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湖南长沙市三校2026届高三四月联考数学试卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知i是虚数单位，，，、在复平面上对应的点分别为A、B，则（ ）
A．31 B．33 C． D．
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ）
A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为
4．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
5．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．36 D．48
6．函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ）

A． B． C． D．
7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．设随机变量，且，则（ ）
A． B．
C．的方差为 D．若增大，则增大
10．已知数列满足，，则（ ）
A．是递减数列 B．
C． D．
11．已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则平面
C．平面与平面夹角的大小与，，都有关
D．若，则点P到平面的距离是
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知,若，则__________．
13．求值：___________.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，、两条渐近线的夹角正切值为，若直线与双曲线的右支交于两点，设的内心为，则与的面积的比值的取值范围是______.
四、解答题(本题共5小题，共77分）
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
16．（15分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为．
(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：（i）；
（ii）对任意，对恒成立．
18．（17分）如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|·|NF|的最小值．
19．（17分）某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量 该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩．
(1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数；
(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；
(3)在年“五一”劳动节前，甲 乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲 乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲 乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D C A D C BC BD
题号 11
答案 ABD
12．
13．1
14．
15．解（1）因为，所以，
故，
由正弦定理可得,
由于，所以,
结合,则，
（2）由于AM 是角A 的平分线，，
由余弦定理可得，解得，
又,
解得
16．解（1）
法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，
又平面，平面，
平面
平面，又平面，
由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，，
又平面平面.
法二：由平面，平面，
又为等边三角形，为中点，
，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
又平面平面.
法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为
，即不妨取，则，则
所以平面的一个法向量为，
，，，
平面；
（2）因为F是 上的中点，所以点，，
由（1）知：平面平面的一个法向量
设平面的法向量，
则，令，则，所以，
即，即锐二面角的余弦值是.
17．解（1）若，（），
令，得或， 则的单调递增区间为，.
令，得，则的单调递减区间为.
（2）证明：（i）设，
则（），
令，得；
令，得.
故，
从而，即.
（ii）函数
由（i）可知
即，所以，当时取等号；
所以当时，则
若，令
则，
当时，.
则当时，，
故对任意，对恒成立.
18．（1）解：因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）解：由（1）可知焦点为F(1，0)，
由已知可得ABCD，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，
设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，
所以直线AB的方程为，
联立方程，消去x得，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
因为M(xM，yM)为弦AB的中点，所以，
由，得，所以点，
同理可得，
所以，
＝，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
19．解（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为
；
因为，
故第百分位数落在内，设其为，则，
解得，故第百分位数为.
（2）一级口罩与二级口罩的个数比为，
现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，则一级口罩有个，二级口罩有个，
再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为，
又，，，
故的分布列如下：
0 1 2
数学期望为，
方差为.
（3）的可能取值为，
，
，
，
故，
令，设，则，
因为，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，取最大值．

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