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湖南省湘潭市初中2026年数学学业水平考试模拟试卷
1． -2026的相反数是（　　）
A．2026 B．-2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：与只有符号不同的数为，
的相反数是．
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．如图放置的几何体中，其主视图为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为三角形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项错误；
C、主视图为长方形，故本选项正确；
D、主视图为圆，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据从物体的正面看得到的视图是主视图解答即可．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： ==，A错误；
=，B正确；
≠，C错误；
∵与不是同类项，不能合并，∴，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项的法则逐项判断解答即可.
4．为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵ 抽取的总人数为50，即总频数为，第4个小组的频率为，
∴ 第4小组的频数为 ，
∵ 前3个小组的频数分别为，，，
∴ 前4个小组的频数和为 ，
∴ 第5个小组的频数为 ．
故答案为：B.
【分析】根据“频数=总数×频率”先求出第4小组的频数，然后运用总人数减去前4个小组的人数求出第5小组的频数解答即可．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，若∠A=24°，则∠B的度数是（　　）
A．48° B．56° C．66° D．76°
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴
∵
∴．
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据直角三角形两锐角互余解答．
6．下列说法正确的是（　　）
A．x2y与是同类项
B．六边形的内角和与它的外角和相等
C．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一元二次方程有两个相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的性质；同类项的概念；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：A：∵与是相同字母次数不同，∴不是同类项， A错误；
B：∵六边形内角和为，任意多边形外角和为，，∴B错误；
C：∵平行四边形只是中心对称图形不是轴对称图形，∴C错误；
D：对于一元二次方程可得，，，
∵，∴方程有两个相等的实数根，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据同类项的定义、多边形内角和与外角和公式、平行四边形的对称性、 一元二次方程根的判别式，逐向判断解答即可．
7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射.由于折射率相同，在无色透明液体中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行.若∠3=55°，∠4=75°，则∠1+∠2的大小是（　　）
A．160° B．150° C．140° D．130°
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据角的和差解答即可．
8．如图，∠1=∠2，AB=AD，添加一个条件不一定能判定△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠C=∠E B．∠B=∠D C．AC=AE D．BC=DE
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
A．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
B．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
C．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
D．添加条件，不能判定，故符合题意，
故答案为：D．
【分析】 全根据全等三角形的判定定理逐项判断解答即可．
9．如图，正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点一垂线型；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
∴点A与点C关于原点对称，
∴，
∵作轴于点，
∴，
∴的面积．
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数和正比例函数的中心对称性可得，即可得到△ABC的面积解答即可．
10．在平面直角坐标系中，对于任意两点A（m，n）和B（s，t），若点P（x，y）满足x=m-s，y=n-t，则称点P是点A、B的“关联点”.下列说法错误的是（　　）
A．已知点A（5，-3），B（2，1），则点A、B的“关联点”P的坐标为（3，-4）
B．已知点A（a2+2，4a），B（a-1，4a），则点A、B的“关联点”P一定在x轴上
C．已知点A（2x-1，x2），B（x+3，-2），则点A、B的“关联点”P在第三象限
D．已知点A（a，b）、B（2，-1），点A在函数图像上，点P（c，d）为点A、B的“关联点”，则点P的纵坐标d不可能是-2
【答案】C
【知识点】点的坐标；二次函数图象上点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意，对和，关联点满足，，
A：，，，，，，即，A说法正确；
B：，，，，，点纵坐标为，一定在轴上，B说法正确；
C：，，，，，，，第三象限点的纵坐标小于，因此点不可能在第三象限，C说法错误；
D：点在上，，，，因此不可能是，D说法正确．
故答案为：
【分析】根据“关联点”的定义，计算选项中两点的关联点的坐标，解答即可.
11．若分式有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式 有意义，则分母 ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据分式有的分母不为零解答即可．
12．“十五五”期间，国家拟通过新建、改扩建的方式，大幅增加普通高中的学位供给，以缓解升学压力和适应人口结构变化.湖南省今年明确了具体目标：将新增优质普通高中公办学位80000个.其中80000用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1解答即可．
13．在一个不透明的布袋中装有4个白球和6个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若将袋中各球充分摇匀后，再从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：，
即摸到白球的概率是．
故答案为：．
【分析】利用概率公式计算即可.
14．已知x=2是关于x的一元二次方程的一个根，则m=　 　.
【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解∶将代入原方程得∶，
解得 ．
故答案为：1.
