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四川省南充市营山县初中2026年数学学业水平第一次模拟考试试卷
1．五个有理数在数轴上的对应点E，F，G，H，M的位置如图所示，点G表示的数的相反数所对应的点是（　　）
A．F B．G C．H D．M
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示；求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：由数轴可知，点表示的数为，
的相反数是，
点表示的数的相反数所对应的点仍然是点．
故答案为：B.
【分析】先根据0的相反数是0解答即可．
2．如图，直线，点A、B分别在直线n、m上，连接，过点作，交直线于．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂直定义可得，利用两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的内角和定理解答即可．
3．下列说法正确的是（　　）
A．数据“3，5，4，1，5”的众数是5
B．为了解一批灯泡的使用寿命，适合用全面调查
C．两组数据的平均数相同，方差越大，说明数据的波动越小
D．海底捞月是必然事件
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；方差；众数
【解析】【解答】解：A、数据“3，5，4，1，5”中，5出现的次数最多，该组数据的众数是5，故A正确；
B、调查灯泡的使用寿命具有破坏性，适合抽样调查，不适合全面调查，故B错误；
C、根据方差的意义，两组数据平均数相同时，方差越大，数据的波动越大，故C错误；
D、海底捞月不可能发生，属于不可能事件，不是必然事件，故D错误．
故答案为：A.
【分析】根据众数的定义判断A选项；根据 全面调查的和抽样调查的特点判断B选项；根据方差越小越稳定判断C选项；根据必然事件是在一定条件下一定发生的事件判断D选项解答即可．
4．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得，
．
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方运算法则解答即可.
5．《九章算术》有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下面所列方程（组）正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有辆车，有人，
根据题意得：．
故答案为：A.
【分析】 设有辆车，有人， 根据“ 两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车”列方程（组）判断解答即可．
6．如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交，
∴，
∴，，故B选项结论正确，不符合题意；
∵，点是的中点，
∴，故A选项结论正确，不符合题意；
∴，故D选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴不一定成立，故C选项结论不正确，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后逐项判断解答即可．
7．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据等边对等角得到，解答即可．
8．已知实数a，b满足，且，则的值是（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】分式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，
，
∵，
∴，
∴
解得，
将代入得，
．
故答案为：D.
【分析】由已知，整理化简可得，然后代入a+b计算即可.．
9．如图，矩形的对角线、相交于点，点为边的中点，连接，连接交于点．若，则的长是（　　）
A．6 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得到是的中位线，即可得到，，进而可得，根据对应边成比例解答即可．
10．若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点，则线段长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：的运动轨迹是，直线与轴交点为，与轴交点为，
∴，
∴，
作直线的平行线，
∴当与抛物线只有唯一交点时，两平行线间的距离即为线段长度的最小值，
设与轴交点为，过作于，则，
∴，
∴，，
联立整理得，
∵与抛物线只有唯一交点，
∴，解得，
∴，
即线段长度的最小值为．
故答案为：C.
【分析】得到点B在上，设直线的平行线，联立直线MN和二次函数的解析式，根据唯一交点求出k的值，然后根据解直角三角形求出AB的最小值即可．
11．“先看到闪电，后听到雷声”那是因为在空气中光的传播速度比声音快．光在空气里的传播速度约为300000000米/秒，用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
12．从不等式组的所有整数解中任意抽取一个数，它是偶数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；概率公式
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，即，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为：，共个，
其中偶数为，共个，
任意抽取一个数，它是偶数的概率是．
故答案为：.
【分析】解不等式组求出解集，即可得到所有整数解，利用概率公式计算解答．
13．在平面直角坐标系中，把点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度得到点．若点的横坐标与纵坐标相等，则的值为　 　．
【答案】7
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，
点的横坐标和纵坐标相等，
，
解得：．
故答案为：7.
【分析】根据点平移的坐标规律“左减右加，上加下减”解答即可．
14．如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设与相交于点D，如图：
由题意得，，
四边形是菱形，
∵菱形的面积为15，
∴
解得．
故答案为：3.
