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期中综合巩固测试卷
（满分100分 时间90分钟）
一、单选题（每题2分 共20分）
1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为 B．购买一张福利彩票，中奖
C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视，正在播放广告
2．为了了解某校名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）
A．名学生的身高是总体 B．名学生是总体
C．每个学生是个体 D．名学生是所抽取的一个样本
3．如图，是某中学七（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整条形统计图．如果乘车人数占总人数的，那么步行的人数为（ ）
A．16人 B．18人 C．40人 D．50人
4．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831
射中九环以上频率（保留两位小数）
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，相交于点O，若的面积是4，则矩形的面积是（）

A．8 B．120 C．16 D．20
6．如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分与交于点，若，，则长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16
7．如图，在正方形中，是上一点，，，是上一动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．
8．如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
9．如图，在中，，，，E，F分别是边，的中点，动点P从点 E处出发，按逆时针方向，沿，，匀速运动到点F处停止．设的面积为S，动点P运动的路径总长为x，则能表示S与的对应关系的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
10．如图，点E，F，P在正方形的边上，垂直平分交于N，连接，，，则的长度为（）
A． B．3 C． D．2
二、填空题（每题3分 共30分）
11．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是____________________．
12．一组数据的最大值为45，最小值为23，若取组距为5，则列频数分布表时，应分组数为_______．
13．如图，数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为______．

14．如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则线段的长为______．
15．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）．
16．正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的坐标是______．
17．如图，在等边三角形中，和分别是线段和上的动点，且，，则的最小值是______．
18．如图，在矩形中，，点为对角线的中点，为线段上一点，连结，并延长交于点，将四边形沿折叠，、对应点分别为、，与交于点．设长为，长为，则_______．
19．如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接、、，点是线段的中点，连接，则线段的最小值为_____ ．
20．已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当时，____________．
三、解答题（共50分）
21．（6分）某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A.“艺术类”，B.“文学类”，C.“科普类”，D.“体育类”，E.“其他类”．每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题；
(1)求此次调查的学生人数；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中A.“艺术类”所对应的圆心角度数；
(4)根据抽样调查结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生最喜爱C.“科普类”图书．
22．（6分）在一个不透明的袋子中，装有9个大小、质地完全一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，在这个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．当或时，判断事件是何种事件，并说明理由．
23．（6分）如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？
24．（6分）如图，多边形是一个小型人工湖，多边形各边构成环湖路某班数学综合实践两个小组对部分环湖路进行了测量，数据包括：甲小组在点处测得点在正西方向，点在正北方向，点在东北方向，在点处测得点在正西方向，点在正南方向；乙小组测得米，米，米，米．（参考数据：）
(1)计算点与点的距离；
(2)某同学从去处回收测量工具，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米）
25．（8分）如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为．
(1)求的长（用含的代数式表示）．
(2)当四边形是平行四边形时，求的值．
(3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
26．（8分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且．
应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O．
（1）求证：和是“友好三角形”；
（2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积．
探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积．
27．（10分）如图1，四边形是正方形，，分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题．
(1)请根据图2直接写出线段，，之间的关系：______．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
(3)如图4，点在正方形的对角线上，是直角三角形，，斜边交于点，，，求的值．
试卷第8页，共8页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B A C A C C B A
1．A
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为，是不可能事件，故该选项符合题意；
B、购买一张福利彩票，中奖，是随机事件，故该选项不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放广告，是随机事件，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．A
【详解】本题研究的是学生的身高，因此总体是2000名学生的身高，而非学生本身．选项A正确，选项B错误．
本题中个体是每名学生的身高，而非学生本身，故选项C错误．
本题抽取的是100名学生的身高，而非学生本身，故选项D错误．
故选：A．
3．B
【详解】解：乘车的有20人，它占总人数的，
∴总人数是（人），
步行的人数为（人）．
故选：B．
4．A
【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是．
故选：A．
5．C
【详解】解：设点到的距离是，
∵四边形是矩形，
故选：C．
6．A
【详解】解：设，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．C
【详解】解：如图所示，连接，设交于H，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P是上一动点，
∴由正方形的对称性可知，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为10，
故选C．
8．C
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
∴，
，，
，故正确，
设，
在中，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
显然不是等边三角形，则，故错误，
，
，
，
，，
，
，故正确，
，，
∴，
，故正确，
故选：C．
9．B
【详解】解：在中，，，，
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，
∴，，
当P在上时， 时，过点P作于点H，则，，
∵，
∴，
∴，
∴此时图象是与y轴交于 的线段；
当P在上时， 时，过点B作于点M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴此时图象是平行于x轴的线段；
当P在上时， 时，过点P作于点N，则，，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，
∴此时图象是一条过 的线段；
观察四个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
10．A
【详解】解：过作于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，，即，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
∴，
故选：A．
11．
【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为，
∵正方形的边长为，
∴面积为，
设不规则部分的面积为s，
则，
解得：，
故答案为．
12．5
【详解】，
，
∴应分组数为5，
故答案为：5．
13．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是菱形，
，，
∴是等边三角形，
，
，
，
∴ 正方形的边长是，
故答案为：．
14．2
【详解】解：由翻折，，
则．
四边形是矩形，
，，．
在中，
，
．
故答案为：2．
15．①②④
【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点
∴，，，①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，②正确；
∵和不一定相等，
∴和不一定相等，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，④正确；
则正确的是①②④．
16．
【详解】解：直线，当时，，当时，，
，
，
，，
，
，
，
，
同理得：，，
；
，即，
，
点的坐标为，
故答案为：．
17．
【详解】解：作，交于点，连接，则，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
故，
∴，
∵点在射线上运动，
∴当，的值最小，即的值最小，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
18．
【详解】解：作于点H，
在矩形中，，
∵CD=AB=3，AD=BC=6.AD∥BC，∠C=∠CDA=90°
长为，长为，
∴，
点为中点，
，
∴▲DEO≌▲BFO，
∴，
，
∵∠GHC=∠C=∠CDA=90°
四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠，∠BFO=∠GFE，
∴，
在中，，
，
整理，得：，
，
故答案为：．
19．2
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
又∵点是线段的中点，点为的中点，
∴，
由三角形的三边关系得：（当且仅当点共线时，等号成立），
∴，即，
∴线段的最小值2．
故答案为：2．
20．或13
【详解】解：标记和作图如下，其中于，四边形是直角梯形，四边形是正方形：
依题意可知，厘米，厘米，厘米，
∴厘米，
∴(平方厘米)，(平方厘米)
①当线段未进入正方形内部时，厘米，即，
∴，
此时重合部分是，平方厘米，
即此时无解，
②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，厘米，，即，
∴，
则重合部分是直角梯形，厘米，
∴，
解得：；
③当点C在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，厘米，即，厘米
∴，
此时重合部分是五边形，平方厘米，
即此时无解，
④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，厘米，厘米，，即，
∴，
则重合部分是五边形，厘米，
∴(平方厘米)，
解此时无解；
⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，厘米，，即，
∴，
则重合部分是长方形，厘米，
∴，
解得：；
⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，厘米，，即，
∴，
则此时重叠部分为线段或无重叠，无解，
综上所述：或13．
故答案为：或13．
21．(1)100名
(2)见解析
(3)
(4)估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书
【详解】（1）解：此次被调查的学生人数为：（名）；
（2）D类的人数为：（名），
补全条形统计图如下：