【分析】把x=2代入方程得到4-2m-2=0，求出m的值即可.
15．如图，点A是直线l外一点，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M、N为圆心，以2MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.则sin∠MPO=　 　.
【答案】
【知识点】求正弦值；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图方法可知，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据作图可知AP⊥MN，且PM=2MN=4OM，再根据正弦的定义解答即可．
16．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，若∠ABE=9°，OA=10，则图中的弧长为　 　（结果用π表示）.
【答案】2π
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；“割圆术”
【解析】【解答】解：连接，
∵与相切于，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴平分圆心角，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2π.
【分析】连接，根据切线的性质可得，根据矩形的性质得出，即可得到，根据垂径定理得到，利用圆周角定理得到，即可得到，再利用弧长公式解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式=4-5+1+3
=3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】计算零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂，然后加减解答即可．
18．先化简，再求值：其中
【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内分式的加减，再把除法化为乘法，分解因式约分化简，再把x的值代入计算即可．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2.5，BC=6，求DE的长.
【答案】（1）证明：连接OD
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
又点D在圆上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接，
是的直径，
又，
在中，，，
由勾股定理得，
，
．
【知识点】三角形的面积；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，进而可得，在推理得到，即可证明结论；
（2）连接，由直径所对的圆周角是直角得出，即可根据三线合一得到，再根据勾股定理求出AD长，利用△ADC得面积求出DE长即可．
20．幸福小区为加强安全管理，在地下停车场出入口处安装了汽车出入道闸.如图1，AD、MN为垂直于地面l的道闸两边立柱，道闸关闭时，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长0.8米，点D距地面的距离DO为0.2米.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行.
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC=45°时，连杆CD上-点P到地面l的距离PE为1.2米，求此时点P到立柱MN的距离PF的长.
（2）若某小轿车安全通过该道闸时，需宽度PF不能小于2.3米，同时高度PE不能低于1.8米.当道闸打开至∠ADC=18°时，该小轿车能否安全通过该道闸 请说明理由.（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【答案】（1）解：过D作DH⊥PE于H，得矩形DOEH和矩形PENF，
∵∠ADC=45°，
∴∠PDH=45°，
∴在Rt△PDH中，PH=DH=1.2-0.2=1（米），
∴PF=EN=3-1=2（米），
答：P到立柱MN的距离PF的长为2米；
（2）解：该小轿车能安全通过该道闸.
当PE=1.8米时，PH=1.8-0.2=1.6（米），
∵∠ADC=18°，
∴∠DPH=18°，
∴在Rt△PDH中，DH=1.6×tan18°≈0.512（米），
∴PF=3-0.512=2.488米>2.3米，
答：该小轿车能安全通过该道闸.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作于，得出DOEH和PENF是矩形，根据等边对等角得到（米），然后根据线段的和差解答即可；
（2）当米时，求出PH的长，在中，根据正切的定义得到长，根据线段的和差求出长，与米比较解答即可．
21．某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答：
型号 甲 乙
每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600
每台价格（万元） 5 3
（1）方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件.求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台
（2）方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台.请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少 最少费用是多少
【答案】（1）解：设该公司购买甲种型号的机器人买x台，乙两种型号的机器人买y台。
则
解得
答：该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙两种型号的机器人买6台.
（2）解：设需购买甲种型号的机器人m台，则乙型机器人（12-m）台，
800m+600（12-m）≥8700，
解得m≥7.5，且m为整数，
设所花总费用w元，
则w=5m+3（12-m）=2m+36.
∵2>0，∴w随m的增大而增大.
∴当m=8时，w取得最小值，最小值为5×8+3×4=52（万元）
答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该公司购买甲种型号的机器人买台，乙种型号的机器人买台，然后根据“ 购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件 ”列方程组即可；
（2） 设需购买甲种型号的机器人m台，则乙型机器人（12-m）台 ，根据题意列不等式求出m的取值范围，再设所花总费用w元，即可得到，根据一次函数的增减性求出的最小值解答．
22．生命至上，安全第一.教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频.某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）.现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析：
【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89
【整理数据】
年级 成绩 A B C D
60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
七年级 2 5 4 4
八年级 1 a b 6
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数、方差统计表
年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 82 c 87 92.13
八年级 86 87 d 79.73
抽取的八年级15名学生竞赛初赛成绩的扇形统计图
【问题解决】根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：c=　 　，d=　 　；
（2）请计算八年级扇形统计图中B组（70≤x<80）所在扇形的圆心角的度数；
（3）该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数.
