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四川省自贡市富顺县第二中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共12小题，每题4分）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ，故正确；
B. 与 不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C. ，故不正确；
D. 不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
故答案为：A.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。根据二次根式的性质a2=a化简二次根式，结合同类二次根式的定义并合并即可判断求解.
2．如图，以数轴的数1表示的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形的边长为1，∴AQ=，
∴AP=，
∵点A表示1，
∴点P到0的距离为：-1，
∴点P表示1-，
故答案为：D．
【分析】先根据勾股定理求出AP的长，再根据同圆半径相等得出AP的长，进而根据数轴上两点间的距离公式求出点P到原点的距离，最后结合数轴上的点所表示数的特点得到点P表示的数即可．
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，
②矩形的四个角都是直角，
③矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的对角线相等；矩形的四个角都是90度；菱形的性质：菱形的对边平行，菱形的四条边都相等；菱形的对角相等；菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，从而即可判断得出答案.
4．在中，，，，则正方形的面积为（　　）
A．81 B．144 C．225 D．169
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为，所以正方形的面积为，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB2的值，进而根据正方形面积等于边长平方可得出答案.
5．设x、y为实数，且y=4+ + ，则 的值是（　　）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，5﹣x≥0且x﹣5≥0，
解得x≤5且x≥5，
所以，x=5，
y=4，
所以， = =3．
故选A．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
6．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　）
A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
【答案】A
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据矩形判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断①；根据菱形判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断②；根据有一组邻边相等的矩形是正方形可判断③；根据有一个角是直角的菱形是正方形可判断④.
7．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：为斜边上的中线，
，
，
，
，
，
是中点，是中点，
是的中位线，
．
故答案为：D．
【分析】由直角三角形斜边中线的等于斜边的一半求出AB长，由勾股定理求出BC长，由三角形中位线等于第三边的一半可求出DE的长．
8．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中， EFGH的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，∠B=∠D，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
故答案为：C．
【分析】设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，由平行四边形的对边平行且相等得EF＝HG，EF∥HG，由二直线平行，内错角相等得∠FEG＝∠HGE；由矩形对边平行，对角相等得AB∥CD，∠B=∠D， 由二直线平行，内错角相等得∠BEG＝∠DGE，根据角的构成及等量减去等量差相等得出∠BEF＝∠HGD，从而利用“AAS”证Rt△BEF≌Rt△DGH，同理Rt△AEH≌Rt△CGF，由全等三角形的面积相等及割补法，根据S平行四边形EFGH=S矩形ABCD-2()=，由E是AB的中点可得，即可逐一判断得出答案.
9．已知，在中，，平分交所在直线于点E，，则的长为（　　）
A．6或7或8 B．7或8 C．6或7 D．6或8
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①E点在线段上，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当E在延长线时，
∵，，
∴；
即或8，
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①点E在线段BC上，由平行四边形对边平行且相等得AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠AEB，根据角平分线的定义可得∠DAE=∠BAE，则∠BAE=∠AEB，由等角对等边得AB=BE=7，然后根据AD=BC=BE+CE计算即可；②当点E在线段BC的延长线上时，同理求出AB=BE=7，然后根据AD=BC=BE-CE计算即可，综上可得答案.
10．如图，在菱形ABCD中，，，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图1，连接PA，
∵菱形ABCD，
∴AD=DC，，
在与中，
∵，
∴，
∴，即．
∵M是BC上的动点，
∴当时，AM有最小值．
如图2，过A作于点M，
∵，，
∴∠BAM=30°，
又∵，
∴BM=2
∴，
故的最小值是，
故答案为：C．
【分析】连接PA，根据菱形的性质得AD=DC，∠ADB=∠CDB，从而用“SAS”证明△ADP≌△CDP，由全等三角形的对应边相等得到PA=PC，则PM+PC=PM+PA≥AM；由于M是BC上的动点，所以，当时，AM有最小值；然后根据含30°角直角三角形的性质得出BM=2，进而利用勾股定理求出AM的长，从而即可得出答案.
