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四川省泸州高中初中教育联合校2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填在上相应位置）
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组数，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．1，1， C．2，3，4 D．6，8，10
4．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠0
C．x＞﹣1且≠0 D．x≥﹣1且x≠0
5．下列命题中是假命题的是（　　）
A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
B．对角线相等的菱形是正方形；
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
6．若代数式，，则的值（　　）
A．一定是负数 B．一定是正数
C．一定不是负数 D．一定不是正数
7．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
8．已知的周长为，斜边的长为，则的面积为（　　）
A．2 B． C． D．1
9．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
10．已知：在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围（　　）
A． B． C． D．
11．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．8 B．6 C．10 D．7
12．如图，已知正方形的边长为6，E为边上一点（点E不与端点C，D重合），将沿对折至，延长交边点G，连接，对角线与、分别交于P、Q两点．以下各结论：①；②；③；④若，则G为的中点；⑤线段的最小值为．其中正确的结论是（　　）
A．①③④ B．①③④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．在实数范围内分解因式：＝　 　．
14．计算的结果是　 　 ．
15．如图，在中，，AB=3，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是　 　 ．
16．如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，点M在边上，且，点N是上的动点，连接，点E是的中点，连接，当时，线段的长为　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：
18．计算：.
19．化简，求值： ，其中m= ．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．
21．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里．
（1）求A、C两处的距离；
（2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号）
23．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
（1）化简：① ．② ．
（2）计算
（3）已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．整体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值．
（1）如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程．
（2）如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形PEGF的周长；
（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程．
25．如图，在中，
（1）若是菱形，，试求出的度数；
（2）如图2，若，点E在边的延长线上，连接，．，若M是的中点，连接，求证：；
（3）如图3，，点P是上动点，连结．过点P作交线段于点F．过B点作于H，交的高于点N．，，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A． =3，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B． ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故此选项符合题意；
D． ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、 与 不是同类二次根式，不可合并，此项不符合题意
B、 ，此项符合题意
C、 ，此项不符合题意
D、 ，此项不符合题意
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法逐项判断即可得．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A. 3 +4 =25=5 ，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B. 1 +1 =2=( ) ，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.2 +3 =13≠4 ，故不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D. 6 +8 =100=10 ，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥-1且x≠0．
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件“分母不为0”，二次根式有意义的条件“被开方数是非负数”，列出关于字母x的不等式组，求解即可得出x的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，真命题，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，真命题，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，真命题，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据菱形、正方形、矩形和平行四边形的判定方法对每个选项一一判断求解即可。
6．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：依题意可得：
，
，
，
的值一定是正数，
故答案为：B．
【分析】利用整式加减法法则求出M-N的值，然后利用配方法将计算的结果配成(x+a)2+b的形式，结合偶数次幂的非负性判断出M与N的差是一个正数.
7．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；勾股定理；整体思想
【解析】【解答】解：设，，
∴，
∴，
∵2ab=(a+b)2-(a2+b2)，
∴2ab=16-12=4
，
的面积为 ．
故答案为：D．
【分析】根据三角形周长计算公式及勾股定理列出关于字母a、b的方程组，化简整理得出a+b=4，a2+b2=12，然后利用完全平方公式恒等变形得2ab=(a+b)2-(a2+b2)，从而整体代入计算可求出ab的值，最后结合直角三角形面积计算公式可算出答案.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B ．
【分析】首先将被开方数的分子、分母同时乘以(x-1)，然后根据“”将被开方数的分母开到根号外，进而将根号外的部分约分化简即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；梯形中位线定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，取的中点G，连接，．
∵M是边的中点，G是的中点
∴是的中位线，
∴；
∵N是的中点，G是的中点
∴是的中位线，
∴
在中，由三角形三边关系可知，
即，
∴，
当，即时，四边形是梯形，
故线段长的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】连接BD，取BD的中点G，连接NG，MG；由三角形中位线等于第三边的一半得出MG=AB=3，GN=CD=5，利用三边关系可得2＜MN＜8；当AB∥CD时，四边形ABCD是梯形，此时MN= (AB+CD)=8，从而可确定MN的取值范围.