（4）根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优 请说明理由（写出一条理由即可）.
【答案】（1）80；90
（2）答：B组（70≤x<80）所在扇形的圆心角的度数为48°
（3）（人）
答：估计七年级可参加复赛的学生人数为196人.
（4）我认为该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优.因为八年级的平均分高于七年级的平均分；中位数八年级的高一些，也就是八年级的中等水平更好.
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87， 92，94， 94，98.
对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，所以．
对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以．
故答案为：80；90；
【分析】（1）根军中位数和众数的定义求出c，d的值；
（2）运用乘以八年级成绩在这一组的占比求出圆心角的度数即可；
（3）用七年级人数420乘以样本中七年级的成绩不低于85分的占比解答即可；
（4）比较平均数、中位数、众数，选择统计量解答即可．
23．
（1）【问题发现】
如图1，已知点E为正方形ABCD对角线AC上一动点（不与点A、C重合），连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，连接CF.请写出AE与CF的数量关系，并给出证明过程.
（2）【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合）.在Rt△BEF中，∠EBF=90°，∠EFB=∠ACB，连接CF.请探究此时AE与CF的数量关系，并给出探究过程.
（3）【拓展延伸】
如图3，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，点E为射线AC上一动点，点M为△BEC的外接圆的圆心，连接BM，CM，若AC=8，则当∠BMC=90°时，请直接写出线段AE的长.
【答案】（1）解：AE=CF
证明如下：
∵将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE∠CBF=∠CBF∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF；
（2）或
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=60°，
同理在Rt△EBF中，∠EFB=60°，
∵∠ABC=∠EBF，
∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC，
即∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
即；
（3）AE的长为或
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）在Rt△ABC中，∠ACB=60°，AC=8，∴BC=4，
当点E在线段AC上时：
∵∠BMC=90°，
∴在⊙M中，
过点B作BH⊥AC，
在Rt△BCH中，∠ACB=60°，BC=4，
∴CH=2，∴BH=2
在Rt△BEH中，∠BEC=45°，
当点E在线段AC的延长线上的时：
∵∠BMC=90°，
∴在⊙M中，过点B作BH⊥AC，
BH同理，在Rt△BCH中，
在Rt△BEH中，
综上所述，AE的长为或
故答案为：或
【分析】（1）①根据旋转的性质和正方形的性质，利用SAS得到，从而可得结论；
（2）先根据矩形的性质得出，再利用正切的定义可得，进而根据两边成比例且夹角相等得到，利用对应变成比例解答即可；
（3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得， 过点B作BH⊥AC， 根据解30°的直角三角形求出BH长，再根据等腰直角三角形的性质得到EH长，利用线段的和差解答即可．
24．已知二次函数的图像与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，设抛物线的顶点为D点，连接DB，点E是线段DB上的动点，点F为抛物线对称轴上一动点，连接BE、FE，求BF+EF的最小值；
（3）如图2，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接PC、OP，OP交BC于点Q.设点P的横坐标为t，
①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当y的值取最大时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：依题意得
解得
∴这个二次函数的表达式为
（2）∴D（1，4），
∵点B（3，0），A（-1，0）关于抛物线对称轴x=1对称，
连接AF，则AF=BF，
∴BF+EF=AF+EF
要使BF+EF的值最小，则AF+EF值最小.当点A、F、E在同一直线上满足条件.
过A作AG⊥BD于G，
∵点E、F均为动点，
∴则此时线段AG的长就是BF+EF的最小值。
在Rt△ABG中，，
；
（3）
令得
∴点B（3，0）又点C（0，3）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
过点P作PF∥x轴交直线BC于点F，如图，
设则
又OB=3，
∵PF∥x轴，∴△FPQ∽△BOQ，
∴当y取值最大时，
此时.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点的坐标和对称轴，连接，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，根据争先的定义即可求解；
（3）①由等高三角形面积比等于底边之比得到，利用待定系数法求直线BC的解析式，过点作轴交直线于点，设则表示PF长，根据平行得到△FPQ∽△BOQ，利用对应边成比例可得，进而求出y关于t的二次函数解析式；
②将二次函数的解析式化为顶点式，根据二次函数的增减性得到最值，进而可求点点坐标.