11．如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得OB=OD，OA=OC=4，BD⊥AC，根据直角三角形斜边中线等于下边一半得出OB=OC=OH=3，在Rt△AOB中，根据勾股定理求出AB，再根据等面积法结合菱形面积公式建立方程可求出DH的长.
12．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（　　）
A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过E作，过E作于N，如图所示，
∴∠EMC=∠ENC=90°，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故③正确；
∴，
故②正确；
当时，点C与点F重合，则，，
∴不一定等于，
故④错误．
综上，正确的有①②③．
故答案为：C.
【分析】过E作于点M，于N，如图所示，根据正方形性质得，，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EMCV是矩形，由等腰直角三角形性质得CN=EN，由一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形EMCN是正方形，由正方形四边相等得EM=EN，由角的构成及同角的余角相等推出∠DEN=∠MEF，从而由“ASA”证△DEN≌△FEM，由全等三角形的对应边相等得ED=EF，从而在根据一组邻边相等的矩形是正方形得出矩形DEFG是正方形，据此可判断①；根据正方形性质得DE=DG，由角的构成及同角的余角相等推出∠ADE=∠CDG，从而由“SAS”证△ADE≌△CDG，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得AE=CG，，由此推出，句此项可判断③；进而根据线段和差、等量代换及勾股定理求得，据此可判断②；当时，点C与点F重合，则，，得到不一定等于，据此可判断④.
二、填空题（共6小题，每题4分）
13．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后测出，的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约　 　．
【答案】36
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D，E是，的中点，
是的中位线，，
．
故答案为：36．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可求出AB=2DE，从而代值计算可得答案.
14．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：能与最简二次根式合并同类项，，
，
解得：．
故答案为：4．
【分析】先将化为最简二次根式，然后根据“被开方数完全相同的几个最简二次根式就是同类二次根式”列出关于字母x的方程，求解即可得出x的值.
15．如图，在四边形中，，，，则　 　°．
【答案】130
【知识点】平行四边形的判定与性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
又∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=∠C=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=180°-∠C=130°.
故答案为：130．
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的对角相等及已知可推出∠A=∠C=50°，再由平行四边形的对边平行及二直线平行，同旁内角互补可求出∠B的度数.
16．计算：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的乘法法则“”先计算二次根式乘法，再根据二次根式性质“”化简即可.
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2＝48，S3＝9，则S1的值为　 　.
【答案】3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵S2=48，S3＝9，
∴，CD =3，
过A作AH∥CD交BC于H，

则∠AHB=∠DCB，
∵AD∥BC，AH∥CD
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴，AH=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AHB+∠ABC=90°，
∴∠BAH=90°，
∴AB2=BH2-AH2=3，
∴S1=3，
故答案为：3.
【分析】根据正方形面积公式结合算术平方根定义可求出BC、CD的长；过A作AH∥CD交BC于H，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AHCD是平行四边形，由平行四边形的对边相等及已知得CH=BH=AD，AH=CD；由二直线平行，同位角相等得∠AHB=∠DCB，结合已知推出∠ABH+∠AHB=90°，由三角形内角和定理得出∠BAH=90°，在Rt△ABH中，利用勾股定理算出AB2，结合三角形面积公式即可得出S1的值.
18．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线．上时（不与点D重合），则正方形的面积为　 　．
【答案】20或80
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M，
则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴正方形的面积为20．
当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，如图，
同理可得：，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴正方形的面积为80．
故答案为：20或80.
【分析】分两种情况：当点F在直线BD上时，过F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，由正方形性质得∠BDC=45°，∠ADE=90°，结合对顶角相等可推出△DFM是等腰直角三角形，得出DM=MF；由正方形性质得EF=AE，∠AEF=90°，由角的构成直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠EAD=∠FEM，从而利用“AAS”证△AED≌△EFM，由全等三角形的对应边相等得出DE=MF，AD=ME，推出DE=MD=2，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE2的值即可得出正方形的面积；当点G在直线上时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，同理可求得答案．
三、解答题（共8道，19－22题，每题8分，23，24题10分，25题12分，26题14分）
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由二次根式乘法法则“”及二次根式除法法则“”计算后再根据二次根式性质化为最简二次根式即可；
（2）根据绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、二次根式的乘除法法则及负整数指数幂法则“”分别计算，再计算加减法运算即可得出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．已知，，．求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，
∴
又∵m2+n2=12，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）将m与n的值直接代入待求式子，根据完全平方公式及二次根式性质分别计算，再进行实数的加减法运算即可；
（2）根据平方差公式及二次根式性质先求出mn的值，结合（1）的结论，将待求式子通分计算后整体代入计算即可.