11．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：
∵该不等式组有且只有3个整数解，
∴，
解得．
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
∵，且，
∴，
∴且，
综上所述，，且，
∴符合题意的整数a有，
所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：D．
【分析】将a作为参数解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有3个整数解得到关于臬a的不等式组，求解得出a的取值范围为；再将a作为参数解分式方程得到，根据分式方程的解满足，且，列出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围为，且，综上确定整数a的值，最后求和即可．
12．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是边长为6的正方形，
，，
将沿对折至，延长交边于点，
，，，，
，
在和中，
，
，
，，
，故①正确；
，，
，故②错误；
将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，∠ADQ=∠ABH=45°，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，，
，且，，
，
解得，
，
为的中点，故④正确；
连接，则，
，
，
，
的最小值为，故⑤正确，
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得，，由翻折性质得，，，，从而利用“HL”证，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，然后根据角的构成推出，可判断①正确；根据等量代换、线段和差及完全平方公式可得出，可判断②错误；将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接PH，由旋转的性质得AH=AQ，BH=DQ，∠BAH=∠DAQ，∠ADQ= ∠ ABH=45°，由角的构成及等量代换推出∠HAP=∠QAP=45°，用“SAS”证，由全等三角形对应边相等得PH=PQ，由角的构成推出∠HBP=90°，在Rt△BHP中利用勾股定理得，再利用等量代换得，可判断③正确；在Rt△CGE中，利用勾股定理建立方程求出BG的长，可判断④正确；连接，由勾股定理算出AC，根据两点之间相等最短得出CF+AF≥AC，从而代值变形，可判断⑤正确．
13．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得
故答案为：．
【分析】由于5可以写成“”，此题二项式中两项符号相反，且都能写成一个式子的完全平方，故利用平方差公式直接分解即可.
14．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：已知算式为，
则，
解得：，
那么，
原式，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式5-x≥0，求解得出x的取值范围，进而根据有理数减法法则判断出x-6的正负，最后根据二次根式性质“及”分别化简，再合并同类项即可.
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点作，使，连接、，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴当、、在一条直线上时，最小为，
在中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
【分析】过点作，使，连接、，根据二直线平行，内错角相等求出，利用“SAS”证明，根据全等三角形的对应边相等得，则≥BD，得出当B、D、M在一条直线上时，BM+DM最小为BD，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC，再在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD即可.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形为正方形，且边长为6，
∴，
∵点E是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，由正方形性质得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，结合已知可得，由等边对等角及三角形内角和定理可推出，由角的构成及同角的余角相等推出，从而利用“ASA”证△AON≌△BOM，由全等三角形的对应边相等得，由线段和差得，然后由勾股定理即可求出的长．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式性质分别化简各个二次根式，同时根据0指数幂的法则“a0=1(a≠0)”化简，最后合并同类二次根式即可.
18．【答案】解： 原式
=6-+12-(20-2)
=18--18
=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先分别利用完全平方公式、平方差公式展开括号，再根据二次根式的性质“”及“”分别计算，然后再计算有理数的减法运算即可.
19．【答案】解：原式= ，
= ，
= ，
= ，
= ，
= ．
∴当m= 时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则把分式化简，再把m= 代入求解即可求得答案．
20．【答案】证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O，
∵AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形；
∴EO＝FO，AO＝DO；
又∵AB＝CD，
∴AO﹣AB＝DO﹣CD；
∴BO＝CO；
又∵EO＝FO，
∴四边形EBFC是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AF，ED，EF，EF交AD于O，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AEDF为平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分得EO=FO，OA=OD，根据等量减去等量差相等及线段的构成推出BO=CO，从而再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形EBFC是平行四边形．
21．【答案】解：（1）依题意，得：
，
解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
，59，60，
有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价及“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，根据总价单价数量结合及投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于的一元一次不等式组，求出该不等式组的正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为元，根据总利润每千克的利润销售数量可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润的最大值．
22．【答案】（1）解：如图1，过作于点，
由题意得：海里，，，
（海里），是等腰直角三角形，
（海里），
答：、两处的距离为20海里；
（2）解：如图2，过点作于点，
在中，海里，，
（海里），
（海里），
（海里），
在中，由勾股定理得：（海里），
（小时），
答：救援船到达处所用的时间为小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过作于点，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可求出AC的长；
（2）过点作于点，由∠DAF的余弦函数求得海里，由∠DAF的正弦函数求得海里，由线段和差求出CF=5海里，再由勾股定理求出的长，最后根据路程除以速度等于时间即可求出救援船到达C处所用的时间.
