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广东省深圳高级中学集团2025-2026学年九年级下学期数学模拟考试（3月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，反映出不同时期的风俗习惯。下列纹样的示意图中，是轴对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D不是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
2．氢氧化钠（NaOH)具有强碱性，用途广泛。已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（　　)
元素 钠 Na 氧O 氢 H
化合价 +1 -2 　
A．0 B．+1 C．- 1 D．- 3
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设氢H元素的化合价为x，
1＋（ 2）＋x＝0，
解得x＝1，
故答案为：B．
【分析】根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．
3．计算 的结果为（　　）
A．8m6 B．6m6 C．2m6 D．2m5
【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（2m2）3＝8m6．
故答案为：A．
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，进而得出答案．
4．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为200cm2的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（　　)
A．40cm2 B．60cm2 C．80cm2 D．120cm2
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：大量试验后，点落在椭圆内的频率稳定在0.6，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为0.6．
已知长方形面积为200cm2，
因此椭圆面积为：200×0.6＝120cm2．
故答案为：D．
【分析】利用“椭圆面积与长方形面积的比值≈点落在椭圆内的频率”计算椭圆面积．
5．如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为l ， l2， l4。对于l ， l2， l4，它们之间的关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设AB＝a，
对于图甲：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴l甲＝AC＋BC＝2a；
对于图乙：
∵△ADE和△EFB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，EF＝EB＝BF，
∴l乙＝AD＋DE＋EF＋FB
＝2AE＋2BE
＝2AB
＝2a；
对于图丙：延长AG和BH交于点P，则△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB＝a，
∵GH＜PG＋PH，
∴AG＋GH＋BH＜AG＋PG＋PH＋BH，
∴AG＋GH＋BH＜AP＋BP，
∴l丙＜2a，
∴对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系是l甲＝l乙＞l丙，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质，以及三角形的三边关系进行计算，即可解答．
6．某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡。已知某山区山脚下的平均气温为20℃，并且海拔每上升100m，气温下降0.6℃。要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上 设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高 xm的山坡上，则列出的不等式为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A．
【分析】表示出比山脚的海拔高x m的山坡上的温度，再由杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡列不等式即可．
7．如图，某饮水机在水温20℃时开始通电加热，水温每分钟上升20℃，当水温上升到 100℃时自动停止加热，此过程中水温y（℃)与通电时间x（min)满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至20℃时，饮水机再次自动加热，此过程中水温y（℃)与通电时间x（min)成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（　　)
A．5min B．15min C．20min D．25min
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵通电加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝4（min），
设水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例函数关系为y＝，
把（4，100）代入得100＝
∴k＝400，
∴水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例函数关系为y＝，
当y＝20时，x＝＝20，
∴从通电加热到首次自动加热所经历的时间为20min，
故答案为：C．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=20代入解析式求出x的值即可.
