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四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（每题3分，共36分）
1．下列根式中属最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13
C． D．，，
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．的对角线相交于点O，，，，则的周长为（　　）
A．15 B．16 C．19 D．25
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O．若BC=6，且△ABO的周长比△BCO少2，则AB的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
9．实数在数轴上的位置如图所示，化简： （　　）
A． B． C． D．1
10．如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（　　）
A．12 B． C．24 D．10
11．如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则_______．
A．3 B． C．4 D．
12．如图，中，，、分别是、上两点，，，点、、分别是、、的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共12分）
13．使二次根式有意义的x的取值范围是　 　．
14．若是一组勾股数，则的值为　 　．
15．如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是　 　．
16．如图，在菱形中，，，点E，F分别是边，的中点，是上的动点，那么的最小值是　 　.
三、解答题（共72分）
17．计算：．
18．计算．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，．求证：．
21．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得，，，，．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形的面积．
22．某岛C周围4海里内有暗礁，一轮船沿正东方向航行，在A处测得该岛在东偏南15°处，继续航行10海里到达B处，又测得该岛位于东偏南30°处，若该船不改变航向，有无触礁危险？
23．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
24．如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形；
（3）在（2）的条件下，若，，求菱形的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意；
B、，不是最简二次根式， 此选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式， 此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式， 此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】二次根式的被开方数不含有分母，且二次根式的被开方数不含开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，故A符合题意；
B、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；根据二次根式乘法法则“”可判断C选项；由于二次根式具有括号的作用，故先计算根号里的乘方及减法运算，据此可判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵的对角线相交于点O，，，，∴，
∴的周长，
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于利用平行四边形“对角线互相平分、对边相等”的性质，求出的三边长度，再计算周长.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴B错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴C错误；
D、对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D正确；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定和正方形的判定逐项分析即可.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：△ABO的周长=AB+AO+BO，△BCO的周长=BO+CO+BC，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AO=CO，
又△ABO的周长比△BCO少2，
即（BO+CO+BC）-（AB+AO+BO）=BC-AB=2，
且BC=6，
所以AB=4．
故选：C．
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于利用平行四边形对角线互相平分的性质，得；结合三角形周长公式，推出与的周长差为；根据题意“周长差为2，BC=6”，求得AB=4.
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：AC是正方形的对角线，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°，
又∵CE＝AC
∴∠CEF＝22.5°，
∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°；
故选B．
【分析】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、角度的和差计算. 先利用正方形对角线平分内角的性质，求出，进而得到；再由CE=AC证明为等腰三角形，求出，最后结合三角形外角定理计算∠AFC的大小．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】
解：如图，，，，，
在中，
∵，
∴，
∴
∴，即小巷的宽度为2.7米．
故选：D．
【分析】此题考查勾股定理的实际应用、直角三角形的边长计算、线段的和差计算. 解题关键在于将梯子靠墙问题转化为两个直角三角形模型，先在Rt中用勾股定理求梯子长度AB；再在Rt中求BD的长；最后通过，利用线段和差计算小巷宽度.
9．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由数轴可知，
，，
．
故答案为：D．
【分析】先根据实数在数轴上表示得到，进而化简绝对值和二次根式，从而即可求解。
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设两直角边分别为x，y，且，
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
即两直角边的积等于24，
故选C．
【分析】
本题结合赵爽弦图，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用. 解题关键在于根据大、小正方形的面积，建立关于直角边的方程，通过完全平方公式变形求两直角边的积.
11．【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
则，
解得，
故选：A．
【分析】
本题围绕矩形的折叠问题展开，核心是结合折叠性质与勾股定理计算线段长度. 首先根据矩形性质与折叠的全等性，得到AF=AD=10，在直角三角形ABF中用勾股定理求出BF的长度，进而得到FC的长度；再设CE为x，用x表示出FE与DE的长度，最后在直角三角形EFC中列勾股方程求解，得到CE的长度.
12．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：、、分别是、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
，
，
，
，
∴是直角三角形，
，
故选：B．
【分析】
本题考查三角形中位线定理、平行线的性质、勾股定理. 解题的关键在于通过中位线定理推导线段平行与长度关系，证明为直角三角形，再用勾股定理计算的长．
13．【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使二次根式 有意义，
∴1-x≥0，
解得x≤2.
故答案为：x≤2.
【分析】根据二次根数有意义的条件“被开方数不能为负数”列出不等式，计算即可求解.