23．【答案】（1）①，②
（2）解：
．
（3）解：；理由如下；
∵，
∴，
同理：，，
∴，
∴．
【知识点】实数的大小比较；分母有理化；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：①，
故答案为：；
②解：，
故答案为：；
【分析】（1）①在式子的分子、分母同乘以分母的有理化因式计算后，再约分即可；
②在式子的分子、分母同乘以分母的有理化因式，分母先利用平方差公式计算，再合并同类项即可；
（2）先将第一个括号中的每一项分母有理化，再合并同类，进而再利用平方差公式计算，最后计算有理数减法即可；
（3）先根据实数减法法则判断出a、b、c都是正数，然后分别利用分母有理化化简a、b、c的倒数，进而根据实数比较大小的方法判断出a、b、c倒数的大小，最后根据几个正数越大的其倒数越小即可判断出a、b、c的大小.
（1）解：①，
故答案为：；
②解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：；理由如下；
∵，
∴，
同理：，，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：连接，，与交于点，如图，
四边形为菱形，AC=6，BD=8，
，，，，菱形的面积．
，
，，
，
的面积是菱形面积的，
，
．
（2）解：连接，，，过点作于点，，交于点，如图，
将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处，
垂直平分，，．，
，，
四边形为矩形，
，
．
在和中，
，
∴，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
，
，，
四边形为矩形，
，
，，
由（1）的方法可得：，
，
，
平行四边形的周长．
（3）解：的面积．连接，，，过点A作于点K，如图，
设等边三角形的边长为a，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；整体思想
【解析】【分析】（1）连接PA，由菱形的性质得出AB=AD，AC⊥BD，AO=AC=3，OB=BD=4，S菱形ABCD=AC×BD=24；利用勾股定理算出AB=AD=5，根据三角形面积计算公式及S△ABD=S△ABP+S△ADP=S菱形ABCD列出方程，求解即可得出PE+PF的值；
（2）连接BD，ND，BP，过M作MH⊥BC于H，BD，MN交于点O，由折叠性质得BM=MD=13，NC=NC'=5，DC=BC'，MN是BD的垂直平分线；由矩形性质得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠MDO=∠NBO，从而用“ASA”证△MDO≌△NBO，由全等三角形的对应边相等得MD=BN，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形MBND为平行四边形，进而再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形MBND为菱形，由菱形四边相等得出BN=BM=ND=MD=13；在Rt△BNC'中，利用勾股定理算出BC'=12，则CD=12；，用矩形性质与判断得出四边形MHCD是矩形，由矩形对边相等得出MH=CD=12；同（1）求出PE+PF=12，最后根据平行四边形周长计算方法即可算出答案；
（3）连接，，，过点作于点，设等边三角形的边长为，则，利用等腰三角形的三线合一得出，利用那个勾股定理表示出AK，然后根据三角形面积计算公式及S△ABC=S△ABP+S△CBP-S△ACP建立等式，再整体代入PH1-PH2+PH3=3可求出a的值，从而即可求出△ABC的面积.