21．如图，在中，、分别是边、的一点，且，连接、.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：.
【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形.
∴，.
又∵.
∴，.
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形.
∴.
又∵在中，有.
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的得出AD=BC，AD∥BC，然后根据线段和差及等量减去等量差相等求出AE=CF，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得结论；
（2）由“平行四边形的对角相等”得出∠EAF=∠ECF，∠DAB=∠DCB，然后根据角的构成及等量减去等量差相等可求出∠BAF=∠DCE.
22．如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
（1）在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形；
（2）在图②中，画一个面积为10的正方形．
（3）在图③中，D是中点，在边上找到点E，连接，使．
【答案】（1）解：如图所示，斜边长为为的等腰直角三角形即为所求：
（2）解：如图所示，面积为10的正方形即为所求：
（3）解：如图所示，点E即为所求：
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定；等腰直角三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，如果斜边长为，那么两条直角边长为3，据此利用方格纸的特点即可画出符合题意的等腰直角三角形；
（2）由正方形面积公式及算术平方根定义可得面积为10的正方形边长为，根据勾股定理，为两直角边分别为3与1的直角三角形的斜边，从而利用网格纸的特点及正方形定义画图即可；
（3）根据平行四边形的对边平行，故在正方形网格中取格点F，使得以点C、D、F、B为顶点的四边形是平行四边形，连接DF交AB于点E即可.
（1）解：如图所示，斜边长为为的等腰直角三角形即为所求：
（2）解：如图所示，面积为10的正方形即为所求：
（3）解：如图所示，点E即为所求：
23．（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积．
【答案】解：（1），，，
，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
．
（2）如图，过点作，交的延长线于点．设，则，
在和中，由勾股定理得，，
，
，
解得，即，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，然后根据勾股定理求出BD，再根据线段和差求出AB，最后利用三角形面积公式计算出△ABC的面积即可；
（2）过点作，交GF的延长线于点M，设，则，在Rt△EFM与Rt△EGM中，分别根据勾股定理表示出EM2，从而可建立方程，求解得出x的值，从而即可求出EM的长， 最后利用三角形面积公式计算出△EFG的面积即可.
24．如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（）得：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得出，，结合已知可推出AB=ED，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形ABDE是平行四边形，然后根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形可得结论；
（2）由矩形的对边平行且相等得AE=BD，AB∥DE，由二直线平行，内较长相等及角平分线的定义可推出∠EBC=∠BEC，由等角对等边得出BC=CE=4，然后在Rt△BCD中，由勾股定理算出BD的长，即可得出AE的长.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（）得：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持．
（1）连接，____________________°；
（2）求周长的最小值及此时点的坐标；
（3）在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴为等边三角形；
∴，
当时，周长有最小值，
∵为等边三角形，
∴，，
∴的周长最小值为，，
∴，
∴为的中点，
∴．
（3）解：或或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，
∴，与为等边三角形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）设，而，，；
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
综上：或或．
【分析】（1）连接OB，由菱形四边相等及点A的坐标可得，由菱形对角相等及有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BOC与△AOB都为等边三角形，由等边三角形性质得出OB=OC，∠AOB=∠BOC=60°，由线段和差及已知可推出CM=BN，从而利用“SAS”证△COM≌△BON，由全等三角形的性质得OM=ON， ∠ BON= ∠ COM，进而根据角的构成及等量代换推出 ∠ MON=60°；
（2）由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△MON为等边三角形，由三角形周长计算公式及垂线段最短得当OM⊥BC时，OM最小，△MON的周长最小；由等边三角形的三线合一得出，再由勾股定理算出OM，即可得出△OMN周长的最小值；根据点的坐标与图形性质可得点B的坐标，JINER JIEHE BN=CM可得点N为AB的中点，由中点坐标公式即可求出点N的坐标；
（3）设，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式建立方程组求解即可．
（1）解：连接，
∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，
∴，与为等边三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴为等边三角形；
∴，
当时，周长有最小值，
∵为等边三角形，
∴，，
∴的周长最小值为，，
∴，
∴为的中点，
∴．
（3）设，而，，；
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
综上：或或．
26．综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】：
如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部．
【问题探究】：
探究一：
根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？
探究二：
如图，延长，交边于点，连接，
①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗 请说明理由．
②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长．
【答案】【解答】解：探究一：当时，四边形为菱形，
理由如下：
，
，
∵点E是BP的中点，
，
∵翻折，
，
，
∴，
∴ ，
，
∴四边形为菱形；
探究二：
①的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，
理由如下：
延长交边于点，
，
∴在和中，
，
，
∵翻折，
∴，
∴，
的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变.