【分析】根据作图可得四边形是菱形，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
15．如图，经过坐标原点的直线与双曲线分别在第一象限和第三象限相交于点A、B，轴，于点．若，点的横坐标为，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点在双曲线上，横坐标为，
∴，
由题意得，过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴的横坐标与相同，为；
∵，
∴C的纵坐标与相同，为，即，
∴；，
∵，
∴
∴，
将代入，得
．
故答案为：5.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标得到点，根据对称性可得．进而求出．得到、，由列方程整理可得，代入代数式计算即可．
16．如图，点是边长为的正方形的边上一动点（不与、重合），连接，以为腰向右作等腰与交于点，连接，分别与、相交于点、，连接、．给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③若，则；④连接的最小值为．其中正确的结论是　 　．（填写序号）
【答案】②④
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型
【解析】【解答】解：设，在正方形中，，即，
∴，
当时，，而是动点，故不一定成立，故①错误；
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵正方形边长为，，
∴，则，
∴，
又∵在中，是斜边，
∴，即，故③错误；
如图，在上取点，使，连接，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，连接，则，，
∴，
∴共线，
此时的最小值为的长，
在中，，
∴，故④正确；
故答案为：②④.
【分析】设，根据三角形的外角和三角形的内角和定理得到，，根据是动点判断①；得到四点共圆，即可得出判断②；根据正切的定义求得，即可得到，根据垂线段最短判断③，根据SAS得到△SAE≌△CEH，即可得到，作点关于的对称点，连接，利用两点间线段最短得出的最小值为的长，再根据勾股定理求出AT判断④解答即可．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用单项式乘以多项式、完全平方公式展开，然后合并同类项解答；
（2）先计算零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，先后运算二次根式的乘法，再加减解答即可．
18．如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，为的中线，
．
由作图可得．
在和中，
，
；
（2）解：，为的中线，
，
∵，
，
由作图可得，
又，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得出．根据作图可得．利用证明两三角形全等即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据等边对等角得出，利用三角形内角和定理解答即可．
19．为了解中考体育科目训练情况，某市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）图1中度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（2）测试老师想从4位同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【答案】（1）54°；
解：级人数为：（人），补全条形图如图：
（2）解：由题意，列表如下：
E F G H
E E，F E，G E，H
F F，E F，G F，H
G G，E G，F G，H
H H，E H，F H，G
共12种等可能的结果，其中选中小明的结果有6种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）（人）；
；
故答案为：54°.
【分析】（1）运用级人数除以占比求出总数，再用360都乘以级人数占比求出度数，总人数乘以C级占比求出级人数，补全条形图即可；
（2）列表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，，
，，
∴，
整理得，
解得，
由（1）得
舍去，
因此．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据方程根的情况得到判别式，求出m的取值范围即可．
（2）根据根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形将转化为，然后整体代入求出m的值，再根据（1）中m的取值范围解答即可．
21．如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）若点与点关于轴对称，求的面积．
【答案】（1）解：将代入得，
解得：，
∴；
（2）解：将直线与双曲线联立得，
解得：，
经检验，均为原分式方程的解，
当时，，
∴；
（3）解：当时，，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）将代入，求出k的值解答即可；
（2）联立与，求出交点B的坐标即可；
（3）先求出点C的坐标，再根据轴对称的性质可得，即可得到，利用割补法求出三角形面积即可．
22．如图，点P是外一点，交于点．
（1）请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画线段的垂直平分线，交于点；②在上找一点（点在）上方，使；③画射线．
（2）求证：是的切线；
（3）在（1）（2）问的条件下，若，求点C到的距离．
【答案】（1）解：①如图所示：的垂直平分线，点为所求：
②如图所示：点，为所求：
③如图所示：射线为所求：
（2）证明：连接，
由作图知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C到的距离为．
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点作直线，交于点A，则点A即为所作；
②以点为圆心，的长为半径画弧，在上方与交于点，连接，AC即为所作；
③作射线PC，则PC即为所作；
（2）连接，根据，得到，根据三角形的内角和得到，证明结论；
（3）过点作于点，根据同角的余角相等得到，根据余弦的定义得到即可解答．
23．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
（1）任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
【答案】（1）解：设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，
解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）解：根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图象开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
答：最大日销售利润为8600元．
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得到x的取值范围即可；
（2））利用单利润×销售量=总利润得到w关于x的函数关系式，化为顶点式可得，根据二次函数的增减性得到最值解答即可．
24．按要求解决问题：
（1）证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求的值；