（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：；
（4）（名），
答：估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书．
22．当时，是不可能事件；当时，是随机事件
【详解】解：当时，因为总共要摸出2个球，而有3种颜色的球，所以无论怎么摸，都不可能使得红球、白球和黑球至少各有1个，所以是不可能事件；
当时，有可能出现红球、白球和黑球至少各有1个的情况，也有可能出现比如3个红球和3个白球这种情况，此时不满足红球、白球和黑球至少各有1个的要求，所以是随机事件．
答：当时，是不可能事件；当时，是随机事件．
23．
【详解】解：四边形是平行四边形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
24．(1)400米
(2)选择线路①路程更短
【详解】（1）解：根据题意，可知米，米，，
∴在中，米，
即点与点的距离为400米；
（2）如下图，过点作于点，
∵米，米，米，米，
∴线路①总路程为米；
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∴米，
∴在中，米，
∴线路②总路程为米，
∵，
∴选择线路①路程更短．
25．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
．
在和中：
，
．
由题意得，
．
，
．
（2）解：，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得．
故当四边形是平行四边形时，的值为．
（3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，．
，，
，
．
，
，
易得．
是的垂直平分线，
，．
由勾股定理，得，
即，
（负值已舍去）．
26．
【详解】应用：（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
和是友好三角形．
（2）解：和是友好三角形，
，，
与是友好三角形，
，，
在与中，
，
，
，
，
；
探究：
解：分为两种情况：如图1所示，
．
，
沿折叠和重合，
，
△与重合部分的面积等于面积的，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
过作于，
，，
，
即和重合，
，
由勾股定理得：，
的面积是，
如图2所示，
．
，
沿折叠和重合，
，
与重合部分的面积等于面积的，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
过作于，
，，
，
；
即的面积是2或．
27．
【详解】（1）解：由旋转可得，，
∴，，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴点G在直线上，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：；理由如下：
把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，
由旋转的性质可得，，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
由勾股定理可得，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴，，，
由勾股定理可得，，
∵是直角三角形，，
∴，
把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示：
同理（2）可得：，
设，则有，
∴
解得：，
即．

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