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黑龙江鸡西市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考
数学试卷
一、单选题
1．，，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．1 B． C． D．5
3．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
4．化简：（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A．12 B．24 C． D．
6．3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．若，，则
10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的面积为
C． D．
11．在给出的下列命题中，正确的有（ ）
A．已知点在所在的平面内，满足，则点是的外心
B．在中，若点满足，则为的垂心
C．已知平面向量满足，且，则是等边三角形
D．已知平面向量满足，则为等边三角形
三、填空题
12．已知，且，则在方向上的投影数量为___________．
13．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为___________
14．在边长为2的正方形中作出．直角顶点为的中点．其他两顶点分别在边上运动．则的周长的取值范围___________．
四、解答题
15．已知，且与的夹角为，
(1)求的值：
(2)求的值；
16．在中，角所对的边分别为，且，．
(1)求边长和的周长；
(2)求的值．
17．已知向量.
(1)若，求实数；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围.
18．在中，内角的对边分别为，满足．
(1)证明：；
(2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围．
19．在 中，角对应的边分别为，已知向量，且.
(1)求.
(2)著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：.
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．A
5．A
6．A
7．C
8．D
9．ACD
10．AB
11．ABC
12．3
13．等腰三角形或直角三角形
14．
15．（1）已知，
所以.
（2）
，
所以.
16．（1）由题意可得，
解得，
的周长为.
（2）因为，，所以，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以.
17．（1），
，解得
（2）由（1）知，，
向量与所成角为锐角，
，解得.
又当时，，可得实数的范围为.
18．（1）由正弦定理得：，
，
，
；
，，
或，
即或（舍），
；
（2）
由（1）知：，又为的平分线，
，
，
，
，
设，则，
，
，
又，
，
，
解得：或（舍），即，
，
；
（3），，，
，
为锐角三角形，
，
解得：，
，
，
.
19．（1）解：由向量，
因为，可得，
由正弦定理得，即，
所以，由，得.
（2）①证明：设，由，得，
即，两边平方得；
②，
又由，
所以，
根据三维分式型柯西不等式，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由余弦定理，得，
所以，即，
则，
令，则.
由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，则，令，
令，其图象的对称轴方程为，则在上单调递减，
当，即，即时，，
所以.

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