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E。设点B的坐标为（m，n)，若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（　　)
A．当点A在y轴上时，点 C的坐标为（4， 2)
B．mn=4
C．OE的长始终为4
D．n的取值范围为-2≤n≤2
【答案】B
【知识点】矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意，当点A在y轴上时，如图，
∵点A是直线y＝2上的动点，
∴OA＝2，
又∵矩形的面积为8，
∴OA AC＝8，
∴AC＝4，
∴C（4，2），
故选项A正确，不合题意；
设AC与y轴交于点F，分别过B作BG⊥y轴于G，作BH⊥x轴于H，
∵矩形OACB的面积为8，
∴S△BOF＝4．
∴S△BOG≤4．
又∵S△BOH＝S△BOG＝mn，
∴mn≤4．
∴mn≤8，故B错误，符合题意．
直线CB的斜率kCB＝．
又∵xA＝ ，
∴kCB＝．
直线CB的方程为y n＝ (x m)．
点E是该直线与x轴的交点，令y＝0： n＝(xE m)，
n2＝m（xE m），
xE m＝，
xE＝m＋＝．
将m2＋n2＝4，
m代入上式：xE＝＝4，
OE的长度即为|xE|，所以OF的长始终为4．
∴选项C是正确的．
关系式m2＋n2＝4m，可以写成m2 4m＋n2＝0．这是一个关于m的一元二次方程．
为了使m有实数解，判别式Δ必须大于等于0．
Δ＝（ 4）2 4n2≥0
16 4n2≥0
4n2≤16
n2≤4
解得 2≤n≤2．
∴选项D是正确的．
∴不正确的说法是B．
故答案为：B．
【分析】先通过动点A在直线y＝2上运动且矩形面积恒定这一条件，再结合几何变换或相似三角形性质，推导出点B的轨迹是一个圆（m 2）2＋n2＝4，再利用直接斜率的定义及计算方法以及直线与坐标轴的关系计算并逐一判定选项的正确与错误即可．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．因式分解： 3x-6=　 　。
【答案】3（x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3x 6＝3（x 2）．
故答案为：3（x 2）．
【分析】利用提取公因式分解即可得出答案.
10．已知点 P 是直线y=x+3上一点，则点 P 的坐标可以是　 　。
【答案】（0， 3)
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点P是直线y＝x＋3上一点，
当x＝0，y＝3，故点P的坐标可以是（0，3），
故答案为：（0，3）（答案不唯一）．
【分析】取x代入解析式求y，得点坐标.
11．如图，在“扫雷”游戏中，中间的“3”表明相邻的8个空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击这8个空格中的一个空格，恰好点击到“雷”的概率是　 　。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：恰好点击到“雷”的概率是．
故答案为：．
【分析】直接根据概率公式计算即可得出答案.
12．如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚。已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为 m和 m，则木杆高为　 　m。
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：对图中各点进行标注，如图，
∵甲、乙两人和木杆依次直立，
∴AD∥EF∥BC，
∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，
∴，，
∴BF＝，AF＝，
∵BF＋AF＝AB，
∴+＝AB，
∵AD＝m，BC＝m，
∴+＝AB，
解得EF＝．
故答案为：．
【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得AD∥EF∥BC，即△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，根据线段成比例关系得出方程，求解即可．
13．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，将边DA绕点D旋转，当点A的对应点F恰好落在CE上时，连接AF，延长AF交BC 于点G，则 的值为　 　。
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
设正方形的边长为2，即AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∵点E是边AB的中点，
∴BE＝1，
∵正方形ABCD，
∴CD∥AB，∠ABC＝90°，
∴∠DCM＝∠CEB，∠DMC＝∠CBE＝90°，CE＝，
∴△DMC∽△CBE，
∴，
∴CM＝，
∵旋转，
∴DF＝DA＝DC＝2，
∵DM⊥CE，
∴CF＝2CM＝，
∵FN⊥BC，∠B＝90°，
∴FN∥BE，
∴△CFN∽△CEB，
∴，
∴，
∴FN＝，
∵FN∥BE，
∴△GFN∽△GAB，
∴，
∴＝．
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥CE于点M，过点F作FN⊥BC于点N，设正方形的边长为2，先证明△DMC∽△CBE，求出CM＝，再由旋转以及等腰三角形的性质得到CF＝2CM＝，再证明△CFN∽△CEB，求出FN＝，再由△GFN∽△GAB求解即可．
三、解答题（本大题共7小题，共61分)
14．计算：
【答案】解：原式
=3
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，特殊锐角函数值，二次根式的性质计算后再算加减即可．
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将第二个分式的分子分母分别分解因式，然后计算分式的乘法，进而按同分母分式的减法计算可得最简结果，最后将a的值代入化简结果计算可得答案.
