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【2026中考人教数学一轮复习（检测卷）】
第4章 三角形检测卷(四)
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 已知∠A=60°，则∠A的余角为(　　)
A. 30°　　 B. 60°　　 C. 90°　　 D. 120°
2. 已知△ABC三个内角的度数之比为2∶3∶5，则△ABC的形状是(　　)
A. 锐角三角形　　 B. 等腰三角形
C. 直角三角形　　 D. 钝角三角形
3. 如图，已知直线m∥n，直线l平分∠2，若∠1=40°，则∠3=(　　)
第3题图
A. 100°　　 B. 110°　　 C. 120°　　 D. 140°
4. 如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为点O.若△ABC的面积为2，且OA∶OA1=1∶3，则△A1B1C1的面积为(　　)
　　
第4题图
A. 2　　 B. 6　　 C. 9　　 D. 18
5. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，BF平分∠ABC交DE于点F，若AD=3，BC=8，则EF的长为(　　)
第5题图
A. 4　　 B. 3　　 C. 2　　 D. 1
6. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步；若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？运用所学的知识可求得走路快的人追上走路慢的人需要走的步数是 (　　)
A. 250步　 　B. 200步　 　C. 150步　 　D. 100步
7. 如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为(　　)
第7题图
A. 　 　 B. 　 　 C. 　 　 D.
8. 如图，在△ABC中，BC=6，BD是中线，E是BD上一点，作射线AE，交BC于点F.若BE=2DE，则FC=(　　)
　　　
第8题图
A. 2　 　 B. 2.5　 　 C. 3　 　 D. 3.5
9. 如图，在等边△ABC中，D是BC延长线上一点，且CD=BC，AE⊥BC于点E，连接AD，F是AD的中点，连接EF.若AB=2，则EF的长为(　　)
　第9题图
A. 　 　 B. 　 　 C. 　 　 D.
10. 已知二次函数y=mx2－2mx＋n(m≠0)有最小值，点A(x1，y1)在该抛物线的对称轴左侧，点B(x2，y2)在该抛物线的对称轴右侧，若x1＋x2＜2，则(　　)
A. y1＞y2　　 B. y1＜y2　　 C. y1≥y2　　 D. y1≤y2
二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11. 已知C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，则的值为　　　　.
12. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是AB边上一点，连接CD，E是CD的中点，连接BE，若BE=2，∠ACD=15°，则AC的长度为　　　　.
　第12题图
13. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧交于点P；③作射线AP交BC于点D.若BD=，则CD的长为　　　　.
　第13题图
14. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，点E在AD上，BE的延长线交AC于点F，过点C作AB的平行线，交BF的延长线于点G，F恰好是EG的中点.若CF=1，则线段AF的长为　　　　.
第14题图
15. 如图，点D是Rt△ABC斜边AB的中点，将△CBD沿CD翻折，点B落在点E处，连接BE，交CD于点M，交CA于点N，连接AE.
第15题图
(1)∠AEB=　　　　°；
(2)若点N是EM的中点，则sin∠ACE=　　　　.
三、解答题(共3题，共22分)
16. (6分)如图，BD平分∠ABC，且AB=BD，连接AD，CD，∠C=90°，过点A作AF⊥BD于点F.求证：AF=CD.
第16题图
17. (8分)如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB上的点，连接CE，AD交于点F，BD=AD，BE=EC.
(1)求证：△ABD∽△CBE；
(2)若CD=CF，求∠B的度数.
第17题图
18. (8分)如图，小明想测量半山腰上一座信号塔AB的高度(信号塔AB垂直于平地CD)，他在平地点C处测得信号塔顶部A的仰角为30°，现从点C处前进100 m到达坡底D处，测得山坡DE与平地CD之间的夹角为26°，已知坡底D处与点B之间的距离DB=50 m，图中各点均在同一平面内，求这座信号塔AB的高度.(结果保留整数.参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，≈1.73)
第18题图/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
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【2026中考人教数学一轮复习（检测卷）】
第4章 三角形检测卷(四)
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 已知∠A=60°，则∠A的余角为(　　)
A. 30°　　 B. 60°　　 C. 90°　　 D. 120°
1.A
2. 已知△ABC三个内角的度数之比为2∶3∶5，则△ABC的形状是(　　)
A. 锐角三角形　　 B. 等腰三角形
C. 直角三角形　　 D. 钝角三角形
2.C
3. 如图，已知直线m∥n，直线l平分∠2，若∠1=40°，则∠3=(　　)
第3题图
A. 100°　　 B. 110°　　 C. 120°　　 D. 140°
3.A　【解析】如解图.∵直线m∥n，∴∠4=∠1=40°，∠2=∠5.∵直线l平分∠2，∴∠2=2∠4=80°，∴∠5=∠2=80°，∴∠3=180°－∠5=100°.