14．【答案】
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：当为直角边时，，不是正整数，不符合题意，
当为斜边时，，是正整数，符合题意，
综上，若是一组勾股数，则的值为，
故答案为：．
【分析】
本题考查勾股数的定义、勾股定理、分类讨论思想. 解题的关键在于紧扣勾股数“正整数+直角三角形三边”的定义，分两种情况讨论：当x为直角边时，计算，验证是否为正整数；当x为斜边时，计算，确认符合正整数要求的解.
15．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
，
阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
阴影部分面积为，
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质可证明△AEO≌△CFO，即可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．
16．【答案】5
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN=PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
在△ANP和△CFP中
∵ ，
∴△ANP≌△CFP(ASA)，
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=AC=4，BO=BD=3，
由勾股定理得：AB= =5.
答：PE+PF的最小值为5.
【分析】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质可知N是AD中点，P与O重合，于是可得PE+PF=NF=AB，再Rt△AOB中，用勾股定理求出AB的长即可．
17．【答案】解：
.

【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查二次根式的化简、绝对值的性质、二次根式的除法、零指数幂. 解题关键在于逐项化简每一项，注意零指数幂的运算规则与绝对值的非负性，再合并同类二次根式，完成最终计算.
18．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式的化简. 解题关键在于先利用二次根式除法分配律展开计算，化简各项根式，再合并同类二次根式，注意运算顺序.
19．【答案】解：原式
．
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
20．【答案】证明：∵，∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质. 解题关键在于通过平行线性质推导角相等，结合线段和差得到对应边相等，用ASA证明三角形全等.
21．【答案】（1）解：连接，
，
，
答：B、D之间的距离为；
（2）解：，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积
．
答：四边形ABCD的面积为．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
（1）连接BD，在直角三角形ABD中，用勾股定理计算即可求解；
（2）由题意，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，于是可得四边形ABCD的面积等于两直角三角形的面积之和并结合直角三角形的面积公式计算即可求解.
（1）解：连接，
，
，
故B、D之间的距离为；
（2）解：，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积
．
22．【答案】解：作CD⊥AB于D，则Rt△BCD中，
∵∠CBD=30°，
∴BC=2CD．
又∵∠CAB=15°，
∴∠ACB=15°．
∴AB=BC=10海里．
∴CD=5＞4．
故该轮船没有触礁的危险．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】本题考查勾股定理、直角三角形的性质、点到直线的距离、实际问题中的风险判断. 作CD⊥AB于D，将问题转化为求CD的长并与4海里比较；由角度关系得，证BC=AB=10海里；在Rt中，由得海里；因54，判断无触礁风险.
23．【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵AE=AD
∴AE=BC，
设，则，
在中，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由矩形性质得∠B=∠BAD=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得出∠AEB=∠DAF，从而用“AAS”证明△ABE≌△DFA，由全等三角形的对应边相等得DF=AB；
（2）由矩形对边相等得AD=BC，结合已知推出AE=BC，设AE=BC=x，则BE=x-4，在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求出x即可求出结果．
（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
24．【答案】（1）证明：，点E在的延长线上，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
四边形为平行四边形，
，，
是斜边的中线，
，
四边形为菱形；
（3）解：如图，作于点H，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
，
菱形的面积．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等可证，，从而利用“AAS”证△DAF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等得AD=CE，等量代换可得AD=BC；
（2）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半推出，从而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（3）过点A作于点H，根据菱形四边相等得AB=BC=6，根据含30度角的直角三角形的性质求出BH，再利用勾股定理求出AH，通过底乘高即可求出菱形ABCD的面积．
（1）证明：，点E在的延长线上，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
四边形为平行四边形，
，，
是斜边的中线，
，
四边形为菱形；
（3）解：如图，作于点H，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
，
菱形的面积．
25．【答案】（1）解：，，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（2）解：由题意得：，
则：，，
∵，
∴当时， 四边形是平行四边形，
∴，
解得：，
故当时，四边形是平行四边形；
此时P点的坐标为，Q点的坐标为
（3）解：∵是以为腰的等腰三角形，∴分两种情况：或.
①当时， 如图， 过作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴中：
∵，
，即
解得：
②当时， 过作轴于，
∴，
由题意得：，
则，
解得：
，
综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形.
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】本题查了二次根式的非负性应用、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质.
（1）利用二次根式被开方数非负的性质求出a、b的值，确定B、C坐标；
（2）结合动点运动规律表示线段长度，根据平行四边形对边相等列方程；
（3）针对等腰三角形“PQ为腰”的条件分两种情况讨论，结合勾股定理求解，避免漏解.