②正方形纸片的边长为，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
解得，
∴长为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】探究一：当时，四边形为菱形；利用正方形性质得AB=AD，∠BAD=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得出AE=PE，由折叠循环组得AE=ME，AP=PM，再由勾股定理可推出AE=AP，然后利用四边相等的四边形是菱形可得四边形AEMP为菱形；
探究一：①∠PBQ的度数大小不会随着P点的位置变化而发生变化，理由如下：由正方形性质得AB=CD，∠A=∠C=90°，由折叠得AB=BM，∠A=∠BMP=90°，则推出BM=BC，∠C=∠BMQ=90°，从而利用“HL”证Rt△BMQ≌Rt△BCQ，由全等三角形的对经济相等得出，由翻折得出，然后根据角的构成即可得出，进而即可得解；
②由正方形性质得AD=CD=10，∠D=90°，由折叠得出AP=PM，由全等三角形的对应边相等得出MQ=CQ=2，设，然后在Rt△PDQ中，由勾股定理建立方程求出x的值，从而即可得到AP的长.
1 / 1四川省自贡市富顺县第二中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共12小题，每题4分）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，以数轴的数1表示的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数为（　　）
A． B． C． D．
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
4．在中，，，，则正方形的面积为（　　）
A．81 B．144 C．225 D．169
5．设x、y为实数，且y=4+ + ，则 的值是（　　）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
6．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　）
A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
7．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中， EFGH的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
9．已知，在中，，平分交所在直线于点E，，则的长为（　　）
A．6或7或8 B．7或8 C．6或7 D．6或8
10．如图，在菱形ABCD中，，，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．4
11．如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
12．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（　　）
A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④
二、填空题（共6小题，每题4分）
13．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后测出，的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约　 　．
14．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为　 　．
15．如图，在四边形中，，，，则　 　°．
16．计算：　 　．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2＝48，S3＝9，则S1的值为　 　.
18．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线．上时（不与点D重合），则正方形的面积为　 　．
三、解答题（共8道，19－22题，每题8分，23，24题10分，25题12分，26题14分）
19．计算：
（1）
（2）
20．已知，，．求值：
（1）；
（2）．
21．如图，在中，、分别是边、的一点，且，连接、.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：.