（1）解：连接，，与交于点，如图，
四边形为菱形，
，，，，菱形的面积．
，
，，
，
的面积是菱形面积的，
，
．
（2）解：连接，，，过点作于点，，交于点，如图，
将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处，
垂直平分，，．，
，，
四边形为矩形，
，
．
在和中，
，
∴，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
，
，，
四边形为矩形，
，
，，
由（1）的方法可得：，
，
，
平行四边形的周长．
（3）解：的面积．
连接，，，过点A作于点K，如图，
设等边三角形的边长为a，则，
∵，
∴，
∵等边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
25．【答案】（1）解：∵是菱形，
∴，
，
∴，
∴．
（2）证明：如图2所示，延长，交于点F，连接，
∵，
∴，
又∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，CM=MF，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴AD+DF=BC+CE，即AF=BE
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：
证明：连接，如图3，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；四边形的综合；四边形-动点问题；猜想与证明
【解析】【分析】（1）由菱形四边相等得DA=DC，然后根据等边对等角得，再利用三角形的内角和定理可求出∠D的度数；
（2）延长，交于点F，连接，平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DFM=∠ECM，从而可用“AAS”证△DMF≌△EMC，由全等三角形的对应边相等得CE=DF，CM=MF，由平行四边形的对边相等得AD=BC，由等量加等量和相等推出AF=BE，结合已知可得AF=AC，从而根据等腰三角形的三线合一求出AM⊥CF；
（3）连接，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠NBE=∠PAE，从而可用“AAS”证△NBE≌△PAE，由全等三角形的对应边相等可得，，由等边对等角及三角形内角和定理得出，由等腰直角三角形性质得；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出BH∥PF，由二直线平行，同位角相等得出∠NBE=∠FPC ，由等量代换得出∠PAE=∠CPF，根据三角形外角性质及角的构成及等量加等量和相等推出∠ANB=∠CPA，从而用“SAS”证△ANB≌△CPA，由全等三角形的对应角相等可得∠ABN=∠CAP，可推出∠CAE=∠ABE=45°，由三角形内角和定理推出∠ACE=∠CAE=45°，由等腰直角三角形性质得出；用“ASA”证△ANP≌△PCF，由全等三角形的对应边相等得CF=NP，从而根据线段和差及等量代换可得结论.
（1）解：∵是菱形，
∴，
，
∴，
∴．
（2）证明：如图2所示，延长，交于点F，连接，
∵，
∴，
又∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：
证明：连接，如图3，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1四川省泸州高中初中教育联合校2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填在上相应位置）
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A． =3，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B． ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故此选项符合题意；
D． ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可。
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、 与 不是同类二次根式，不可合并，此项不符合题意
B、 ，此项符合题意
C、 ，此项不符合题意
D、 ，此项不符合题意
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法逐项判断即可得．
3．下列各组数，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．1，1， C．2，3，4 D．6，8，10
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A. 3 +4 =25=5 ，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B. 1 +1 =2=( ) ，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.2 +3 =13≠4 ，故不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D. 6 +8 =100=10 ，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
4．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠0
C．x＞﹣1且≠0 D．x≥﹣1且x≠0
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥-1且x≠0．
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件“分母不为0”，二次根式有意义的条件“被开方数是非负数”，列出关于字母x的不等式组，求解即可得出x的取值范围.
5．下列命题中是假命题的是（　　）
A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
B．对角线相等的菱形是正方形；
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，真命题，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，真命题，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，真命题，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据菱形、正方形、矩形和平行四边形的判定方法对每个选项一一判断求解即可。
6．若代数式，，则的值（　　）
A．一定是负数 B．一定是正数
C．一定不是负数 D．一定不是正数
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：依题意可得：
，
，
，
的值一定是正数，
故答案为：B．
【分析】利用整式加减法法则求出M-N的值，然后利用配方法将计算的结果配成(x+a)2+b的形式，结合偶数次幂的非负性判断出M与N的差是一个正数.
7．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
8．已知的周长为，斜边的长为，则的面积为（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；勾股定理；整体思想
【解析】【解答】解：设，，
∴，
∴，
∵2ab=(a+b)2-(a2+b2)，
∴2ab=16-12=4
，
的面积为 ．
故答案为：D．
【分析】根据三角形周长计算公式及勾股定理列出关于字母a、b的方程组，化简整理得出a+b=4，a2+b2=12，然后利用完全平方公式恒等变形得2ab=(a+b)2-(a2+b2)，从而整体代入计算可求出ab的值，最后结合直角三角形面积计算公式可算出答案.
