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四川成都市部分学校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．曲线与曲线有共同的（ ）
A．长轴长 B．短轴长 C．离心率 D．焦距
5．在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（ ）
A．常数项为240 B．含的项的二项式系数为15
C．各项的二项式系数和为64 D．第四项为60
6．某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000名初始用户，经过t天后，用户人数，其中k和m均为常数．已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过2万名至少经过的天数为（ ）（天数按整数算，取）.
A．20 B．21 C．22 D．23
7．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是
A．
B．
C．三棱锥的体积为定值
D．异面直线所成的角为定值
8．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则 （ ）
A．-7 B．-9 C．-11 D．-13
二、多选题多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则 D．若，则
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为2
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．若方程在上有两个不等实数根，则．
11．已知过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为6
B．若点N为线段AB中点，则点N的坐标可以是
C．若直线的倾斜角为，则
D．
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，，若，则________．
13．记为等差数列的前n项和，若，则______．
14．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
若，请你根据这一发现，求：________．
四、解答题(本题共5小题，共77分）
15．（13分）在中，角所对的边分别为，设向量，，，.
(1)求函数的最大值；
(2)若，，，求的面积.
16．（15分）如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且.
（1）求证：平面平面ABC；
（2）求二面角D-CE-F的余弦值.
17．（15分）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若时，函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求实数b的取值范围．
18．（17分）设椭圆的两个焦点坐标分别为，且过点.
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线与交于G，S两点，直线SA与交于点（异于）.
①证明：；
②若点是的外心，求的最大值.
19．（17分）已知数列是等差数列，前项和为，数列是递增等比数列，且，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和；
(3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D D C D C BCD BC
题号 11
答案 ACD
12．
13．14
14．
15．解（1）
.
因为，所以，
所以当，即时，有最大值；
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，
由正弦定理，所以，，
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，即，所以，
所以．
16．解（1）如图取的中点，连接，，
因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以平面，
平面
所以.
因为，分别为，的中点，所以.
因为，即，
则.
又因为，
所以平面，
又因为平面DAB，
所以平面平面.
（2）因为平面，则以为坐标原点，
过点与垂直的直线为轴，为轴，AD为轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系.
因为，
在中，
，
所以.
在中，，
所以点，，
.
设平面的法向量为
.
所以，即，
可取.
设平面的法向量为
.
所以，即，
可取，
则
因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.
17．解（1）函数定义域R，求导得，
若，当时，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增；
若，恒有．即在上单调递增；
若，当时，；当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数的递减区间是，递增区间是和；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数的递减区间是，递增区间是和.
（2）当时，，令，
因函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，则函数图象与轴有三个交点，
而，由，解得或，由，解得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
于是得在时取得极大值，在时取得极小值，依题意，，解得，
所以实数的取值范围为．
18．解（1）设椭圆标准方程是，
由，解得，
所以椭圆方程为；
（2）①设，、，
联立，消去有，
，则或，
则，，
由，则，，
则
，
即，则与关于轴对称，
则点与点关于轴对称，故；
②由点与点关于轴对称，则，
，
，则线段的中点为，
则线段的垂直平分线为，
又线段的垂直平分线为轴，则，
令，则，即，
则，
，
则，
令，由或，则，，
则，
当且仅当，即，即时，等号成立，
即的最大值为.
19．解（1）因为数列是等差数列，前n项和为，数列是等比数列，
所以设公差为d，公比为q，因为，，．
所以，得或，
又因为数列是递增等比数列且，所以，所以，．
（2）由（1）得，
当时，
，
当时，
，
综上；
（3）由已知得，，2，3，…，，，不妨设，
首先证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减：
假设，，，…，中存在连续3项递增或递减，即存在
使得或者，所以，
此时
，
则将调换到之前
，
因此时，取最大值必有，，…，，
此时
，
所以取最大值时，
并且，，
此时，
当时，，
当时，，
因为
，
所以．
综上．

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