16．为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛。竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分)中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：
　 平均数 众数 中位数 方差
七年级 93.2 a 95 S2
八年级 92.5 97 b S2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的a=　 　， b=　 　， S2　 　S2 （填“<”“>”或“=”)；
（2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好 请说明理由；
（3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和160人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数。
【答案】（1）95；96.5；<
（2）解：参考答案1：我认为七年级的参赛学生掌握得较好。因为七年级的平均成绩大于八年级，方差小，更稳定；
参考答案2：我认为八年级的参赛学生掌握得更好。因为八年级的中位数更高，最高分更高，高分人数较多。
（3）解：（人)
答：估计七八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人。
（说明：第（2）小问言之有理即可，只要结合了2种统计数据说理，并符合情理，就给满分)
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：解：（1）七年级学生的成绩中出现次数最多的是95，故众数a＝95；
八年级学生的成绩排序后中间的两个数据为96和97，
∴中位数b＝＝96.5，
由统计图可发现八年级学生成绩波动性大，
所以S12＜S22，
故答案为：a＝95，b＝96.5，＜；
【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义即可得解；
（2）根据平均数、中位数和方差的意义解答即可；
（3）由用样本估计总体，分别计算出七年级和八年级优秀的人数，进而得解．
17．新型科技广泛应用于智慧农业。为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果。
（1）已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天。求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果
（2）如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为885m2的6个小矩形。求道路的宽度。
【答案】（1）解：解法一：
解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果x千克，则每名工人每天可采摘 千克
依题意得
解得 x=1000
经检验，x=1000是原方程的解。
答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克。
解法二：
解：设每名工人每天可采摘y千克，则这台智能机器人每天可采摘该种水果5y千克
依题意得
解得y=200
经检验， y=200是原方程的解。5y=1000 （千克) 。
答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克。
解法三：
解：设用这台智能机器人m天可完成任务，则4名工人同时采摘需要（m+1)天。
依题意得
解得m=4
经检验，m=4是原方程的解。 （千克) 。
答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克。
（2）解：设道路宽度为 xm。
依题意得（92-2x)（60-x)=885×6
解得 （不合实际，舍去)
答：道路宽度为1m。
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果x千克，则每名工人每天可采摘千克，根据题意列出方程并解答；
（2）设道路宽度为x m，根据矩形的面积公式列出方程并作答．
18．如图1，在锐角△ABC中， AB=AC。
（1）在AC上求作一点 D，使得 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）任（1）的条件下，如图2，连接BD， △ABD的外接圆交BC于点E，连接DE，若 求DE的长。
【答案】（1）解：解法一：作∠A的平分线得到 再作 交AC于点D。
如图，点D即为所求。
解法二：过点B作AC的垂线交AC于点D。
如图，点D即为所求。
解法三：作∠A的平分线交BC于中点，再以BC为直径作圆交AC于点D。
如图，点D即为所求。
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C。
∴∠ADB=90°，
∴AB是△ABD的外接圆的直径。
连接AE，
∴∠AEB=90°，
∴E是BC中点。
由
设AB=5k，则AD=3k， BD=4k， CD=2k，
由 解得
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）点B作AC的垂线交AC于点D，再作 交AC于点D，点D即为所求；
（2）由cosA＝，设 AB＝5k，则 AD＝3k，BD＝4k，CD＝2k，构建方程求出k可得结论．
19． 综合与探究
菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，连接BD，P是BD上的动点，将CP绕点C顺时针旋转120°得到CQ。
（1）如图19-1，连接DQ，求证： AD⊥DQ；
（2）如图19-2，连接PQ交 CD于E，当△CEP是等腰三角形时，求BP的长度；
（3）如图19-3，连接PQ交CD于E，连接AP，记△CEP的面积为S1， △APD的面积为S2，求 的取值范围。
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为菱形
∴∠BCD=∠A=120°， BC=CD