（2）类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：连接，在（2）的条件下，当时，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图2中，作于，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交的延长线于．
∵，
∴，
∴，
∴设，，则，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍弃），
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA得到，即可得到AE=DQ，然后推理得到四边形是平行四边形，即可得到，求出比值解答即可；
（2）作于，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，然后推理得到四边形是矩形，即可得到，求出比值解答即可；
（3）作交的延长线于．根据正切的定义设，，则EF=AF=5k，在中，根据勾股定理求出k的值，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出、的长，再根据勾股定理解答即可．
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（3）如图2，若动直线与抛物线交于M、N两点（直线与BC不重合），连接、，直线与交于点．当时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴顶点，
连接，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P的横坐标为定值，理由如下：
∵，
∴设直线解析式为，
代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴设直线解析式为，
设，，
∵直线与抛物线交于M、N两点，
∴联立得，
∴，，
∵，
∴设直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把代入解析式得，
解得：，
∴直线解析式为，
∵直线与交于点，
∴联立，解得，
∵直线与抛物线交于，，
联立得，解得，
∴，
同理由直线与抛物线交于，，可得，
∵，
∴，
整理得
∴，
∴点P的横坐标为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）把代入解析式求出a，b的值解答即可；
（2）求出点C的坐标，可得，，配方为顶点式得到顶点，根据勾股定理的逆定理得到，然后得到，即可得到，进而证明结论即可；
（3）求出直线解析式，根据平行得到直线解析式为，设，，联立直线与抛物线的解析式，根据根与系数关系得到，求出直线和的解析式，得到点P的横坐标，分别联立直线CN、BM与抛物线求出m，n与k1的关系，得到，最后代入点P的横坐标计算即可．
1 / 1四川省南充市营山县初中2026年数学学业水平第一次模拟考试试卷
1．五个有理数在数轴上的对应点E，F，G，H，M的位置如图所示，点G表示的数的相反数所对应的点是（　　）
A．F B．G C．H D．M
2．如图，直线，点A、B分别在直线n、m上，连接，过点作，交直线于．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．数据“3，5，4，1，5”的众数是5
B．为了解一批灯泡的使用寿命，适合用全面调查
C．两组数据的平均数相同，方差越大，说明数据的波动越小
D．海底捞月是必然事件
4．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
5．《九章算术》有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下面所列方程（组）正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．已知实数a，b满足，且，则的值是（　　）
A．2 B． C．1 D．
9．如图，矩形的对角线、相交于点，点为边的中点，连接，连接交于点．若，则的长是（　　）
A．6 B． C．5 D．
10．若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点，则线段长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
11．“先看到闪电，后听到雷声”那是因为在空气中光的传播速度比声音快．光在空气里的传播速度约为300000000米/秒，用科学记数法表示为　 　．
12．从不等式组的所有整数解中任意抽取一个数，它是偶数的概率是　 　．
13．在平面直角坐标系中，把点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度得到点．若点的横坐标与纵坐标相等，则的值为　 　．
14．如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为　 　．
15．如图，经过坐标原点的直线与双曲线分别在第一象限和第三象限相交于点A、B，轴，于点．若，点的横坐标为，则的值为　 　．
16．如图，点是边长为的正方形的边上一动点（不与、重合），连接，以为腰向右作等腰与交于点，连接，分别与、相交于点、，连接、．给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③若，则；④连接的最小值为．其中正确的结论是　 　．（填写序号）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．为了解中考体育科目训练情况，某市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）图1中度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（2）测试老师想从4位同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值．
21．如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）若点与点关于轴对称，求的面积．
22．如图，点P是外一点，交于点．
（1）请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画线段的垂直平分线，交于点；②在上找一点（点在）上方，使；③画射线．
（2）求证：是的切线；
（3）在（1）（2）问的条件下，若，求点C到的距离．
23．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
（1）任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
24．按要求解决问题：
（1）证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求的值；
（2）类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：连接，在（2）的条件下，当时，若，求的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（3）如图2，若动直线与抛物线交于M、N两点（直线与BC不重合），连接、，直线与交于点．当时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示；求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：由数轴可知，点表示的数为，
的相反数是，
点表示的数的相反数所对应的点仍然是点．
故答案为：B.