22．如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
（1）在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形；
（2）在图②中，画一个面积为10的正方形．
（3）在图③中，D是中点，在边上找到点E，连接，使．
23．（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积．
24．如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持．
（1）连接，____________________°；
（2）求周长的最小值及此时点的坐标；
（3）在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
26．综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】：
如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部．
【问题探究】：
探究一：
根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？
探究二：
如图，延长，交边于点，连接，
①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗 请说明理由．
②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ，故正确；
B. 与 不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C. ，故不正确；
D. 不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
故答案为：A.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。根据二次根式的性质a2=a化简二次根式，结合同类二次根式的定义并合并即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形的边长为1，∴AQ=，
∴AP=，
∵点A表示1，
∴点P到0的距离为：-1，
∴点P表示1-，
故答案为：D．
【分析】先根据勾股定理求出AP的长，再根据同圆半径相等得出AP的长，进而根据数轴上两点间的距离公式求出点P到原点的距离，最后结合数轴上的点所表示数的特点得到点P表示的数即可．
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，
②矩形的四个角都是直角，
③矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的对角线相等；矩形的四个角都是90度；菱形的性质：菱形的对边平行，菱形的四条边都相等；菱形的对角相等；菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，从而即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为，所以正方形的面积为，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB2的值，进而根据正方形面积等于边长平方可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，5﹣x≥0且x﹣5≥0，
解得x≤5且x≥5，
所以，x=5，
y=4，
所以， = =3．
故选A．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
6．【答案】A
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据矩形判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断①；根据菱形判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断②；根据有一组邻边相等的矩形是正方形可判断③；根据有一个角是直角的菱形是正方形可判断④.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：为斜边上的中线，
，
，
，
，
，
是中点，是中点，
是的中位线，
．
故答案为：D．
【分析】由直角三角形斜边中线的等于斜边的一半求出AB长，由勾股定理求出BC长，由三角形中位线等于第三边的一半可求出DE的长．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，∠B=∠D，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
故答案为：C．
【分析】设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，由平行四边形的对边平行且相等得EF＝HG，EF∥HG，由二直线平行，内错角相等得∠FEG＝∠HGE；由矩形对边平行，对角相等得AB∥CD，∠B=∠D， 由二直线平行，内错角相等得∠BEG＝∠DGE，根据角的构成及等量减去等量差相等得出∠BEF＝∠HGD，从而利用“AAS”证Rt△BEF≌Rt△DGH，同理Rt△AEH≌Rt△CGF，由全等三角形的面积相等及割补法，根据S平行四边形EFGH=S矩形ABCD-2()=，由E是AB的中点可得，即可逐一判断得出答案.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①E点在线段上，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当E在延长线时，
∵，，
∴；
即或8，
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①点E在线段BC上，由平行四边形对边平行且相等得AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠AEB，根据角平分线的定义可得∠DAE=∠BAE，则∠BAE=∠AEB，由等角对等边得AB=BE=7，然后根据AD=BC=BE+CE计算即可；②当点E在线段BC的延长线上时，同理求出AB=BE=7，然后根据AD=BC=BE-CE计算即可，综上可得答案.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图1，连接PA，
∵菱形ABCD，
∴AD=DC，，
在与中，
∵，
∴，
∴，即．
∵M是BC上的动点，
∴当时，AM有最小值．
如图2，过A作于点M，
∵，，
∴∠BAM=30°，
又∵，
∴BM=2
∴，
故的最小值是，
故答案为：C．
【分析】连接PA，根据菱形的性质得AD=DC，∠ADB=∠CDB，从而用“SAS”证明△ADP≌△CDP，由全等三角形的对应边相等得到PA=PC，则PM+PC=PM+PA≥AM；由于M是BC上的动点，所以，当时，AM有最小值；然后根据含30°角直角三角形的性质得出BM=2，进而利用勾股定理求出AM的长，从而即可得出答案.
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得OB=OD，OA=OC=4，BD⊥AC，根据直角三角形斜边中线等于下边一半得出OB=OC=OH=3，在Rt△AOB中，根据勾股定理求出AB，再根据等面积法结合菱形面积公式建立方程可求出DH的长.
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过E作，过E作于N，如图所示，
∴∠EMC=∠ENC=90°，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故③正确；
∴，
故②正确；
当时，点C与点F重合，则，，
∴不一定等于，
故④错误．
综上，正确的有①②③．
故答案为：C.
【分析】过E作于点M，于N，如图所示，根据正方形性质得，，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EMCV是矩形，由等腰直角三角形性质得CN=EN，由一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形EMCN是正方形，由正方形四边相等得EM=EN，由角的构成及同角的余角相等推出∠DEN=∠MEF，从而由“ASA”证△DEN≌△FEM，由全等三角形的对应边相等得ED=EF，从而在根据一组邻边相等的矩形是正方形得出矩形DEFG是正方形，据此可判断①；根据正方形性质得DE=DG，由角的构成及同角的余角相等推出∠ADE=∠CDG，从而由“SAS”证△ADE≌△CDG，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得AE=CG，，由此推出，句此项可判断③；进而根据线段和差、等量代换及勾股定理求得，据此可判断②；当时，点C与点F重合，则，，得到不一定等于，据此可判断④.