又∵CP绕点C顺时针旋转120°得到CQ
∴∠PCQ=120°
∴∠BCP=∠DCQ， CP=CQ
∴ △BCP≌△DCQ
∴∠ADQ=90°
∴AD⊥DQ
（2）解：∵∠CPE=30°， ∠CEP=∠EDP+∠DPE>30°
∴PC>EC，下面讨论剩余2种情况
①PC=PE
∵∠PCQ=120°， CP=CQ
∴∠CPQ=30°
∴∠CPE=∠CDP
∴△PCE∽△DCP
此时DP=DC=2
连接AC，交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，
∴AC⊥BD，BO＝OD，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴cos∠ABO＝cos30°＝，
∴BO＝BD＝2BO＝2
②EP=EC
此时∠ECP=∠EPC=30°
∴∠BCP=∠BCD-∠ECP=90°
综上所述， 或
（3）解：由菱形的对称性得： AP=CP
△PAD的面积与△PCD的面积相等，
当P与B，D重合时，PC取得最大值2，所以
当CP⊥BD时， PC取得最小值1，所以
综上所述
【知识点】相似三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质及旋转的性质，证明△BCP≌△DCQ（SAS），即可得证．
（2）分情况讨论，①PC＝PE，证明△PCE∽△DCP，列出比例式求解即可；②EP＝EC，通过解直角三角形即可解答．
（3）根据菱形的性质得到△PAD的面积与△PCD的面积相等，表示出，即可解答．
20．综合与实践
【问题背景】
在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果。学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同。
【初步探究】
学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图20-1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点。经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h（单位： cm)，扩音口宽度AB为2h（单位： cm)。
为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标（m，n)，利用抛物线表达式 （其中a， m， n为常数， a>0)对a值进行了探究与求解。
（1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm，以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图20-2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为　 　；
（2）【建立模型】
第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系。请你求出a和h的数量关系，帮小组验证这个猜想；
（3）【应用模型】
第一小组建立平面直角坐标系后，发现点A 的坐标为（0，8)，h>4，且当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值。
【答案】（1）
（2）解：解法1：
由题可得B（m+h，n+h)
将x=m+h， y=n+h代入
∴n+h=a（m+h-m)2+n
∴ah=1
∴这个小组的猜想是正确的。
解法2：
由平移前后形状不变性可知，可将抛物线平移，使得顶点C移动到原点，则抛物线解析式为y=ax2
∴B（h，h)
∴这个小组的猜想是正确的。
（3）解：由题可知， A点坐标为（0， 8)
∴B（2h， 8)， C（h， 8-h)，
由（2）可知
①当4第一种：抛物线在对称轴处有最小值y=-2
∴当x=h时
∴h=10>8，不满足题意
第二种：抛物线在对称轴处有最小值y=2
同理可得h=6，即
②当h>8时， ∵a>0∴在0≤x≤8时， y随x的增大而减小。
分两种情况：
第一种：当x=8时，抛物线有最小值y=-2
第二种：当x=8时，抛物线有最小值y=2
同理可得 不满足题意
综上所述， 或
解法2：
∵由题可知， A点坐标为（0， 8)，
∴B（2h， 8)， C（h， 8-h)
∴C点始终在直线y=8-x上
∴当0≤x≤8， y随x的增大而减小
∴第一种情况：当x=8时，y有最小值-2
∴64a+8b+8=-2
∴当 时，
∴将 xc. yc代入y=8-x
∴联立
第二种情况：当x=8时，y有最小值2，同理可得
综上所述， 或
其他方法参照此标准酌情给分。
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题可知点B（4，4），C（0，0），
∴m＝0，n＝0，即抛物线解析式为y＝ax2，
将点B坐标代入得，16a＝4，
解得a＝；
故答案为：；
【分析】（1）依据题意分别求出B、C坐标，进而代入即可得解；
（2）由题可得B（m＋h，n＋h），将点B坐标代入化简即可得解；
（3）易得A点坐标为（0，8），B（2h，8），C（h，8 h），分两种情况：①4＜h≤8，②h＞8，依次求解即可．
1 / 1广东省深圳高级中学集团2025-2026学年九年级下学期数学模拟考试（3月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，反映出不同时期的风俗习惯。下列纹样的示意图中，是轴对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
2．氢氧化钠（NaOH)具有强碱性，用途广泛。已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（　　)
元素 钠 Na 氧O 氢 H
化合价 +1 -2 　
A．0 B．+1 C．- 1 D．- 3
3．计算 的结果为（　　）
A．8m6 B．6m6 C．2m6 D．2m5
4．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为200cm2的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（　　)
