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河北省承德市承德县第一中学2026届高三下学期一模数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
4．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．记，若，则（　　）
A．1 B． C． D．
7．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．已知集合且，若M中任意元素均在曲线的下方，则符合条件的整数a的最大值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．2025
9．已知曲线，则下列说法正确的（　　）
A．若，则曲线的焦距为4
B．若，则曲线表示双曲线，且其渐近线方程为
C．若曲线表示椭圆，则
D．是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件
10．已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列中存在最小项
11．已知在直角中，，，AD为边BC上的中线，将沿边AD翻折至，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．三棱锥的体积的最大值为
C．存在某个位置使得平面平面
D．三棱锥的外接球的体积最小值为
12．已知函数是增函数，则实数a的取值范围是　 　．
13．将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有　 　种．
14．设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则　 　．
15．2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响．
喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生
女生 15
合计
（1）根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关；
（2）若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望．
附：，其中．
16．已知三棱锥P-ABC中，，，D为AC中点，M为BD中点，平面平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．
（1）证明：；
（2）若，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．
17．已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且．
（1）求角；
（2）求的最小值．
18．已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上任意一点，求的内切圆半径的最大值；
（3）过点分别作直线与椭圆交于、两点，作直线与椭圆交于、两点，其中点、位于第一象限，直线过点且与轴垂直，直线、与直线分别交于点、，证明：点为中点．
19．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：要是函数有意义，则，解得，即集合，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，得集合N，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得复数，再根据复数模长公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，，可得，，
则，，
因为与的夹角的余弦值为，所以，解得或（因，舍）.
故答案为：A.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量夹角公式列式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、当时，，与题中函数图象不符，故A错误；
B、，
函数为上的增函数，与题中函数图象不符，故B错误；
C、设定义域为，，函数为偶函数，与题干中函数图象不符，故C错误；
D、设定义域为，，函数为奇函数，
当时，，，
由，可得；由，可得或，
则函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，
与题中函数图象相符，故D正确.
【分析】根据当时，即可判断A；分析判断函数的单调性即可判断B；求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可判断C；判断函数的奇偶性，求导判断函数的单调性即可判断D.
5．【答案】C
【知识点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：不妨设，，因为，所以点在以为直径的圆上，
又因为，中点坐标为，所以点在圆上，
又因为在圆上仅存在一点，使，且两圆半径相等，
所以两圆外切，则，解得或（舍）.
【分析】由题意不妨设，，根据，可得点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆方，又因为点P在圆上，所以两圆外切，利用两圆的位置关系求解即可.
6．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
令，得，
则，.
故答案为：C.
【分析】利用赋值法求解即可.
7．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知，
令，即，即，
所以，或，
解得，或，
则非负根从小到大依次为，，，， ，
又因为在区间上有三个零点，所以，解得，
则的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换求得函数的解析式，令求出的零点，再根据范围求得的取值范围即可.
8．【答案】A
【知识点】集合的表示方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为，所以且，
所以，
所以，
所以，
由题意可知，则，化简得，
则恒成立，即，符合条件的整数的最大值是0.
故答案为：A.
【分析】用表示，根据M中任意元素均在曲线的下方，得到关于的不等式，化简得，分离参数，利用二次函数的值域求得的取值范围，从而得到符合条件的整数a的最大值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；曲线与方程
【解析】【解答】解：A、若，曲线的方程为是焦点在轴上的椭圆，焦距为，故A正确；
B、若，则曲线的方程为是焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确；
C、若曲线表示椭圆，则解得且，故C错误；
D、若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，
又因为，，所以是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】若，曲线表示焦点在轴上的椭圆，求得焦距即可判断A； 若，曲线是焦点在轴上的双曲线，求渐进线方程即可判断B；根据椭圆的定义列不等式组求解即可判断C；根据曲线表示双曲线，列式求得m的范围，再结合充分、必要条件的定义即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【解答】解： 数列满足，，
A、当时，可得，因为，所以，故A正确；
B、由，得，
则，因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确；
C、由B选项分析可得，所以，
所以
，
故C正确；
由C选项分析可得，所以，
所以恒成立，
所以数列为单调递减数列，所以数列中不存在最小项，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】根据数列的递推式，令求解即可判断A；根据数列的递推公式，利用构造法可得，可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式，再利用分组求和法得即可判断BC；利用数列的单调性求解即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；平面与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
又因为为斜边上的中线，所以，所以，
将沿边AD翻折，的形状不变，则，即，故A正确；
B、过点作的延长线于点，连接，，如图所示：
由对A的分析可知，，故，
当平面时，三棱锥的体积最大，此时，，
故，故B正确；
C、假设存在某个位置使得平面平面，
分别取，的中点，，连接，，，
由已知条件可知，又平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，
所以易知中，，，所以，所以.