13．【答案】36
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D，E是，的中点，
是的中位线，，
．
故答案为：36．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可求出AB=2DE，从而代值计算可得答案.
14．【答案】4
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：能与最简二次根式合并同类项，，
，
解得：．
故答案为：4．
【分析】先将化为最简二次根式，然后根据“被开方数完全相同的几个最简二次根式就是同类二次根式”列出关于字母x的方程，求解即可得出x的值.
15．【答案】130
【知识点】平行四边形的判定与性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
又∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=∠C=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=180°-∠C=130°.
故答案为：130．
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的对角相等及已知可推出∠A=∠C=50°，再由平行四边形的对边平行及二直线平行，同旁内角互补可求出∠B的度数.
16．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的乘法法则“”先计算二次根式乘法，再根据二次根式性质“”化简即可.
17．【答案】3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵S2=48，S3＝9，
∴，CD =3，
过A作AH∥CD交BC于H，

则∠AHB=∠DCB，
∵AD∥BC，AH∥CD
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴，AH=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AHB+∠ABC=90°，
∴∠BAH=90°，
∴AB2=BH2-AH2=3，
∴S1=3，
故答案为：3.
【分析】根据正方形面积公式结合算术平方根定义可求出BC、CD的长；过A作AH∥CD交BC于H，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AHCD是平行四边形，由平行四边形的对边相等及已知得CH=BH=AD，AH=CD；由二直线平行，同位角相等得∠AHB=∠DCB，结合已知推出∠ABH+∠AHB=90°，由三角形内角和定理得出∠BAH=90°，在Rt△ABH中，利用勾股定理算出AB2，结合三角形面积公式即可得出S1的值.
18．【答案】20或80
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M，
则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴正方形的面积为20．
当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，如图，
同理可得：，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴正方形的面积为80．
故答案为：20或80.
【分析】分两种情况：当点F在直线BD上时，过F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，由正方形性质得∠BDC=45°，∠ADE=90°，结合对顶角相等可推出△DFM是等腰直角三角形，得出DM=MF；由正方形性质得EF=AE，∠AEF=90°，由角的构成直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠EAD=∠FEM，从而利用“AAS”证△AED≌△EFM，由全等三角形的对应边相等得出DE=MF，AD=ME，推出DE=MD=2，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE2的值即可得出正方形的面积；当点G在直线上时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，同理可求得答案．
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由二次根式乘法法则“”及二次根式除法法则“”计算后再根据二次根式性质化为最简二次根式即可；
（2）根据绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、二次根式的乘除法法则及负整数指数幂法则“”分别计算，再计算加减法运算即可得出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，
∴
又∵m2+n2=12，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）将m与n的值直接代入待求式子，根据完全平方公式及二次根式性质分别计算，再进行实数的加减法运算即可；
（2）根据平方差公式及二次根式性质先求出mn的值，结合（1）的结论，将待求式子通分计算后整体代入计算即可.
21．【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形.
∴，.
又∵.
∴，.
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形.
∴.
又∵在中，有.
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的得出AD=BC，AD∥BC，然后根据线段和差及等量减去等量差相等求出AE=CF，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得结论；
（2）由“平行四边形的对角相等”得出∠EAF=∠ECF，∠DAB=∠DCB，然后根据角的构成及等量减去等量差相等可求出∠BAF=∠DCE.
22．【答案】（1）解：如图所示，斜边长为为的等腰直角三角形即为所求：
（2）解：如图所示，面积为10的正方形即为所求：
（3）解：如图所示，点E即为所求：
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定；等腰直角三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，如果斜边长为，那么两条直角边长为3，据此利用方格纸的特点即可画出符合题意的等腰直角三角形；
（2）由正方形面积公式及算术平方根定义可得面积为10的正方形边长为，根据勾股定理，为两直角边分别为3与1的直角三角形的斜边，从而利用网格纸的特点及正方形定义画图即可；
（3）根据平行四边形的对边平行，故在正方形网格中取格点F，使得以点C、D、F、B为顶点的四边形是平行四边形，连接DF交AB于点E即可.