A．40cm2 B．60cm2 C．80cm2 D．120cm2
5．如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为l ， l2， l4。对于l ， l2， l4，它们之间的关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡。已知某山区山脚下的平均气温为20℃，并且海拔每上升100m，气温下降0.6℃。要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上 设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高 xm的山坡上，则列出的不等式为（　　)
A． B．
C． D．
7．如图，某饮水机在水温20℃时开始通电加热，水温每分钟上升20℃，当水温上升到 100℃时自动停止加热，此过程中水温y（℃)与通电时间x（min)满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至20℃时，饮水机再次自动加热，此过程中水温y（℃)与通电时间x（min)成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（　　)
A．5min B．15min C．20min D．25min
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E。设点B的坐标为（m，n)，若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（　　)
A．当点A在y轴上时，点 C的坐标为（4， 2)
B．mn=4
C．OE的长始终为4
D．n的取值范围为-2≤n≤2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．因式分解： 3x-6=　 　。
10．已知点 P 是直线y=x+3上一点，则点 P 的坐标可以是　 　。
11．如图，在“扫雷”游戏中，中间的“3”表明相邻的8个空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击这8个空格中的一个空格，恰好点击到“雷”的概率是　 　。
12．如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚。已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为 m和 m，则木杆高为　 　m。
13．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，将边DA绕点D旋转，当点A的对应点F恰好落在CE上时，连接AF，延长AF交BC 于点G，则 的值为　 　。
三、解答题（本大题共7小题，共61分)
14．计算：
15．先化简，再求值：，其中．
16．为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛。竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分)中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：
　 平均数 众数 中位数 方差
七年级 93.2 a 95 S2
八年级 92.5 97 b S2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的a=　 　， b=　 　， S2　 　S2 （填“<”“>”或“=”)；
（2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好 请说明理由；
（3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和160人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数。
17．新型科技广泛应用于智慧农业。为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果。
（1）已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天。求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果
（2）如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为885m2的6个小矩形。求道路的宽度。
18．如图1，在锐角△ABC中， AB=AC。
（1）在AC上求作一点 D，使得 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）任（1）的条件下，如图2，连接BD， △ABD的外接圆交BC于点E，连接DE，若 求DE的长。
19． 综合与探究
菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，连接BD，P是BD上的动点，将CP绕点C顺时针旋转120°得到CQ。
（1）如图19-1，连接DQ，求证： AD⊥DQ；
（2）如图19-2，连接PQ交 CD于E，当△CEP是等腰三角形时，求BP的长度；
（3）如图19-3，连接PQ交CD于E，连接AP，记△CEP的面积为S1， △APD的面积为S2，求 的取值范围。
20．综合与实践
【问题背景】
在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果。学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同。
【初步探究】
学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图20-1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点。经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h（单位： cm)，扩音口宽度AB为2h（单位： cm)。