1 / 1湖南省湘潭市初中2026年数学学业水平考试模拟试卷
1． -2026的相反数是（　　）
A．2026 B．-2026 C． D．
2．如图放置的几何体中，其主视图为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，若∠A=24°，则∠B的度数是（　　）
A．48° B．56° C．66° D．76°
6．下列说法正确的是（　　）
A．x2y与是同类项
B．六边形的内角和与它的外角和相等
C．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一元二次方程有两个相等的实数根
7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射.由于折射率相同，在无色透明液体中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行.若∠3=55°，∠4=75°，则∠1+∠2的大小是（　　）
A．160° B．150° C．140° D．130°
8．如图，∠1=∠2，AB=AD，添加一个条件不一定能判定△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠C=∠E B．∠B=∠D C．AC=AE D．BC=DE
9．如图，正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
10．在平面直角坐标系中，对于任意两点A（m，n）和B（s，t），若点P（x，y）满足x=m-s，y=n-t，则称点P是点A、B的“关联点”.下列说法错误的是（　　）
A．已知点A（5，-3），B（2，1），则点A、B的“关联点”P的坐标为（3，-4）
B．已知点A（a2+2，4a），B（a-1，4a），则点A、B的“关联点”P一定在x轴上
C．已知点A（2x-1，x2），B（x+3，-2），则点A、B的“关联点”P在第三象限
D．已知点A（a，b）、B（2，-1），点A在函数图像上，点P（c，d）为点A、B的“关联点”，则点P的纵坐标d不可能是-2
11．若分式有意义，则x的取值范围是　 　.
12．“十五五”期间，国家拟通过新建、改扩建的方式，大幅增加普通高中的学位供给，以缓解升学压力和适应人口结构变化.湖南省今年明确了具体目标：将新增优质普通高中公办学位80000个.其中80000用科学记数法表示为　 　.
13．在一个不透明的布袋中装有4个白球和6个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若将袋中各球充分摇匀后，再从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是　 　.
14．已知x=2是关于x的一元二次方程的一个根，则m=　 　.
15．如图，点A是直线l外一点，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M、N为圆心，以2MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.则sin∠MPO=　 　.
16．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，若∠ABE=9°，OA=10，则图中的弧长为　 　（结果用π表示）.
17．计算：
18．先化简，再求值：其中
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2.5，BC=6，求DE的长.
20．幸福小区为加强安全管理，在地下停车场出入口处安装了汽车出入道闸.如图1，AD、MN为垂直于地面l的道闸两边立柱，道闸关闭时，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长0.8米，点D距地面的距离DO为0.2米.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行.
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC=45°时，连杆CD上-点P到地面l的距离PE为1.2米，求此时点P到立柱MN的距离PF的长.
（2）若某小轿车安全通过该道闸时，需宽度PF不能小于2.3米，同时高度PE不能低于1.8米.当道闸打开至∠ADC=18°时，该小轿车能否安全通过该道闸 请说明理由.（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
21．某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答：
型号 甲 乙
每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600
每台价格（万元） 5 3
（1）方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件.求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台
（2）方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台.请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少 最少费用是多少
22．生命至上，安全第一.教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频.某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）.现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析：
【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89
【整理数据】
年级 成绩 A B C D
60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
七年级 2 5 4 4
八年级 1 a b 6
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数、方差统计表
年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 82 c 87 92.13
八年级 86 87 d 79.73
抽取的八年级15名学生竞赛初赛成绩的扇形统计图
【问题解决】根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：c=　 　，d=　 　；
（2）请计算八年级扇形统计图中B组（70≤x<80）所在扇形的圆心角的度数；
（3）该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数.
（4）根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优 请说明理由（写出一条理由即可）.
23．
（1）【问题发现】
如图1，已知点E为正方形ABCD对角线AC上一动点（不与点A、C重合），连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，连接CF.请写出AE与CF的数量关系，并给出证明过程.
（2）【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合）.在Rt△BEF中，∠EBF=90°，∠EFB=∠ACB，连接CF.请探究此时AE与CF的数量关系，并给出探究过程.
（3）【拓展延伸】
如图3，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，点E为射线AC上一动点，点M为△BEC的外接圆的圆心，连接BM，CM，若AC=8，则当∠BMC=90°时，请直接写出线段AE的长.
