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第七章 相交线与平行线
7.1 两条直线的位置关系
第七章 相交线与平行线
7.1 课时1 对顶角、补角和余角
1.了解两条直线的位置关系；
2.在具体情境中理解对顶角、补角、余角的概念；
3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的性质进行角的运算.（重点、难点）
观察下列图片，你认为两条直线有怎样的位置关系？形成的角之间又有什么关系？
观察下列图片，两条直线的位置关系有什么特点？
两条直线有一个公共点
两条直线没有公共点
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
如图1中的两条直线是相交线；如图2中的两条直线是平行线.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
a
b
d
c
图1
图2
练习：下图直线m和n的关系是______；a和b是______；a和n是______.
a
b
m
n
平行
平行
相交
2
1
观察上图，∠1和∠2的位置有什么关系？大小有何关系？与同伴进行交流.
∠1和∠2具有共同顶点，它们的两边互为反向延长线.
大小相等.
观察·交流
O
如图，∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？
3
2
1
A
B
C
D
理由如下：因为直线AB与CD相交于O点，
所以∠1+∠3=180° ，∠3+∠2=180°，
所以∠1=∠2.
∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，∠1与∠2的大小相等.
你能说明理由吗？
对顶角的定义：
如图，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.
对顶角的性质：对顶角相等
3
4
2
1
A
B
C
D
数学语言：因为直线AB与CD相交于O点，
所以∠1=∠2，∠3=∠4.
O
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
D
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
要点归纳：判断两个角是否为对顶角的方法：
①看它们有没有公共顶点，
②看这两个角的两边是否互为反向延长线.
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
D
如图，一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角？
(1)∠1与∠2有什么数量关系？
(2)∠3与∠4又有什么数量关系？
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
你知道它们分别是关系吗？
1
2
4
3
观察·思考
补角的定义：
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 简称互补.其中一个角叫作另一个角的补角.
数学语言：
若∠3＋∠4＝180°，则∠3与∠4互为补角(或互补)
1
2
3
4
余角的定义：
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 简称互余.
其中一个角叫作另一个角的余角.
数学语言：
若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角(或互余)
1
2
3
4
如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.
将左图简化为右图，ON与DC相交所成的∠DON等于90°，且∠1=∠2.
思考·交流
∠3=∠4，因为∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2，
而∠1=∠2，所以 ∠3=∠4.
(1)有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
(2)∠3与∠4有什么关系？为什么？与同伴进行交流.
互为补角的角有∠1与∠AOC，∠2与∠BOD，∠DON与∠CON，
互为余角的角有∠1与∠3，∠2与∠4.
ON与DC相交所成的∠DON等于90°，且∠1=∠2.
同角(等角) 的补角相等 ，同角(或等角) 的余角相等 .
“同角” 指同一个角，“等角”指度数相等的角.
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
∠AOC=∠BOD，因为∠AOC=180°-∠1，
∠BOD=180°-∠2，
而∠1=∠2，所以 ∠AOC=∠BOD
ON与DC相交所成的∠DON等于90°，且∠1=∠2.
易错警示
1. 余角和补角是针对两个角而言，并且是相互的.
2. 互为余角、互为补角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关.
3. 同一个角的补角比它的余角大90°.
4. 互余的两个角必须是两个锐角，而互补的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角.
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有(　C　)
A. 平行 B. 相交
C. 平行和相交 D. 平行和垂直
2. 下列说法一定正确的是(　C　)
A. 两条不相交的线段叫做平行线
B. 在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交
C. 两条相交的直线有且只有一个公共点
D. 在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行
C
C
3. 判断：
(1) 如果两个角是对顶角，则这两个角相等. ( )
(2) 如果两个角相等，则这两个角是对顶角. ( )
(3) 如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等. ( )
(4) 如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角. ( )
5.因为∠1+∠2=90 ，∠2+∠3=90 ，所以∠1=______，理由是_______________.
6. 因为∠1+∠2=180 ，∠2+∠3=180 ，所以∠1=______，理由是_______________.
∠3
∠3
同角的余角相等
同角的补角相等
4. 已知∠1和∠2为对顶角，∠1=35°，则∠2= °.
35
7. 如图，直线 AE 与 CD 相交于点 O， OC 平分∠AOB.
(1) 请找出图中∠3 的对顶角；
解：(1) ∠3 的对顶角是∠2.
(2) 若∠3=25°，求∠1 的度数 .