为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标（m，n)，利用抛物线表达式 （其中a， m， n为常数， a>0)对a值进行了探究与求解。
（1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm，以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图20-2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为　 　；
（2）【建立模型】
第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系。请你求出a和h的数量关系，帮小组验证这个猜想；
（3）【应用模型】
第一小组建立平面直角坐标系后，发现点A 的坐标为（0，8)，h>4，且当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D不是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设氢H元素的化合价为x，
1＋（ 2）＋x＝0，
解得x＝1，
故答案为：B．
【分析】根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．
3．【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（2m2）3＝8m6．
故答案为：A．
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，进而得出答案．
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：大量试验后，点落在椭圆内的频率稳定在0.6，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为0.6．
已知长方形面积为200cm2，
因此椭圆面积为：200×0.6＝120cm2．
故答案为：D．
【分析】利用“椭圆面积与长方形面积的比值≈点落在椭圆内的频率”计算椭圆面积．
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设AB＝a，
对于图甲：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴l甲＝AC＋BC＝2a；
对于图乙：
∵△ADE和△EFB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，EF＝EB＝BF，
∴l乙＝AD＋DE＋EF＋FB
＝2AE＋2BE
＝2AB
＝2a；
对于图丙：延长AG和BH交于点P，则△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB＝a，
∵GH＜PG＋PH，
∴AG＋GH＋BH＜AG＋PG＋PH＋BH，
∴AG＋GH＋BH＜AP＋BP，
∴l丙＜2a，
∴对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系是l甲＝l乙＞l丙，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质，以及三角形的三边关系进行计算，即可解答．
6．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A．
【分析】表示出比山脚的海拔高x m的山坡上的温度，再由杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡列不等式即可．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵通电加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝4（min），
设水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例函数关系为y＝，
把（4，100）代入得100＝
∴k＝400，
∴水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例函数关系为y＝，
当y＝20时，x＝＝20，
∴从通电加热到首次自动加热所经历的时间为20min，
故答案为：C．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=20代入解析式求出x的值即可.
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意，当点A在y轴上时，如图，
∵点A是直线y＝2上的动点，
∴OA＝2，
又∵矩形的面积为8，
∴OA AC＝8，
∴AC＝4，
∴C（4，2），
故选项A正确，不合题意；
设AC与y轴交于点F，分别过B作BG⊥y轴于G，作BH⊥x轴于H，
∵矩形OACB的面积为8，
∴S△BOF＝4．
∴S△BOG≤4．
又∵S△BOH＝S△BOG＝mn，
∴mn≤4．
∴mn≤8，故B错误，符合题意．
直线CB的斜率kCB＝．
又∵xA＝ ，
∴kCB＝．
直线CB的方程为y n＝ (x m)．
点E是该直线与x轴的交点，令y＝0： n＝(xE m)，
n2＝m（xE m），
xE m＝，
xE＝m＋＝．
将m2＋n2＝4，
m代入上式：xE＝＝4，
OE的长度即为|xE|，所以OF的长始终为4．
∴选项C是正确的．
关系式m2＋n2＝4m，可以写成m2 4m＋n2＝0．这是一个关于m的一元二次方程．
为了使m有实数解，判别式Δ必须大于等于0．
Δ＝（ 4）2 4n2≥0
16 4n2≥0
4n2≤16
n2≤4
解得 2≤n≤2．
∴选项D是正确的．
∴不正确的说法是B．
故答案为：B．
【分析】先通过动点A在直线y＝2上运动且矩形面积恒定这一条件，再结合几何变换或相似三角形性质，推导出点B的轨迹是一个圆（m 2）2＋n2＝4，再利用直接斜率的定义及计算方法以及直线与坐标轴的关系计算并逐一判定选项的正确与错误即可．
9．【答案】3（x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3x 6＝3（x 2）．
故答案为：3（x 2）．
【分析】利用提取公因式分解即可得出答案.