24．已知二次函数的图像与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，设抛物线的顶点为D点，连接DB，点E是线段DB上的动点，点F为抛物线对称轴上一动点，连接BE、FE，求BF+EF的最小值；
（3）如图2，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接PC、OP，OP交BC于点Q.设点P的横坐标为t，
①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当y的值取最大时，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：与只有符号不同的数为，
的相反数是．
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为三角形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项错误；
C、主视图为长方形，故本选项正确；
D、主视图为圆，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据从物体的正面看得到的视图是主视图解答即可．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： ==，A错误；
=，B正确；
≠，C错误；
∵与不是同类项，不能合并，∴，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项的法则逐项判断解答即可.
4．【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵ 抽取的总人数为50，即总频数为，第4个小组的频率为，
∴ 第4小组的频数为 ，
∵ 前3个小组的频数分别为，，，
∴ 前4个小组的频数和为 ，
∴ 第5个小组的频数为 ．
故答案为：B.
【分析】根据“频数=总数×频率”先求出第4小组的频数，然后运用总人数减去前4个小组的人数求出第5小组的频数解答即可．
5．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴
∵
∴．
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据直角三角形两锐角互余解答．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的性质；同类项的概念；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：A：∵与是相同字母次数不同，∴不是同类项， A错误；
B：∵六边形内角和为，任意多边形外角和为，，∴B错误；
C：∵平行四边形只是中心对称图形不是轴对称图形，∴C错误；
D：对于一元二次方程可得，，，
∵，∴方程有两个相等的实数根，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据同类项的定义、多边形内角和与外角和公式、平行四边形的对称性、 一元二次方程根的判别式，逐向判断解答即可．
7．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据角的和差解答即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
A．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
B．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
C．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
D．添加条件，不能判定，故符合题意，
故答案为：D．
【分析】 全根据全等三角形的判定定理逐项判断解答即可．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点一垂线型；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
∴点A与点C关于原点对称，
∴，
∵作轴于点，
∴，
∴的面积．
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数和正比例函数的中心对称性可得，即可得到△ABC的面积解答即可．
10．【答案】C
【知识点】点的坐标；二次函数图象上点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意，对和，关联点满足，，
A：，，，，，，即，A说法正确；
B：，，，，，点纵坐标为，一定在轴上，B说法正确；
C：，，，，，，，第三象限点的纵坐标小于，因此点不可能在第三象限，C说法错误；
D：点在上，，，，因此不可能是，D说法正确．
故答案为：
【分析】根据“关联点”的定义，计算选项中两点的关联点的坐标，解答即可.
11．【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式 有意义，则分母 ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据分式有的分母不为零解答即可．
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1解答即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：，
即摸到白球的概率是．
故答案为：．
【分析】利用概率公式计算即可.
14．【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解∶将代入原方程得∶，
解得 ．
故答案为：1.
【分析】把x=2代入方程得到4-2m-2=0，求出m的值即可.
15．【答案】
【知识点】求正弦值；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图方法可知，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据作图可知AP⊥MN，且PM=2MN=4OM，再根据正弦的定义解答即可．
16．【答案】2π
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；“割圆术”
【解析】【解答】解：连接，
∵与相切于，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴平分圆心角，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2π.
【分析】连接，根据切线的性质可得，根据矩形的性质得出，即可得到，根据垂径定理得到，利用圆周角定理得到，即可得到，再利用弧长公式解答即可．
17．【答案】解：原式=4-5+1+3
=3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】计算零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂，然后加减解答即可．
18．【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内分式的加减，再把除法化为乘法，分解因式约分化简，再把x的值代入计算即可．
19．【答案】（1）证明：连接OD
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
又点D在圆上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接，
是的直径，
又，
在中，，，
由勾股定理得，
，
．
【知识点】三角形的面积；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，进而可得，在推理得到，即可证明结论；
（2）连接，由直径所对的圆周角是直角得出，即可根据三线合一得到，再根据勾股定理求出AD长，利用△ADC得面积求出DE长即可．
20．【答案】（1）解：过D作DH⊥PE于H，得矩形DOEH和矩形PENF，
∵∠ADC=45°，
∴∠PDH=45°，
∴在Rt△PDH中，PH=DH=1.2-0.2=1（米），
∴PF=EN=3-1=2（米），
答：P到立柱MN的距离PF的长为2米；
（2）解：该小轿车能安全通过该道闸.
