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2025-2026 学年第二学期期中学情调研
高 二 数 学 试 卷
本卷分值:共 150 分 考试时间:120 分钟
一、选择题:本大题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项
是符合题目要求的.
1.已知点 ,向量 ,则点 的坐标为
A.(1,2,0) B.(-1, - 2,0) C.(3,4,4) D.(1, - 2,0)
2.已知向量 ,且 ,则
A. -2 B. -1 C. 2 D. 1
3.在 的展开式中,只有第 5项的二项式系数最大,则正整数 的值为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4.对于任意空间向量 ,下列说法正确的是
A. B.若 且 ,则
C.若 ,且 ,则 D.
5.在空间直角坐标系中, 轴上与点 和点 距离相等的点是
A.(4,0,0) B.(-4,0,0) C.(-5,0,0) D.(5,0,0)
6.定义“各位数字之和为 6的三位数叫幸运数” ,如 123, 222 ,则所有幸运数的个数为
A. 21 B. 16 C. 11 D. 6
7.已知空间向量 ,若 共面,则
A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
8.下列结论正确的是
A.若 ,则 B.若 ,则
C. D.
二、选择题:本大题共 3小题,每小题 6分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,
全部选对得 6分,部分选对得部分分,有选错的或不选得 0分.
9.如图所示,在正四面体 中, ,则
A.
B.
C. 在平面 内的投影向量为
D. 在平面 内的投影向量为
10.已知 ,则
A. B.
C. D. 除以 5所得的余数是 3
11.已知平行六面体 的所有棱长均为 ,点
在线段 上,如图所示,则
A.
B. 平面
C.四边形 为正方形
D. 的最小值为
三、填空题:本大题共 3小题,每小题 5分,共 15 分.
12.在 的展开式中, 项的系数为_____▲_____.
13.甲、乙等 5名同学站成一排,其中甲、乙相邻且甲在乙的左边,不同的排法种数是_____▲_____.
(用数字填空)
14.阅读材料:平面直角坐标系 中,直线可以用关于 的二元一次方程
表示,点 到该直线的距离 ；空间直角坐标系
中,平面可以用关于 的三元一次方程
表示,点 到该平面的距离
.若在空间直角坐标系 中,点 ,点 ,点
,则点 到平面 的距离为_____▲_____.
四、解答题:本大题共 5小题,共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13分)
如图所示,在正方体 中, 分别是棱 的中点.
(1)求证: ;
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
16. (本题满分 15分)
如图,在 中, 平面
分别是线段 的中点.
(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)求点 到平面 的距离.
17. (本题满分 15分)
在二项式 的展开式中,求:
(1)所有二项式系数的和;
(2)所有的有理项;
(3)系数最大的项.
18.(本题满分 17分)
某公司为包括甲、乙在内的 6名本科毕业生面试准备了包括 房间的 3个不同的面试室,
且所有学生都参加面试,求符合下列各小题要求的不同安排方法.
(1)所有学生任意选择房间；
(2)若甲、乙有且只有 1人在 房间, 房间安排三人,其他每个房间至少安排一人；
(3)恰有一个房间没有学生.
(需写出必要的文字叙述、列式过程和计算步骤, 并用数字作答. )
19. (本题满分 17分)
如图所示,在四棱锥 中,底面 是菱形, , 平面 ,
且 .
(1)求证: 平面 ;
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)设平面 平面 ,若点 在线段 上运动,且 ,
当直线 与平面 所成角取最大值时,求 的值.

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