10．【答案】（0， 3)
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点P是直线y＝x＋3上一点，
当x＝0，y＝3，故点P的坐标可以是（0，3），
故答案为：（0，3）（答案不唯一）．
【分析】取x代入解析式求y，得点坐标.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：恰好点击到“雷”的概率是．
故答案为：．
【分析】直接根据概率公式计算即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：对图中各点进行标注，如图，
∵甲、乙两人和木杆依次直立，
∴AD∥EF∥BC，
∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，
∴，，
∴BF＝，AF＝，
∵BF＋AF＝AB，
∴+＝AB，
∵AD＝m，BC＝m，
∴+＝AB，
解得EF＝．
故答案为：．
【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得AD∥EF∥BC，即△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，根据线段成比例关系得出方程，求解即可．
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
设正方形的边长为2，即AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∵点E是边AB的中点，
∴BE＝1，
∵正方形ABCD，
∴CD∥AB，∠ABC＝90°，
∴∠DCM＝∠CEB，∠DMC＝∠CBE＝90°，CE＝，
∴△DMC∽△CBE，
∴，
∴CM＝，
∵旋转，
∴DF＝DA＝DC＝2，
∵DM⊥CE，
∴CF＝2CM＝，
∵FN⊥BC，∠B＝90°，
∴FN∥BE，
∴△CFN∽△CEB，
∴，
∴，
∴FN＝，
∵FN∥BE，
∴△GFN∽△GAB，
∴，
∴＝．
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥CE于点M，过点F作FN⊥BC于点N，设正方形的边长为2，先证明△DMC∽△CBE，求出CM＝，再由旋转以及等腰三角形的性质得到CF＝2CM＝，再证明△CFN∽△CEB，求出FN＝，再由△GFN∽△GAB求解即可．
14．【答案】解：原式
=3
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，特殊锐角函数值，二次根式的性质计算后再算加减即可．
15．【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将第二个分式的分子分母分别分解因式，然后计算分式的乘法，进而按同分母分式的减法计算可得最简结果，最后将a的值代入化简结果计算可得答案.
16．【答案】（1）95；96.5；<
（2）解：参考答案1：我认为七年级的参赛学生掌握得较好。因为七年级的平均成绩大于八年级，方差小，更稳定；
参考答案2：我认为八年级的参赛学生掌握得更好。因为八年级的中位数更高，最高分更高，高分人数较多。
（3）解：（人)
答：估计七八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人。
（说明：第（2）小问言之有理即可，只要结合了2种统计数据说理，并符合情理，就给满分)
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：解：（1）七年级学生的成绩中出现次数最多的是95，故众数a＝95；
八年级学生的成绩排序后中间的两个数据为96和97，
∴中位数b＝＝96.5，
由统计图可发现八年级学生成绩波动性大，
所以S12＜S22，
故答案为：a＝95，b＝96.5，＜；
【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义即可得解；
（2）根据平均数、中位数和方差的意义解答即可；
（3）由用样本估计总体，分别计算出七年级和八年级优秀的人数，进而得解．
17．【答案】（1）解：解法一：
解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果x千克，则每名工人每天可采摘 千克
依题意得
解得 x=1000
经检验，x=1000是原方程的解。
答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克。
解法二：
解：设每名工人每天可采摘y千克，则这台智能机器人每天可采摘该种水果5y千克
依题意得
解得y=200
经检验， y=200是原方程的解。5y=1000 （千克) 。
答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克。
解法三：
解：设用这台智能机器人m天可完成任务，则4名工人同时采摘需要（m+1)天。
依题意得
解得m=4
经检验，m=4是原方程的解。 （千克) 。
答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克。