第3题解图
4. 如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为点O.若△ABC的面积为2，且OA∶OA1=1∶3，则△A1B1C1的面积为(　　)
　　
第4题图
A. 2　　 B. 6　　 C. 9　　 D. 18
4.D　【解析】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为点O，且OA∶OA1=1∶3，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶3，∴面积比为相似比的平方，即1∶9.∵△ABC的面积为2，∴△A1B1C1的面积为18.
5. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，BF平分∠ABC交DE于点F，若AD=3，BC=8，则EF的长为(　　)
第5题图
A. 4　　 B. 3　　 C. 2　　 D. 1
5.D　【解析】∵D，E分别为AB，AC边的中点，∴BD=AD=3，DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC=4，∴∠DFB=∠CBF.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠DFB，∴DF=BD=3，∴EF=DE－DF=1.
6. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步；若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？运用所学的知识可求得走路快的人追上走路慢的人需要走的步数是 (　　)
A. 250步　 　B. 200步　 　C. 150步　 　D. 100步
6.A　【解析】设走路快的人要走x步才能追上对方.依题意，得=，解得x=250，∴走路快的人追上走路慢的人需要走的步数是250步.
7. 如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为(　　)
第7题图
A. 　 　 B. 　 　 C. 　 　 D.
7.B
8. 如图，在△ABC中，BC=6，BD是中线，E是BD上一点，作射线AE，交BC于点F.若BE=2DE，则FC=(　　)
　　　
第8题图
A. 2　 　 B. 2.5　 　 C. 3　 　 D. 3.5
8.C　【解析】如解图，过点E作EG∥BC，交AC于点G.∵BE=2DE，∴===，∴EG=2.∵BD是中线，∴AD=CD.∵=，∴=，∴=，则FC=3.
第8题解图
9. 如图，在等边△ABC中，D是BC延长线上一点，且CD=BC，AE⊥BC于点E，连接AD，F是AD的中点，连接EF.若AB=2，则EF的长为(　　)
　第9题图
A. 　 　 B. 　 　 C. 　 　 D.
9.D　【解析】∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴BC=AB=2，∠B=60°.∵AE⊥BC，CD=BC，∴BE=EC=CD=1，AE=AB sin 60°=，∴DE=2，∴AD===.∵∠AED=90°，F是AD的中点，∴EF=AD=.
10. 已知二次函数y=mx2－2mx＋n(m≠0)有最小值，点A(x1，y1)在该抛物线的对称轴左侧，点B(x2，y2)在该抛物线的对称轴右侧，若x1＋x2＜2，则(　　)
A. y1＞y2　　 B. y1＜y2　　 C. y1≥y2　　 D. y1≤y2
10.A　【解析】∵二次函数y=mx2－2mx＋n(m≠0)有最小值，∴二次函数的图象开口向上，由题意知二次函数图象的对称轴为直线x=－=1.设点C(x0，y1)与点A(x1，y1)关于对称轴对称，∴=1，∴x1=2－x0.又∵x1＋x2＜2，∴2－x0＋x2＜2，解得x2＜x0.∵二次函数图象开口向上，且点C(x0，y1)，B(x2，y2)在对称轴右侧，∴y1＞y2.
一题多解法 图解法：∵二次函数y=mx2－2mx＋n(m≠0)有最小值，∴二次函数的图象开口向上，由题意知二次函数图象的对称轴为直线x=－=1，画出草图如解图.假设点B的横坐标x2=2，若x1＋x2=2，则点A的横坐标x1=0，y1=y2，若要使x1＋x2＜2，则x1＜0，即点A离对称轴更远一点，故y1＞y2.
第10题解图
二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11. 已知C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，则的值为　　　　.
11.
12. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是AB边上一点，连接CD，E是CD的中点，连接BE，若BE=2，∠ACD=15°，则AC的长度为　　　　.
　第12题图
12.2　【解析】∵∠ABC=90°，AB=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB=∠A=45°.∵∠ACD=15°，∴∠DCB=∠ACB－∠ACD=30°，∴BD=CD.∵BE是Rt△DCB斜边上的中线，∴CD=2，BE=4，∴BC=CD=2，∴AC=BC=2.
13. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧交于点P；③作射线AP交BC于点D.若BD=，则CD的长为　　　　.
　第13题图
13.　【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由题意可知AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF.在Rt△BED中，∠B=45°，BD=，∴BE=DE=1，∴DF=1.在Rt△CFD中，∠C=60°，∴CD==.
第13题解图
14. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，点E在AD上，BE的延长线交AC于点F，过点C作AB的平行线，交BF的延长线于点G，F恰好是EG的中点.若CF=1，则线段AF的长为　　　　.
第14题图
14.＋1　【解析】如解图，过点E作EH∥CG，交AC于点H，则∠HEF=∠G.∵F是EG的中点，∴EF=GF.∵∠EFH=∠GFC，∴△EFH≌△GFC，∴HE=CG，HF=CF=1.∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD.∵CG∥AB，∴EH∥AB，∴∠BAE=∠AEH，∴∠CAD=∠AEH，∴AH=EH=CG.∵CG∥AB，∴△CFG∽△AFB，∴=，即=，解得CG=(负值已舍去)，∴AF=＋1.
第14题解图
15. 如图，点D是Rt△ABC斜边AB的中点，将△CBD沿CD翻折，点B落在点E处，连接BE，交CD于点M，交CA于点N，连接AE.
第15题图
(1)∠AEB=　　　　°；
(2)若点N是EM的中点，则sin∠ACE=　　　　.
15.(1)90；(2)　【解析】(1)∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∴AD=BD，由翻折的性质可知，DE=DB，∴DE=DA=DB，∴∠DBE=∠DEB，∠DEA=∠DAE，在△ABE中，∠DBE＋∠DEB＋∠DEA＋∠DAE=2(∠DEB＋∠DEA)=180°，即∠AEB=90°；(2)由翻折的性质得BC=CE，CD是BE的垂直平分线，∴∠AEN=∠CMN=90°，∴CD∥AE，∠EAN=∠MCN.∵点N是EM的中点，即EN=MN，∴△AEN≌△CMN，∴AE=CM.∵CD∥AE，AD=BD，∴DM=AE=CM.∵在Rt△ABC中，D为AB的中点，∴CD=AB，∴AE=CM=CD=AB.∵∠NCB=∠NEA=90°，∠CNB=∠ENA，∴△ANE∽△BNC，∴=，∴=.又∵∠ANB=∠ENC，∴△ANB∽△ENC，∴∠ACE=∠ABE，∴sin∠ACE=sin∠ABE==.
三、解答题(共3题，共22分)
16. (6分)如图，BD平分∠ABC，且AB=BD，连接AD，CD，∠C=90°，过点A作AF⊥BD于点F.求证：AF=CD.
第16题图
16.证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBC.
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=90°.
在△ABF与△DBC中，
∴△ABF≌△DBC(AAS)，
∴AF=CD.
17. (8分)如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB上的点，连接CE，AD交于点F，BD=AD，BE=EC.
(1)求证：△ABD∽△CBE；
(2)若CD=CF，求∠B的度数.
第17题图
17.(1)证明：∵BD=AD，BE=EC，
∴∠B=∠BAD，∠B=∠BCE，
∴∠BAD=∠BCE.
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE；
(2)解：设∠B=x，则∠BAD=∠BCE=∠B=x，
∴∠ADC=∠B＋∠BAD=x＋x=2x.
∵CD=CF，
∴∠CDA=∠DFC=2x，
∴2x＋2x＋x=180°，
解得x=36°，
∴∠B=36°.
18. (8分)如图，小明想测量半山腰上一座信号塔AB的高度(信号塔AB垂直于平地CD)，他在平地点C处测得信号塔顶部A的仰角为30°，现从点C处前进100 m到达坡底D处，测得山坡DE与平地CD之间的夹角为26°，已知坡底D处与点B之间的距离DB=50 m，图中各点均在同一平面内，求这座信号塔AB的高度.(结果保留整数.参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，≈1.73)
第18题图
18.解：如解图，分别延长AB，CD交于点F，则∠F=90°.
由题意可知∠C=30°，∠BDF=26°，CD=100 m，BD=50 m，
∴在Rt△BDF中，
BF=BD sin 26°=50sin 26°，
DF=BD cos 26°=50cos 26°，
∴CF=CD＋DF=100＋50cos 26°，
∴在Rt△ACF中，AF=CF tan 30°=(100＋50cos 26°)，
∴AB=AF－BF=(100＋50cos 26°)－50sin 26°≈62(m).
答：这座信号塔AB的高度约为62 m.
第18题解图
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