(2) 由对顶角相等，得∠2= ∠3=25°，
因为 OC 平分∠AOB，所以∠1= ∠2=25° .
对顶角、补
角和余角
相交线及
平行线
对顶角
补角、余角
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线．
如图，∠1与∠2是对顶角，
∠3与∠4是对顶角.
对顶角性质：对顶角相等．
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
同角或等角的补角相等、同角或等角的余角相等
第七章 相交线与平行线
7.1 课时2 垂直
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念；
2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题.（重点、难点）
观察下列图片，你能找出其中相交的直线吗？
相交
相交
你知道它们有什么特殊的位置关系吗？
活动：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α有什么变化.
a与b所成的角为90°
a
b
α
b
b
你知道形成90°角的两条直线是什么关系吗？
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
如图：记作AB⊥CD或a⊥b.
点O是垂足.
表示方法：通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直，读作“垂直于”.
a
b
D
A
B
C
O
注意：垂直是相交的一种特殊情况.
(1)如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？
A
B
O
C
(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗 你知道她每一步的依据吗 与同伴进行交流.
垂直.
小颖想法正确.
由∠AOC=∠BOC，
且∠AOC+∠BOC=180°，
可得∠AOC=∠BOC=90°，
所以 OC⊥AB.
小颖依据平角等于180°
以及题干∠AOC=∠BOC，
即OC平分平角，
得出∠AOC=∠BOC=90°
则OC⊥AB.
思考·交流
(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流
由 OC⊥AB，
可得∠AOC=90°，∠BOC=90°，
所以∠AOC=∠BOC.
A
B
O
C
(1)你能用折叠的方式折出互相垂直的直线吗，试试看.
尝试·思考
(2)如果只用直尺，你能画出下图方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？
探究
1.已知一条直线，你能用三角尺或量角器画出它的垂线吗？能画几条？
结论：一条直线的垂线有无数条.
l
…
2. 同一平面内过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
1. 贴
2. 靠
3. 移
4. 画
结论：同一平面内过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3. 过已知直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
1. 贴
2. 靠
3. 移
4. 画
结论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
O
l
如图 ，点P是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O是垂足. 点 A，B，C，D在直线 l 上，比较线段PO，PA，PB，PC，PD的长短，你发现了什么
经过测量，线段PO的长度最短.
P
探究
A
B
C
D
垂线段：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段. 垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂
线段的长度，叫作点到直线的距离.
O
图中，垂线段PO的长度就是点 P 到直线 l 的距离.
P
l
垂线是一条直线，长度不可度量；而垂线段是一条线段，长度可度量.
垂线的性质：
1. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
1. 直线 l 外一点 A 与直线 l 上两点的连线线段长分别为5 cm，7 cm，则点 A 到直线 l 的距离是(　　)
A. 不超过5cm B. 5cm
C. 7cm D. 不少于7cm
2. 如图，∠CDB=90° ，线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
A
D
A
B
C
C
3. 如图，已知直线AB⊥CD，则下列结论错．误．的是(　D　)
A. ∠BOC＝90°
B. ∠AOC＝∠BOC
C. ∠AOD＝∠BOC
D. AO＝BO
D
4. 如图，在河岸上有一点P，现要过点P建造跨河大
桥．为了节约建造成本，建造方案应该选择 (填“PA”“PB”“PC”或
“PD”)，其中蕴含的数学道理是
．
PC
直线外一点与直线上各点连接的所有线
段中，垂线段最短
5. 如图，P是∠AOB的边OB上一点.
(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C；
(2)过点P画OA的垂线，垂足为H.
分别比较PH与PC，PC与CO，PH与PO的大小，并说明理由.
(2)如图所示.
解：(1)如图所示.
C
H
O
P
A
B
PH＜PC，PC＜CO，PH＜PO. 理由：垂线段最短.
解：因为AB，CD，EF相交于点 O，
所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等)；
因为∠AOC=40°(已知)，所以∠AOC=∠BOD=40°；
因为OG⊥EF，所以∠EOG=90°；
即∠COE+∠GOB+∠BOD=90°；
因为∠GOB=20°，
所以∠COE=90°-∠GOB -∠BOD=90°- 20°- 40°=30°.
所以∠COE的度数为30°.
6.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥EF，∠GOB=20°，∠AOC=40°，求∠COE的度数.
A
C
E
F
D
B
G
O
垂线
概念
性质
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
1.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
点到直线
的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.

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