（2）解：设道路宽度为 xm。
依题意得（92-2x)（60-x)=885×6
解得 （不合实际，舍去)
答：道路宽度为1m。
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果x千克，则每名工人每天可采摘千克，根据题意列出方程并解答；
（2）设道路宽度为x m，根据矩形的面积公式列出方程并作答．
18．【答案】（1）解：解法一：作∠A的平分线得到 再作 交AC于点D。
如图，点D即为所求。
解法二：过点B作AC的垂线交AC于点D。
如图，点D即为所求。
解法三：作∠A的平分线交BC于中点，再以BC为直径作圆交AC于点D。
如图，点D即为所求。
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C。
∴∠ADB=90°，
∴AB是△ABD的外接圆的直径。
连接AE，
∴∠AEB=90°，
∴E是BC中点。
由
设AB=5k，则AD=3k， BD=4k， CD=2k，
由 解得
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）点B作AC的垂线交AC于点D，再作 交AC于点D，点D即为所求；
（2）由cosA＝，设 AB＝5k，则 AD＝3k，BD＝4k，CD＝2k，构建方程求出k可得结论．
19．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为菱形
∴∠BCD=∠A=120°， BC=CD
又∵CP绕点C顺时针旋转120°得到CQ
∴∠PCQ=120°
∴∠BCP=∠DCQ， CP=CQ
∴ △BCP≌△DCQ
∴∠ADQ=90°
∴AD⊥DQ
（2）解：∵∠CPE=30°， ∠CEP=∠EDP+∠DPE>30°
∴PC>EC，下面讨论剩余2种情况
①PC=PE
∵∠PCQ=120°， CP=CQ
∴∠CPQ=30°
∴∠CPE=∠CDP
∴△PCE∽△DCP
此时DP=DC=2
连接AC，交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，
∴AC⊥BD，BO＝OD，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴cos∠ABO＝cos30°＝，
∴BO＝BD＝2BO＝2
②EP=EC
此时∠ECP=∠EPC=30°
∴∠BCP=∠BCD-∠ECP=90°
综上所述， 或
（3）解：由菱形的对称性得： AP=CP
△PAD的面积与△PCD的面积相等，
当P与B，D重合时，PC取得最大值2，所以
当CP⊥BD时， PC取得最小值1，所以
综上所述
【知识点】相似三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质及旋转的性质，证明△BCP≌△DCQ（SAS），即可得证．
（2）分情况讨论，①PC＝PE，证明△PCE∽△DCP，列出比例式求解即可；②EP＝EC，通过解直角三角形即可解答．
（3）根据菱形的性质得到△PAD的面积与△PCD的面积相等，表示出，即可解答．
20．【答案】（1）
（2）解：解法1：
由题可得B（m+h，n+h)
将x=m+h， y=n+h代入
∴n+h=a（m+h-m)2+n
∴ah=1
∴这个小组的猜想是正确的。
解法2：
由平移前后形状不变性可知，可将抛物线平移，使得顶点C移动到原点，则抛物线解析式为y=ax2
∴B（h，h)
∴这个小组的猜想是正确的。
（3）解：由题可知， A点坐标为（0， 8)
∴B（2h， 8)， C（h， 8-h)，
由（2）可知
①当4第一种：抛物线在对称轴处有最小值y=-2
∴当x=h时
∴h=10>8，不满足题意
第二种：抛物线在对称轴处有最小值y=2
同理可得h=6，即
②当h>8时， ∵a>0∴在0≤x≤8时， y随x的增大而减小。
分两种情况：
第一种：当x=8时，抛物线有最小值y=-2
第二种：当x=8时，抛物线有最小值y=2
同理可得 不满足题意
综上所述， 或
解法2：
∵由题可知， A点坐标为（0， 8)，
∴B（2h， 8)， C（h， 8-h)
∴C点始终在直线y=8-x上
∴当0≤x≤8， y随x的增大而减小
∴第一种情况：当x=8时，y有最小值-2
∴64a+8b+8=-2
∴当 时，
∴将 xc. yc代入y=8-x
∴联立
第二种情况：当x=8时，y有最小值2，同理可得
综上所述， 或
其他方法参照此标准酌情给分。
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题可知点B（4，4），C（0，0），
∴m＝0，n＝0，即抛物线解析式为y＝ax2，
将点B坐标代入得，16a＝4，
解得a＝；
故答案为：；
【分析】（1）依据题意分别求出B、C坐标，进而代入即可得解；
（2）由题可得B（m＋h，n＋h），将点B坐标代入化简即可得解；
（3）易得A点坐标为（0，8），B（2h，8），C（h，8 h），分两种情况：①4＜h≤8，②h＞8，依次求解即可．
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