9．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B ．
【分析】首先将被开方数的分子、分母同时乘以(x-1)，然后根据“”将被开方数的分母开到根号外，进而将根号外的部分约分化简即可.
10．已知：在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；梯形中位线定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，取的中点G，连接，．
∵M是边的中点，G是的中点
∴是的中位线，
∴；
∵N是的中点，G是的中点
∴是的中位线，
∴
在中，由三角形三边关系可知，
即，
∴，
当，即时，四边形是梯形，
故线段长的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】连接BD，取BD的中点G，连接NG，MG；由三角形中位线等于第三边的一半得出MG=AB=3，GN=CD=5，利用三边关系可得2＜MN＜8；当AB∥CD时，四边形ABCD是梯形，此时MN= (AB+CD)=8，从而可确定MN的取值范围.
11．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．8 B．6 C．10 D．7
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：
∵该不等式组有且只有3个整数解，
∴，
解得．
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
∵，且，
∴，
∴且，
综上所述，，且，
∴符合题意的整数a有，
所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：D．
【分析】将a作为参数解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有3个整数解得到关于臬a的不等式组，求解得出a的取值范围为；再将a作为参数解分式方程得到，根据分式方程的解满足，且，列出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围为，且，综上确定整数a的值，最后求和即可．
12．如图，已知正方形的边长为6，E为边上一点（点E不与端点C，D重合），将沿对折至，延长交边点G，连接，对角线与、分别交于P、Q两点．以下各结论：①；②；③；④若，则G为的中点；⑤线段的最小值为．其中正确的结论是（　　）
A．①③④ B．①③④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是边长为6的正方形，
，，
将沿对折至，延长交边于点，
，，，，
，
在和中，
，
，
，，
，故①正确；
，，
，故②错误；
将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，∠ADQ=∠ABH=45°，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，，
，且，，
，
解得，
，
为的中点，故④正确；
连接，则，
，
，
，
的最小值为，故⑤正确，
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得，，由翻折性质得，，，，从而利用“HL”证，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，然后根据角的构成推出，可判断①正确；根据等量代换、线段和差及完全平方公式可得出，可判断②错误；将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接PH，由旋转的性质得AH=AQ，BH=DQ，∠BAH=∠DAQ，∠ADQ= ∠ ABH=45°，由角的构成及等量代换推出∠HAP=∠QAP=45°，用“SAS”证，由全等三角形对应边相等得PH=PQ，由角的构成推出∠HBP=90°，在Rt△BHP中利用勾股定理得，再利用等量代换得，可判断③正确；在Rt△CGE中，利用勾股定理建立方程求出BG的长，可判断④正确；连接，由勾股定理算出AC，根据两点之间相等最短得出CF+AF≥AC，从而代值变形，可判断⑤正确．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．在实数范围内分解因式：＝　 　．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得
故答案为：．
【分析】由于5可以写成“”，此题二项式中两项符号相反，且都能写成一个式子的完全平方，故利用平方差公式直接分解即可.
14．计算的结果是　 　 ．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：已知算式为，
则，
解得：，
那么，
原式，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式5-x≥0，求解得出x的取值范围，进而根据有理数减法法则判断出x-6的正负，最后根据二次根式性质“及”分别化简，再合并同类项即可.
15．如图，在中，，AB=3，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是　 　 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点作，使，连接、，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴当、、在一条直线上时，最小为，
在中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
【分析】过点作，使，连接、，根据二直线平行，内错角相等求出，利用“SAS”证明，根据全等三角形的对应边相等得，则≥BD，得出当B、D、M在一条直线上时，BM+DM最小为BD，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC，再在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD即可.
