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2026 年山西吕梁市中阳县中考模拟训练·数学
一、单选题
1．下列四个数中，最大的是( )
A．2 B．0 C． D．
2．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年，山西省新能源和清洁能源装机量达9048万千瓦，占山西全省电力总装机容量的比重达．数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，这是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．名教师和若干名学生到某景区春游．该景区成人票每张元，学生票每张元．师生总票款（单位：元）与学生人数之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
8．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：=_____．
12．如图，将水仙花放在每个小正方形的边长都是1的方格纸上，且点都在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_______．
13．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______．
14．如图，是的直径，点在半圆上，与相切于点，若，则的度数为_______．
15．如图，在四边形中，，是边上的一点，连接，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，若，则的长为_______．
三、解答题
16．计算与解方程组
(1)计算：；
(2)解方程组：．
17．如图，在中，已知．
(1)尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
18．为提高学生的安全意识，某校组织八、九年级的学生开展了一次消防知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀．并分别从八、九年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、分析．
【数据整理】
【数据分析】
平均数 中位数 众数 优秀率
八年级
九年级
【问题解决】
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中的_______，_______，_______．
(2)若该校九年级学生共有人，估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数．
(3)你认为哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由．
19．科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量．
20．项目学习
项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告：
活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度
测量工具 测角仪，卷尺
测量示意图
方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内
相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米
请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ）
21．阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应的任务．
三角形的“和谐点” 【概念理解】如图1，在中，点在边上，连接，若点满足等式，则称点为的“和谐点”． 【问题1】如图1，在中，为上的一点，连接，若点是的“和谐点”，则的长为___________． 【问题2】如图2，在中，是边上的一点，若点为的“和谐点”，求的长． 下面是部分解答过程： 解：， ． 设，则． 点为的“和谐点”， ， ．．．．．．
任务：
(1)问题1中的的长为_________．
(2)补全问题2的解答过程．
(3)在等腰直角中，底边的中点_________（填“是”或“不是”）的“和谐点”．
22．综合与实践
如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长．
(3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标．
23．综合与探究
【问题情境】
如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点．
(1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由．
(2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长．
(3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长．
参考答案
1．A
【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴负数和0都小于正数和，只需比较和的大小．
对两个正数平方得，，
∵，
∴，
因此四个数的大小关系为，故最大的数是2．
2．C
【详解】解：选项A：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形．
选项B：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形．
选项C：绕其中心旋转后，能与自身重合，是中心对称图形．
选项D：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形．
3．D
【详解】解：万
4．B
【详解】解：A.，故原计算错误，你符合题意；
B.，故原计算正确，符合题意；
C.，故原计算错误，不符合题意；
D.与不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意．
5．C
【详解】解：∵，，
∴，即选项C符合题意．
6．A
【详解】解：解不等式，
移项得 ，
∴，
解不等式，
两边同乘得 ，
移项得 ，
∴，
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为．
7．D
【详解】解：根据题意，
∵学生人数为，学生票每张元，
∴学生总票款为元，
∵共有名教师，成人票每张元，
∴教师总票款为元，
∴师生总票款．
8．B
【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下：
∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种，
∴所求概率为．
9．C
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴．
10．D
【详解】解：过点作交于点，对各区域面积进行标注，如下图所示：
∵，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
11．
【详解】解：．
故答案为：
12．
【详解】解：点移动到点时，向右移动格，向下移动格，横坐标增加了，纵坐标减小了，
故从点移动到点时，向右移动格，向上移动格，即横坐标增加，纵坐标增加，
∴点的坐标为．
13．
【详解】解：设密度是体积的反比例函数为，
把点代入，得，解得，
∴，
当时，．
14．/度
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴
∵是的切线
∴
∴
15．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点．
，
四边形为矩形，
．
在中，．
，
，
，
．
，
，
，
，
解得．
16．(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，得，解得，
将代入，得，
∴原方程组的解为．
17．(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：（1）如图，为所作．
（2）解：∵，
在中，根据勾股定理得，
∴，
在中，根据勾股定理得．
18．(1)；；
(2)估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数为人
(3)九年级的竞赛成绩更好，理由见解析
【详解】（1）解： 八年级成绩中，分的有人，次数最多，则众数；
九年级成绩的中位数为第和位的平均数，即
∵不低于9分的成绩为优秀．
∴九年级成绩的优秀率为：
（2）．
答：估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数为480人．
（3）九年级的竞赛成绩更好．
理由：虽然两个年级的平均数、中位数相同，但九年级竞赛成绩的众数、优秀率比八年级的高，故九年级的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
19．实际每个月制作机器人45台
【详解】解：设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人，
根据题意得，解得，
经检验：是原方程的解，
实际每个月制作机器人（台）．
答：实际每个月制作机器人45台．
20．纪念碑的高度约为米
【详解】解：斜坡的坡度为，
．
由题意,四边形为矩形，
．
设．
，
，
．
，
，
解得，
．
答：纪念碑的高度约为米．
21．(1)
(2)见解析
(3)是
【详解】（1）解：∵
∴
∵点是的“和谐点”，
∴
∴
（2）补全问题2的解答过程：
∵，，
∴
（3）解：等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”．
如图所示，等腰直角中，点是底边的中点
∴，
∴
∴等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”．
22．(1)
(2)
(3)这两盏路灯的坐标分别为
【详解】（1）解：据题意，可得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵点，点到的距离均为，
∴令，
解得，
∴．
（3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，
可得垂直于轴，垂足为，且，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
可得，
解（舍去）．
当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
即这两盏路灯的坐标分别为或．
23．(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)
(3)的长为或3
【详解】（1）解：四边形是矩形．
理由：四边形是菱形，
，
，是等边三角形，
．
点与点重合，
，
，
．
由旋转的性质得，
．
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
（2）如图1，连接，
四边形是菱形，，
．
点在的垂直平分线上，
，
．
由旋转的性质得，
，
，
，
．
．
，
是的中点，
，
．
（3）线段的长为或3
解：①当时，如图2，
，
．
为的中点，
，且为的中点．
，
，
．
②当时，如图3，
取的中点为，连接．
为的中点，
为的中位线，
．
，
．
，
是等边三角形，
．
设，则．
为的中点，
，即，
解得，
．
综上所述，的长为或3．

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