名），
结合（1）中数据可知，该校想确定七年级前的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为91分，
故答案为：91.
【分析】（1）由收集的数据即可求得a、b的值，由众数和中位数的概念即可得出答案；（2）根据“七年级前的学生为“良好”等次”即可得出答案；
（3）根据表中的数据结合“年级授予测评成绩前的学生“禁毒小卫士”荣誉称号”由即可得出答案．
22．【答案】解：（1）不稳定；
（2）由图可知，∠B1=40°，平台高度（AA0）取得最大值，
∴AA0≤2.4×sin20°×4＝3.264≈3.3(米)
答：平台高度(AA0)的最大值为3.3米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：(1)∵四边形具有不稳定性，
故答案为：不稳定．
【分析】(1)由四边形的不稳定性即可得出答案；
(2)由图可知，∠B1=40°，平台高度（AA0）取得最大值，进而即可得出答案.
23．【答案】解：设商店应将学习机的售价定为x元，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：商店应将学习机的售价定为1300元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设商店应将学习机的售价定为x元，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
24．【答案】（1）解：连接，如图所示：
则，
∴，
∵=，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD=∠OCA，
∴ADOC，
∵过点C作O的切线交AB的延长线于点P，
∴PCOC，
∴∠E=∠OCP=90°，
∴∠E的度数是90°.

（2）∵∠E=∠OCP=90°，O的半径为3，sinP=，
∴OC=OA=3，，
∴OP=OC=×3=5，
∴AP=OA+OP=3+5=8，
∴AE=AP=×8=，
∴AE的长是.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；已知正弦值求边长；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）连接，由等边对等角可得，由=，可得∠BAC=∠CAD，则∠CAD=∠OCA，可推出，再根据切线的性质可证明PC⊥OC，进而即可得到答案；
（2）由OC=OA=3，，可求得OP=5，则AP=8，进而即可得出答案.
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
25．【答案】（1）解：，
为等腰三角形，
则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线，
，
，，
如图所示，即为所求：
（2）解：不能，理由：如图2，
若直线平分的面积，那么，
，
，
，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”．
（3）证明：连接、，设，如图：
垂直平分，
，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，
，，
，，
，
，
，
∴，
∴直线为四边形的“等分积周线”．
（4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，
理由：由作图可得：，
在上取一点G，使得，则有，
，
，
在和中
，
，
，
又易得，
，
，
∴，
是的“等分积周线”．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法及步骤作出∠B的角平分线即可；
（2）利用“直线平分的面积”可得AD=BD，再结合，即可得到过点C不能画出一条“等分积周线”；
（3）连接、，设，利用勾股定理可得，即，求出x的值，再结合，可得，从而可得直线为四边形的“等分积周线”；
（4）在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，先利用“SAS”证出，可得，再结合，可得，从而可得EF是的“等分积周线”．
（1）解：，
为等腰三角形，
则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线，
，
，，
如图所示，即为所求：
（2）解：不能，
理由：如图2，
若直线平分的面积，那么，
，
，
，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”．
（3）证明：连接、，设，如图：
垂直平分，
，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，
，，
，，
，
，
，
，
∴直线为四边形的“等分积周线”．
（4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，
作直线，则是的“等分积周线”，
理由：由作图可得：，
在上取一点G，使得，则有，
，
，
在和中
，
，
，
又易得，
，
，
，
是的“等分积周线”．
26．【答案】（1）解：根据题意可知，点A（3，0），点B（0，-3）在抛物线上，
∴将点A、点B代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：.
（2）解：设直线的解析式为：，
∵点A、点B在直线AB上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线AB下方抛物线y=x2-2x-3上一动点，横坐标为，
∴，
过点作轴交于点，如图所示：
则点D（m，m-3），
∴PD=，
∵PD∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
∴解得，，
当时，，
即，
当时，
，
即，
由此可知，当时，点的坐标为或.
（3）解：设二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标为E，点B关于对称轴的对称点的为F，如图所示：
∵二次函数的表达式为y=x2-2x-3，
∴对称轴为直线x=1，点E（1，-4），
由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，
∴，
当时，，
解得：，
∴点，
①当时，，
∴，
②当时，，
∴，
③当时，，
∴，
由以上可知，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，由题意可知， 过点作轴交于点，则点D（m，m-3），可得，易证，可得，进而得出，解方程得，进而即可得出答案；
（3）设二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标为E，点B关于对称轴的对称点的为F，则对称轴为直线x=1，点E（1，-4），由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，可得，进而可得点，再分①当时，②当，③当时三种情况情况讨论即可得出答案.
（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为，
∴，
如图所示，过点作轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，
即，
当时，，
即，
综上所述，当时，点的坐标为或；
（3）解：二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为，
∴对称轴直线为，即
由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，
∴，
令时，，
解得，，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，；
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