16．如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，点M在边上，且，点N是上的动点，连接，点E是的中点，连接，当时，线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形为正方形，且边长为6，
∴，
∵点E是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，由正方形性质得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，结合已知可得，由等边对等角及三角形内角和定理可推出，由角的构成及同角的余角相等推出，从而利用“ASA”证△AON≌△BOM，由全等三角形的对应边相等得，由线段和差得，然后由勾股定理即可求出的长．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式性质分别化简各个二次根式，同时根据0指数幂的法则“a0=1(a≠0)”化简，最后合并同类二次根式即可.
18．计算：.
【答案】解： 原式
=6-+12-(20-2)
=18--18
=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先分别利用完全平方公式、平方差公式展开括号，再根据二次根式的性质“”及“”分别计算，然后再计算有理数的减法运算即可.
19．化简，求值： ，其中m= ．
【答案】解：原式= ，
= ，
= ，
= ，
= ，
= ．
∴当m= 时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则把分式化简，再把m= 代入求解即可求得答案．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．
【答案】证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O，
∵AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形；
∴EO＝FO，AO＝DO；
又∵AB＝CD，
∴AO﹣AB＝DO﹣CD；
∴BO＝CO；
又∵EO＝FO，
∴四边形EBFC是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AF，ED，EF，EF交AD于O，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AEDF为平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分得EO=FO，OA=OD，根据等量减去等量差相等及线段的构成推出BO=CO，从而再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形EBFC是平行四边形．
21．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
【答案】解：（1）依题意，得：
，
解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
，59，60，
有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价及“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，根据总价单价数量结合及投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于的一元一次不等式组，求出该不等式组的正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为元，根据总利润每千克的利润销售数量可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润的最大值．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里．
（1）求A、C两处的距离；
（2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图1，过作于点，
由题意得：海里，，，
（海里），是等腰直角三角形，
（海里），
答：、两处的距离为20海里；
（2）解：如图2，过点作于点，
在中，海里，，
（海里），
（海里），
（海里），
在中，由勾股定理得：（海里），
（小时），
答：救援船到达处所用的时间为小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过作于点，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可求出AC的长；
（2）过点作于点，由∠DAF的余弦函数求得海里，由∠DAF的正弦函数求得海里，由线段和差求出CF=5海里，再由勾股定理求出的长，最后根据路程除以速度等于时间即可求出救援船到达C处所用的时间.
23．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
（1）化简：① ．② ．
（2）计算
（3）已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】（1）①，②
（2）解：
．
（3）解：；理由如下；
∵，
∴，
同理：，，
∴，
∴．
【知识点】实数的大小比较；分母有理化；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：①，
故答案为：；
②解：，
故答案为：；
【分析】（1）①在式子的分子、分母同乘以分母的有理化因式计算后，再约分即可；
②在式子的分子、分母同乘以分母的有理化因式，分母先利用平方差公式计算，再合并同类项即可；
（2）先将第一个括号中的每一项分母有理化，再合并同类，进而再利用平方差公式计算，最后计算有理数减法即可；
（3）先根据实数减法法则判断出a、b、c都是正数，然后分别利用分母有理化化简a、b、c的倒数，进而根据实数比较大小的方法判断出a、b、c倒数的大小，最后根据几个正数越大的其倒数越小即可判断出a、b、c的大小.