【分析】先根据0的相反数是0解答即可．
2．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂直定义可得，利用两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的内角和定理解答即可．
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；方差；众数
【解析】【解答】解：A、数据“3，5，4，1，5”中，5出现的次数最多，该组数据的众数是5，故A正确；
B、调查灯泡的使用寿命具有破坏性，适合抽样调查，不适合全面调查，故B错误；
C、根据方差的意义，两组数据平均数相同时，方差越大，数据的波动越大，故C错误；
D、海底捞月不可能发生，属于不可能事件，不是必然事件，故D错误．
故答案为：A.
【分析】根据众数的定义判断A选项；根据 全面调查的和抽样调查的特点判断B选项；根据方差越小越稳定判断C选项；根据必然事件是在一定条件下一定发生的事件判断D选项解答即可．
4．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得，
．
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方运算法则解答即可.
5．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有辆车，有人，
根据题意得：．
故答案为：A.
【分析】 设有辆车，有人， 根据“ 两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车”列方程（组）判断解答即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交，
∴，
∴，，故B选项结论正确，不符合题意；
∵，点是的中点，
∴，故A选项结论正确，不符合题意；
∴，故D选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴不一定成立，故C选项结论不正确，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后逐项判断解答即可．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据等边对等角得到，解答即可．
8．【答案】D
【知识点】分式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，
，
∵，
∴，
∴
解得，
将代入得，
．
故答案为：D.
【分析】由已知，整理化简可得，然后代入a+b计算即可.．
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得到是的中位线，即可得到，，进而可得，根据对应边成比例解答即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：的运动轨迹是，直线与轴交点为，与轴交点为，
∴，
∴，
作直线的平行线，
∴当与抛物线只有唯一交点时，两平行线间的距离即为线段长度的最小值，
设与轴交点为，过作于，则，
∴，
∴，，
联立整理得，
∵与抛物线只有唯一交点，
∴，解得，
∴，
即线段长度的最小值为．
故答案为：C.
【分析】得到点B在上，设直线的平行线，联立直线MN和二次函数的解析式，根据唯一交点求出k的值，然后根据解直角三角形求出AB的最小值即可．
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；概率公式
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，即，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为：，共个，
其中偶数为，共个，
任意抽取一个数，它是偶数的概率是．
故答案为：.
【分析】解不等式组求出解集，即可得到所有整数解，利用概率公式计算解答．
13．【答案】7
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，
点的横坐标和纵坐标相等，
，
解得：．
故答案为：7.
【分析】根据点平移的坐标规律“左减右加，上加下减”解答即可．
14．【答案】3
【知识点】菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设与相交于点D，如图：
由题意得，，
四边形是菱形，
∵菱形的面积为15，
∴
解得．
故答案为：3.
【分析】根据作图可得四边形是菱形，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
15．【答案】5
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点在双曲线上，横坐标为，
∴，
由题意得，过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴的横坐标与相同，为；
∵，
∴C的纵坐标与相同，为，即，
∴；，
∵，
∴
∴，
将代入，得
．
故答案为：5.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标得到点，根据对称性可得．进而求出．得到、，由列方程整理可得，代入代数式计算即可．
16．【答案】②④
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型
【解析】【解答】解：设，在正方形中，，即，
∴，
当时，，而是动点，故不一定成立，故①错误；
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵正方形边长为，，
∴，则，
∴，
又∵在中，是斜边，
∴，即，故③错误；
如图，在上取点，使，连接，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，连接，则，，
∴，
∴共线，
此时的最小值为的长，
在中，，
∴，故④正确；
故答案为：②④.