又，所以．
易知在旋转过程中能成立，所以假设成立，故C正确；
D、由题可知，，所以的外接圆的半径为，是定值．
易知是边长为1的等边三角形，所以其外接圆的半径为，是定值.
因为在翻折的过程中，是固定不动的，
所以在旋转过程中，所在平面始终不过三棱锥外接球的球心，
当的外接圆正好是三棱锥外接球的大圆时，三棱锥的外接球的半径最小，为1，
此时三棱锥的外接球的体积最小，为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】易知，根据中位线性质，结合翻折的特点，以及三角形的性质求解即可判断A；过点作的延长线于点，连接，，由三棱锥的体积公式求解即可判断B；假设存在某个位置使得平面平面，根据面面垂直的性质定理即可判断C；根据三角形外接圆的性质及三棱锥外接球的性质即可判断D.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由题意可得：恒成立，则，
当时，，当且仅当时等号成立，则，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，求导，由题意可得，分离参数可得，再利用基本不等式求解即可.
13．【答案】60
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题知将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，
将这6张不同的卡片，标号分别为，
将6张卡片均匀分成三组，然后放到三个不同的信封中，总的放法种数为，
不满足题目要求的情况如下：①其中有2个信封中的卡片标号相同，
则卡片的分组为，，，共1种，此时放法种数为，
②有1个信封中的卡片标号相同，则卡片的分组为，，；
，，；，，；
，，，共4种，此时放法种数为，
若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法种数为．
故答案为：60.
【分析】利用分组、分配，结合分步乘法计数原理先求所有的方法，再排除不满足题目要求的，据此求解即可.
14．【答案】392
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，得，即，
因为，所以，同理得，
由，得，令，则，且，
即，，，
．
故答案为：392.
【分析】由，，得，，同理可得，令，解得，，再利用分组求和求解即可.
15．【答案】（1）解：由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为，且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事，
因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名，
列联表为：
喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即该校学生喜欢军事与性别无关；
（2）解：易知学生答对任意一题的概率为，
随机变量的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
数学期望．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，先完善列联表，再进行零假设，计算，与临界值比较进行判断即可；
（2）易知学生答对任意一题的概率为，随机变量的可能取值为0，1，2，3，且，计算相应的概率，列出分布列，再求期望即可.
（1）由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为，
且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事，
因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名，
完善后的列联表如下：
　 喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关．
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即该校学生喜欢军事与性别无关．
（2）学生答对任意一题的概率为，
的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
数学期望．
16．【答案】（1）证明：因为，为中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）解：M为BD中点，在等腰中，，
因为点到平面的距离为2，，所以平面，
以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，令，可得，
设平面的法向量为，则，即，令，可得，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形得性质，结合面面垂直的性质定理得到线面垂直，再利用线面垂直的定义求证即可；
（2）由点到平面的距离为2和得到平面，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量法求解即可．
（1）因为，为中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）M为BD中点，在等腰中，，
因为点到平面的距离为2，，所以平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）解：由，，得，
即，即，
则，
故，因为，所以，
在中，，
因为，所以；
（2）解：不妨设点靠近点，，
设，在中，，
在中，，
，
设，，则
因为函数在上单调递减，所以时，，故的最小值为2.
【知识点】函数的最大（小）值；简单的三角恒等变换；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理的推理化边为角，得到关系，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）不妨设点靠近点，，设，在，中，分别表示，利用简三角恒等变换，结合换元法、函数的单调性求最值即可.
（1）由，，
得，
即，
即，
所以，
故，因为，所以，
故在中，，
因为，所以．
（2）不妨设点靠近点，，
设，
则在中，，
在中，，
，
设，则，故，
因为函数在上单调递减，
所以时，，故的最小值为2．
18．【答案】（1）解：由题意可知，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：设的内切圆半径为，的面积为，
因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得，
又，所以的面积，
易知当位于短轴的端点时，最大，，
所以，解得，即的最大值为；
（3）解：易知直线、均不与轴重合，
设直线的方程为，直线的方程为，
设点、、、，
联立，消去并整理可得，
则，
由韦达定理可得，，
同理可得，，
直线的方程为，
令，得
同理可得，
则
，
所以点为的中点．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率求得的值，即可得椭圆的方程；
（2）设的内切圆半径为，的面积为，根据椭圆的定义可得，由，求得的面积，易知当取最大值时，取最大值，求出的最大值，即可得出的最大值；
（3）设直线的方程为，直线的方程为，点、、、，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得，同理可得出、，求出直线的方程，令，可得出点的纵坐标，同理得出点的纵坐标，计算出，即可证得结论成立.