当PE=1.8米时，PH=1.8-0.2=1.6（米），
∵∠ADC=18°，
∴∠DPH=18°，
∴在Rt△PDH中，DH=1.6×tan18°≈0.512（米），
∴PF=3-0.512=2.488米>2.3米，
答：该小轿车能安全通过该道闸.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作于，得出DOEH和PENF是矩形，根据等边对等角得到（米），然后根据线段的和差解答即可；
（2）当米时，求出PH的长，在中，根据正切的定义得到长，根据线段的和差求出长，与米比较解答即可．
21．【答案】（1）解：设该公司购买甲种型号的机器人买x台，乙两种型号的机器人买y台。
则
解得
答：该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙两种型号的机器人买6台.
（2）解：设需购买甲种型号的机器人m台，则乙型机器人（12-m）台，
800m+600（12-m）≥8700，
解得m≥7.5，且m为整数，
设所花总费用w元，
则w=5m+3（12-m）=2m+36.
∵2>0，∴w随m的增大而增大.
∴当m=8时，w取得最小值，最小值为5×8+3×4=52（万元）
答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该公司购买甲种型号的机器人买台，乙种型号的机器人买台，然后根据“ 购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件 ”列方程组即可；
（2） 设需购买甲种型号的机器人m台，则乙型机器人（12-m）台 ，根据题意列不等式求出m的取值范围，再设所花总费用w元，即可得到，根据一次函数的增减性求出的最小值解答．
22．【答案】（1）80；90
（2）答：B组（70≤x<80）所在扇形的圆心角的度数为48°
（3）（人）
答：估计七年级可参加复赛的学生人数为196人.
（4）我认为该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优.因为八年级的平均分高于七年级的平均分；中位数八年级的高一些，也就是八年级的中等水平更好.
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87， 92，94， 94，98.
对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，所以．
对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以．
故答案为：80；90；
【分析】（1）根军中位数和众数的定义求出c，d的值；
（2）运用乘以八年级成绩在这一组的占比求出圆心角的度数即可；
（3）用七年级人数420乘以样本中七年级的成绩不低于85分的占比解答即可；
（4）比较平均数、中位数、众数，选择统计量解答即可．
23．【答案】（1）解：AE=CF
证明如下：
∵将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE∠CBF=∠CBF∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF；
（2）或
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=60°，
同理在Rt△EBF中，∠EFB=60°，
∵∠ABC=∠EBF，
∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC，
即∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
即；
（3）AE的长为或
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）在Rt△ABC中，∠ACB=60°，AC=8，∴BC=4，
当点E在线段AC上时：
∵∠BMC=90°，
∴在⊙M中，
过点B作BH⊥AC，
在Rt△BCH中，∠ACB=60°，BC=4，
∴CH=2，∴BH=2
在Rt△BEH中，∠BEC=45°，
当点E在线段AC的延长线上的时：
∵∠BMC=90°，
∴在⊙M中，过点B作BH⊥AC，
BH同理，在Rt△BCH中，
在Rt△BEH中，
综上所述，AE的长为或
故答案为：或
【分析】（1）①根据旋转的性质和正方形的性质，利用SAS得到，从而可得结论；
（2）先根据矩形的性质得出，再利用正切的定义可得，进而根据两边成比例且夹角相等得到，利用对应变成比例解答即可；
（3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得， 过点B作BH⊥AC， 根据解30°的直角三角形求出BH长，再根据等腰直角三角形的性质得到EH长，利用线段的和差解答即可．
24．【答案】（1）解：依题意得
解得
∴这个二次函数的表达式为
（2）∴D（1，4），
∵点B（3，0），A（-1，0）关于抛物线对称轴x=1对称，
连接AF，则AF=BF，
∴BF+EF=AF+EF
要使BF+EF的值最小，则AF+EF值最小.当点A、F、E在同一直线上满足条件.
过A作AG⊥BD于G，
∵点E、F均为动点，
∴则此时线段AG的长就是BF+EF的最小值。
在Rt△ABG中，，
；
（3）
令得
∴点B（3，0）又点C（0，3）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
过点P作PF∥x轴交直线BC于点F，如图，
设则
又OB=3，
∵PF∥x轴，∴△FPQ∽△BOQ，
∴当y取值最大时，
此时.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点的坐标和对称轴，连接，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，根据争先的定义即可求解；
（3）①由等高三角形面积比等于底边之比得到，利用待定系数法求直线BC的解析式，过点作轴交直线于点，设则表示PF长，根据平行得到△FPQ∽△BOQ，利用对应边成比例可得，进而求出y关于t的二次函数解析式；
②将二次函数的解析式化为顶点式，根据二次函数的增减性得到最值，进而可求点点坐标.
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