【分析】设，根据三角形的外角和三角形的内角和定理得到，，根据是动点判断①；得到四点共圆，即可得出判断②；根据正切的定义求得，即可得到，根据垂线段最短判断③，根据SAS得到△SAE≌△CEH，即可得到，作点关于的对称点，连接，利用两点间线段最短得出的最小值为的长，再根据勾股定理求出AT判断④解答即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用单项式乘以多项式、完全平方公式展开，然后合并同类项解答；
（2）先计算零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，先后运算二次根式的乘法，再加减解答即可．
18．【答案】（1）证明：，为的中线，
．
由作图可得．
在和中，
，
；
（2）解：，为的中线，
，
∵，
，
由作图可得，
又，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得出．根据作图可得．利用证明两三角形全等即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据等边对等角得出，利用三角形内角和定理解答即可．
19．【答案】（1）54°；
解：级人数为：（人），补全条形图如图：
（2）解：由题意，列表如下：
E F G H
E E，F E，G E，H
F F，E F，G F，H
G G，E G，F G，H
H H，E H，F H，G
共12种等可能的结果，其中选中小明的结果有6种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）（人）；
；
故答案为：54°.
【分析】（1）运用级人数除以占比求出总数，再用360都乘以级人数占比求出度数，总人数乘以C级占比求出级人数，补全条形图即可；
（2）列表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
20．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，，
，，
∴，
整理得，
解得，
由（1）得
舍去，
因此．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据方程根的情况得到判别式，求出m的取值范围即可．
（2）根据根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形将转化为，然后整体代入求出m的值，再根据（1）中m的取值范围解答即可．
21．【答案】（1）解：将代入得，
解得：，
∴；
（2）解：将直线与双曲线联立得，
解得：，
经检验，均为原分式方程的解，
当时，，
∴；
（3）解：当时，，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）将代入，求出k的值解答即可；
（2）联立与，求出交点B的坐标即可；
（3）先求出点C的坐标，再根据轴对称的性质可得，即可得到，利用割补法求出三角形面积即可．
22．【答案】（1）解：①如图所示：的垂直平分线，点为所求：
②如图所示：点，为所求：
③如图所示：射线为所求：
（2）证明：连接，
由作图知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C到的距离为．
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点作直线，交于点A，则点A即为所作；
②以点为圆心，的长为半径画弧，在上方与交于点，连接，AC即为所作；
③作射线PC，则PC即为所作；
（2）连接，根据，得到，根据三角形的内角和得到，证明结论；
（3）过点作于点，根据同角的余角相等得到，根据余弦的定义得到即可解答．
23．【答案】（1）解：设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，
解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）解：根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图象开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
答：最大日销售利润为8600元．
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得到x的取值范围即可；
（2））利用单利润×销售量=总利润得到w关于x的函数关系式，化为顶点式可得，根据二次函数的增减性得到最值解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图2中，作于，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交的延长线于．
∵，
∴，
∴，
∴设，，则，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍弃），
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA得到，即可得到AE=DQ，然后推理得到四边形是平行四边形，即可得到，求出比值解答即可；
（2）作于，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，然后推理得到四边形是矩形，即可得到，求出比值解答即可；
（3）作交的延长线于．根据正切的定义设，，则EF=AF=5k，在中，根据勾股定理求出k的值，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出、的长，再根据勾股定理解答即可．
25．【答案】（1）解：把代入
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴顶点，
连接，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P的横坐标为定值，理由如下：
∵，
∴设直线解析式为，
代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴设直线解析式为，
设，，
∵直线与抛物线交于M、N两点，
∴联立得，
∴，，
∵，
∴设直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把代入解析式得，
解得：，
∴直线解析式为，
∵直线与交于点，
∴联立，解得，
∵直线与抛物线交于，，
联立得，解得，
∴，
同理由直线与抛物线交于，，可得，
∵，
∴，
整理得
∴，
∴点P的横坐标为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）把代入解析式求出a，b的值解答即可；
（2）求出点C的坐标，可得，，配方为顶点式得到顶点，根据勾股定理的逆定理得到，然后得到，即可得到，进而证明结论即可；
（3）求出直线解析式，根据平行得到直线解析式为，设，，联立直线与抛物线的解析式，根据根与系数关系得到，求出直线和的解析式，得到点P的横坐标，分别联立直线CN、BM与抛物线求出m，n与k1的关系，得到，最后代入点P的横坐标计算即可．
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