1 / 1四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（每题3分，共36分）
1．下列根式中属最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意；
B、，不是最简二次根式， 此选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式， 此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式， 此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】二次根式的被开方数不含有分母，且二次根式的被开方数不含开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13
C． D．，，
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，故A符合题意；
B、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此逐一判断得出答案.
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；根据二次根式乘法法则“”可判断C选项；由于二次根式具有括号的作用，故先计算根号里的乘方及减法运算，据此可判断D选项.
4．的对角线相交于点O，，，，则的周长为（　　）
A．15 B．16 C．19 D．25
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵的对角线相交于点O，，，，∴，
∴的周长，
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于利用平行四边形“对角线互相平分、对边相等”的性质，求出的三边长度，再计算周长.
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴B错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴C错误；
D、对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D正确；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定和正方形的判定逐项分析即可.
6．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O．若BC=6，且△ABO的周长比△BCO少2，则AB的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：△ABO的周长=AB+AO+BO，△BCO的周长=BO+CO+BC，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AO=CO，
又△ABO的周长比△BCO少2，
即（BO+CO+BC）-（AB+AO+BO）=BC-AB=2，
且BC=6，
所以AB=4．
故选：C．
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于利用平行四边形对角线互相平分的性质，得；结合三角形周长公式，推出与的周长差为；根据题意“周长差为2，BC=6”，求得AB=4.
7．如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：AC是正方形的对角线，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°，
又∵CE＝AC
∴∠CEF＝22.5°，
∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°；
故选B．
【分析】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、角度的和差计算. 先利用正方形对角线平分内角的性质，求出，进而得到；再由CE=AC证明为等腰三角形，求出，最后结合三角形外角定理计算∠AFC的大小．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】
解：如图，，，，，
在中，
∵，
∴，
∴
∴，即小巷的宽度为2.7米．
故选：D．
【分析】此题考查勾股定理的实际应用、直角三角形的边长计算、线段的和差计算. 解题关键在于将梯子靠墙问题转化为两个直角三角形模型，先在Rt中用勾股定理求梯子长度AB；再在Rt中求BD的长；最后通过，利用线段和差计算小巷宽度.
9．实数在数轴上的位置如图所示，化简： （　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由数轴可知，
，，
．
故答案为：D．
【分析】先根据实数在数轴上表示得到，进而化简绝对值和二次根式，从而即可求解。
10．如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（　　）
A．12 B． C．24 D．10
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设两直角边分别为x，y，且，
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
即两直角边的积等于24，
故选C．
【分析】
本题结合赵爽弦图，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用. 解题关键在于根据大、小正方形的面积，建立关于直角边的方程，通过完全平方公式变形求两直角边的积.
11．如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则_______．
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
则，
解得，
故选：A．
【分析】
本题围绕矩形的折叠问题展开，核心是结合折叠性质与勾股定理计算线段长度. 首先根据矩形性质与折叠的全等性，得到AF=AD=10，在直角三角形ABF中用勾股定理求出BF的长度，进而得到FC的长度；再设CE为x，用x表示出FE与DE的长度，最后在直角三角形EFC中列勾股方程求解，得到CE的长度.
12．如图，中，，、分别是、上两点，，，点、、分别是、、的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：、、分别是、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
，
，
，
，
∴是直角三角形，
，
故选：B．
【分析】
本题考查三角形中位线定理、平行线的性质、勾股定理. 解题的关键在于通过中位线定理推导线段平行与长度关系，证明为直角三角形，再用勾股定理计算的长．
二、填空题（共12分）
13．使二次根式有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使二次根式 有意义，
∴1-x≥0，
解得x≤2.
故答案为：x≤2.
【分析】根据二次根数有意义的条件“被开方数不能为负数”列出不等式，计算即可求解.
14．若是一组勾股数，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：当为直角边时，，不是正整数，不符合题意，
当为斜边时，，是正整数，符合题意，
综上，若是一组勾股数，则的值为，
故答案为：．
【分析】
本题考查勾股数的定义、勾股定理、分类讨论思想. 解题的关键在于紧扣勾股数“正整数+直角三角形三边”的定义，分两种情况讨论：当x为直角边时，计算，验证是否为正整数；当x为斜边时，计算，确认符合正整数要求的解.