（1）解：如图所示，斜边长为为的等腰直角三角形即为所求：
（2）解：如图所示，面积为10的正方形即为所求：
（3）解：如图所示，点E即为所求：
23．【答案】解：（1），，，
，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
．
（2）如图，过点作，交的延长线于点．设，则，
在和中，由勾股定理得，，
，
，
解得，即，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，然后根据勾股定理求出BD，再根据线段和差求出AB，最后利用三角形面积公式计算出△ABC的面积即可；
（2）过点作，交GF的延长线于点M，设，则，在Rt△EFM与Rt△EGM中，分别根据勾股定理表示出EM2，从而可建立方程，求解得出x的值，从而即可求出EM的长， 最后利用三角形面积公式计算出△EFG的面积即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（）得：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得出，，结合已知可推出AB=ED，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形ABDE是平行四边形，然后根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形可得结论；
（2）由矩形的对边平行且相等得AE=BD，AB∥DE，由二直线平行，内较长相等及角平分线的定义可推出∠EBC=∠BEC，由等角对等边得出BC=CE=4，然后在Rt△BCD中，由勾股定理算出BD的长，即可得出AE的长.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（）得：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴为等边三角形；
∴，
当时，周长有最小值，
∵为等边三角形，
∴，，
∴的周长最小值为，，
∴，
∴为的中点，
∴．
（3）解：或或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，
∴，与为等边三角形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）设，而，，；
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
综上：或或．
【分析】（1）连接OB，由菱形四边相等及点A的坐标可得，由菱形对角相等及有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BOC与△AOB都为等边三角形，由等边三角形性质得出OB=OC，∠AOB=∠BOC=60°，由线段和差及已知可推出CM=BN，从而利用“SAS”证△COM≌△BON，由全等三角形的性质得OM=ON， ∠ BON= ∠ COM，进而根据角的构成及等量代换推出 ∠ MON=60°；
（2）由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△MON为等边三角形，由三角形周长计算公式及垂线段最短得当OM⊥BC时，OM最小，△MON的周长最小；由等边三角形的三线合一得出，再由勾股定理算出OM，即可得出△OMN周长的最小值；根据点的坐标与图形性质可得点B的坐标，JINER JIEHE BN=CM可得点N为AB的中点，由中点坐标公式即可求出点N的坐标；
（3）设，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式建立方程组求解即可．
（1）解：连接，
∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，
∴，与为等边三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴为等边三角形；
∴，
当时，周长有最小值，
∵为等边三角形，
∴，，
∴的周长最小值为，，
∴，
∴为的中点，
∴．
（3）设，而，，；
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
综上：或或．
26．【答案】【解答】解：探究一：当时，四边形为菱形，
理由如下：
，
，
∵点E是BP的中点，
，
∵翻折，
，
，
∴，
∴ ，
，
∴四边形为菱形；
探究二：
①的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，
理由如下：
延长交边于点，
，
∴在和中，
，
，
∵翻折，
∴，
∴，
的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变.
②正方形纸片的边长为，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
解得，
∴长为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】探究一：当时，四边形为菱形；利用正方形性质得AB=AD，∠BAD=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得出AE=PE，由折叠循环组得AE=ME，AP=PM，再由勾股定理可推出AE=AP，然后利用四边相等的四边形是菱形可得四边形AEMP为菱形；
探究一：①∠PBQ的度数大小不会随着P点的位置变化而发生变化，理由如下：由正方形性质得AB=CD，∠A=∠C=90°，由折叠得AB=BM，∠A=∠BMP=90°，则推出BM=BC，∠C=∠BMQ=90°，从而利用“HL”证Rt△BMQ≌Rt△BCQ，由全等三角形的对经济相等得出，由翻折得出，然后根据角的构成即可得出，进而即可得解；
②由正方形性质得AD=CD=10，∠D=90°，由折叠得出AP=PM，由全等三角形的对应边相等得出MQ=CQ=2，设，然后在Rt△PDQ中，由勾股定理建立方程求出x的值，从而即可得到AP的长.
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