（1）解：①，
故答案为：；
②解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：；理由如下；
∵，
∴，
同理：，，
∴，
∴．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．整体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值．
（1）如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程．
（2）如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形PEGF的周长；
（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程．
【答案】（1）解：连接，，与交于点，如图，
四边形为菱形，AC=6，BD=8，
，，，，菱形的面积．
，
，，
，
的面积是菱形面积的，
，
．
（2）解：连接，，，过点作于点，，交于点，如图，
将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处，
垂直平分，，．，
，，
四边形为矩形，
，
．
在和中，
，
∴，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
，
，，
四边形为矩形，
，
，，
由（1）的方法可得：，
，
，
平行四边形的周长．
（3）解：的面积．连接，，，过点A作于点K，如图，
设等边三角形的边长为a，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；整体思想
【解析】【分析】（1）连接PA，由菱形的性质得出AB=AD，AC⊥BD，AO=AC=3，OB=BD=4，S菱形ABCD=AC×BD=24；利用勾股定理算出AB=AD=5，根据三角形面积计算公式及S△ABD=S△ABP+S△ADP=S菱形ABCD列出方程，求解即可得出PE+PF的值；
（2）连接BD，ND，BP，过M作MH⊥BC于H，BD，MN交于点O，由折叠性质得BM=MD=13，NC=NC'=5，DC=BC'，MN是BD的垂直平分线；由矩形性质得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠MDO=∠NBO，从而用“ASA”证△MDO≌△NBO，由全等三角形的对应边相等得MD=BN，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形MBND为平行四边形，进而再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形MBND为菱形，由菱形四边相等得出BN=BM=ND=MD=13；在Rt△BNC'中，利用勾股定理算出BC'=12，则CD=12；，用矩形性质与判断得出四边形MHCD是矩形，由矩形对边相等得出MH=CD=12；同（1）求出PE+PF=12，最后根据平行四边形周长计算方法即可算出答案；
（3）连接，，，过点作于点，设等边三角形的边长为，则，利用等腰三角形的三线合一得出，利用那个勾股定理表示出AK，然后根据三角形面积计算公式及S△ABC=S△ABP+S△CBP-S△ACP建立等式，再整体代入PH1-PH2+PH3=3可求出a的值，从而即可求出△ABC的面积.
（1）解：连接，，与交于点，如图，
四边形为菱形，
，，，，菱形的面积．
，
，，
，
的面积是菱形面积的，
，
．
（2）解：连接，，，过点作于点，，交于点，如图，
将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处，
垂直平分，，．，
，，
四边形为矩形，
，
．
在和中，
，
∴，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
，
，，
四边形为矩形，
，
，，
由（1）的方法可得：，
，
，
平行四边形的周长．
（3）解：的面积．
连接，，，过点A作于点K，如图，
设等边三角形的边长为a，则，
∵，
∴，
∵等边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
25．如图，在中，
（1）若是菱形，，试求出的度数；
（2）如图2，若，点E在边的延长线上，连接，．，若M是的中点，连接，求证：；
（3）如图3，，点P是上动点，连结．过点P作交线段于点F．过B点作于H，交的高于点N．，，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵是菱形，
∴，
，
∴，
∴．
（2）证明：如图2所示，延长，交于点F，连接，
∵，
∴，
又∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，CM=MF，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴AD+DF=BC+CE，即AF=BE
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：
证明：连接，如图3，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；四边形的综合；四边形-动点问题；猜想与证明
【解析】【分析】（1）由菱形四边相等得DA=DC，然后根据等边对等角得，再利用三角形的内角和定理可求出∠D的度数；
（2）延长，交于点F，连接，平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DFM=∠ECM，从而可用“AAS”证△DMF≌△EMC，由全等三角形的对应边相等得CE=DF，CM=MF，由平行四边形的对边相等得AD=BC，由等量加等量和相等推出AF=BE，结合已知可得AF=AC，从而根据等腰三角形的三线合一求出AM⊥CF；
（3）连接，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠NBE=∠PAE，从而可用“AAS”证△NBE≌△PAE，由全等三角形的对应边相等可得，，由等边对等角及三角形内角和定理得出，由等腰直角三角形性质得；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出BH∥PF，由二直线平行，同位角相等得出∠NBE=∠FPC ，由等量代换得出∠PAE=∠CPF，根据三角形外角性质及角的构成及等量加等量和相等推出∠ANB=∠CPA，从而用“SAS”证△ANB≌△CPA，由全等三角形的对应角相等可得∠ABN=∠CAP，可推出∠CAE=∠ABE=45°，由三角形内角和定理推出∠ACE=∠CAE=45°，由等腰直角三角形性质得出；用“ASA”证△ANP≌△PCF，由全等三角形的对应边相等得CF=NP，从而根据线段和差及等量代换可得结论.
（1）解：∵是菱形，
∴，
，
∴，
∴．
（2）证明：如图2所示，延长，交于点F，连接，
∵，
∴，
又∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：
证明：连接，如图3，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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