15．如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
，
阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
阴影部分面积为，
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质可证明△AEO≌△CFO，即可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．
16．如图，在菱形中，，，点E，F分别是边，的中点，是上的动点，那么的最小值是　 　.
【答案】5
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN=PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
在△ANP和△CFP中
∵ ，
∴△ANP≌△CFP(ASA)，
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=AC=4，BO=BD=3，
由勾股定理得：AB= =5.
答：PE+PF的最小值为5.
【分析】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质可知N是AD中点，P与O重合，于是可得PE+PF=NF=AB，再Rt△AOB中，用勾股定理求出AB的长即可．
三、解答题（共72分）
17．计算：．
【答案】解：
.

【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查二次根式的化简、绝对值的性质、二次根式的除法、零指数幂. 解题关键在于逐项化简每一项，注意零指数幂的运算规则与绝对值的非负性，再合并同类二次根式，完成最终计算.
18．计算．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式的化简. 解题关键在于先利用二次根式除法分配律展开计算，化简各项根式，再合并同类二次根式，注意运算顺序.
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
20．如图，．求证：．
【答案】证明：∵，∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质. 解题关键在于通过平行线性质推导角相等，结合线段和差得到对应边相等，用ASA证明三角形全等.
21．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得，，，，．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：连接，
，
，
答：B、D之间的距离为；
（2）解：，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积
．
答：四边形ABCD的面积为．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
（1）连接BD，在直角三角形ABD中，用勾股定理计算即可求解；
（2）由题意，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，于是可得四边形ABCD的面积等于两直角三角形的面积之和并结合直角三角形的面积公式计算即可求解.
（1）解：连接，
，
，
故B、D之间的距离为；
（2）解：，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积
．
22．某岛C周围4海里内有暗礁，一轮船沿正东方向航行，在A处测得该岛在东偏南15°处，继续航行10海里到达B处，又测得该岛位于东偏南30°处，若该船不改变航向，有无触礁危险？
【答案】解：作CD⊥AB于D，则Rt△BCD中，
∵∠CBD=30°，
∴BC=2CD．
又∵∠CAB=15°，
∴∠ACB=15°．
∴AB=BC=10海里．
∴CD=5＞4．
故该轮船没有触礁的危险．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】本题考查勾股定理、直角三角形的性质、点到直线的距离、实际问题中的风险判断. 作CD⊥AB于D，将问题转化为求CD的长并与4海里比较；由角度关系得，证BC=AB=10海里；在Rt中，由得海里；因54，判断无触礁风险.
23．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵AE=AD
∴AE=BC，
设，则，
在中，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由矩形性质得∠B=∠BAD=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得出∠AEB=∠DAF，从而用“AAS”证明△ABE≌△DFA，由全等三角形的对应边相等得DF=AB；
（2）由矩形对边相等得AD=BC，结合已知推出AE=BC，设AE=BC=x，则BE=x-4，在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求出x即可求出结果．
（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
24．如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形；
（3）在（2）的条件下，若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：，点E在的延长线上，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
四边形为平行四边形，
，，
是斜边的中线，
，
四边形为菱形；
（3）解：如图，作于点H，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
，
菱形的面积．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等可证，，从而利用“AAS”证△DAF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等得AD=CE，等量代换可得AD=BC；
（2）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半推出，从而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（3）过点A作于点H，根据菱形四边相等得AB=BC=6，根据含30度角的直角三角形的性质求出BH，再利用勾股定理求出AH，通过底乘高即可求出菱形ABCD的面积．
（1）证明：，点E在的延长线上，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
四边形为平行四边形，
，，
是斜边的中线，
，
四边形为菱形；
（3）解：如图，作于点H，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
，
菱形的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？
【答案】（1）解：，，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（2）解：由题意得：，
则：，，
∵，
∴当时， 四边形是平行四边形，
∴，
解得：，
故当时，四边形是平行四边形；
此时P点的坐标为，Q点的坐标为
（3）解：∵是以为腰的等腰三角形，∴分两种情况：或.
①当时， 如图， 过作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴中：
∵，
，即
解得：
②当时， 过作轴于，
∴，
由题意得：，
则，
解得：
，
综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形.
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】本题查了二次根式的非负性应用、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质.
（1）利用二次根式被开方数非负的性质求出a、b的值，确定B、C坐标；
（2）结合动点运动规律表示线段长度，根据平行四边形对边相等列方程；
（3）针对等腰三角形“PQ为腰”的条件分两种情况讨论，结合勾股定理求解，避免漏解.
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