（1）设椭圆的半焦距为，由题意可知，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设的内切圆半径为，设的面积为，
因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得，
又，所以的面积，
易知当位于短轴的端点时，最大，，
所以，解得，即的最大值为．
（3）易知直线、均不与轴重合，
设直线的方程为，直线的方程为，
设点、、、，
联立，消去并整理可得，
则，
由韦达定理可得，，
同理可得，，
直线的方程为，
令，得
同理可得，
则
，
所以点为的中点．
19．【答案】（1）解：当时，，求导可得，，则曲线在点处的切线方程为；
（2）解：，
令，则，
若，则，所以在上单调递增，所以，
若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，
因此当时，，单调递减；当时，，单调递增；
（3）解：由（2）知时不符合题意；
当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故，
则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足，则，令，得，
则，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，
故在内存在唯一零点，即，且当时，，，
则单调递减；当时，，，则单调递增，
故，
由，得，
故整数的最大值为2．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）当时，求函数导函数，利用倒数的几何意义求解即可；
（2）求函数的导函数，再令，求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，求导，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值即可求解．
（1）当时，，则，
则，所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
令，则，
若，则，所以在上单调递增，所以，
若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，
因此当时，，单调递减；当时，，单调递增．
（3）由（2）知时不符合题意；
当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故，
则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得
则，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，
故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增，
故，
由，得，
故整数的最大值为2．
1 / 1河北省承德市承德县第一中学2026届高三下学期一模数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：要是函数有意义，则，解得，即集合，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，得集合N，再根据集合的交集运算求解即可.
2．若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得复数，再根据复数模长公式求解即可.
3．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，，可得，，
则，，
因为与的夹角的余弦值为，所以，解得或（因，舍）.
故答案为：A.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量夹角公式列式求解即可.
4．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、当时，，与题中函数图象不符，故A错误；
B、，
函数为上的增函数，与题中函数图象不符，故B错误；
C、设定义域为，，函数为偶函数，与题干中函数图象不符，故C错误；
D、设定义域为，，函数为奇函数，
当时，，，
由，可得；由，可得或，
则函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，
与题中函数图象相符，故D正确.
【分析】根据当时，即可判断A；分析判断函数的单调性即可判断B；求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可判断C；判断函数的奇偶性，求导判断函数的单调性即可判断D.
5．已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：不妨设，，因为，所以点在以为直径的圆上，
又因为，中点坐标为，所以点在圆上，
又因为在圆上仅存在一点，使，且两圆半径相等，
所以两圆外切，则，解得或（舍）.
【分析】由题意不妨设，，根据，可得点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆方，又因为点P在圆上，所以两圆外切，利用两圆的位置关系求解即可.
6．记，若，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
令，得，
则，.
故答案为：C.
【分析】利用赋值法求解即可.
7．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知，
令，即，即，
所以，或，
解得，或，
则非负根从小到大依次为，，，， ，
又因为在区间上有三个零点，所以，解得，
则的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换求得函数的解析式，令求出的零点，再根据范围求得的取值范围即可.
8．已知集合且，若M中任意元素均在曲线的下方，则符合条件的整数a的最大值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．2025
【答案】A
【知识点】集合的表示方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为，所以且，
所以，
所以，
所以，
由题意可知，则，化简得，
则恒成立，即，符合条件的整数的最大值是0.
故答案为：A.
【分析】用表示，根据M中任意元素均在曲线的下方，得到关于的不等式，化简得，分离参数，利用二次函数的值域求得的取值范围，从而得到符合条件的整数a的最大值.
9．已知曲线，则下列说法正确的（　　）
A．若，则曲线的焦距为4
B．若，则曲线表示双曲线，且其渐近线方程为
C．若曲线表示椭圆，则
D．是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件
【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；曲线与方程
【解析】【解答】解：A、若，曲线的方程为是焦点在轴上的椭圆，焦距为，故A正确；
B、若，则曲线的方程为是焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确；
C、若曲线表示椭圆，则解得且，故C错误；
D、若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，
又因为，，所以是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】若，曲线表示焦点在轴上的椭圆，求得焦距即可判断A； 若，曲线是焦点在轴上的双曲线，求渐进线方程即可判断B；根据椭圆的定义列不等式组求解即可判断C；根据曲线表示双曲线，列式求得m的范围，再结合充分、必要条件的定义即可判断D.
10．已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列中存在最小项
【答案】A,B,C
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【解答】解： 数列满足，，
A、当时，可得，因为，所以，故A正确；
B、由，得，
则，因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确；
C、由B选项分析可得，所以，
所以
，
故C正确；
由C选项分析可得，所以，
所以恒成立，
所以数列为单调递减数列，所以数列中不存在最小项，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】根据数列的递推式，令求解即可判断A；根据数列的递推公式，利用构造法可得，可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式，再利用分组求和法得即可判断BC；利用数列的单调性求解即可判断D.
11．已知在直角中，，，AD为边BC上的中线，将沿边AD翻折至，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．三棱锥的体积的最大值为
C．存在某个位置使得平面平面
D．三棱锥的外接球的体积最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；平面与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
又因为为斜边上的中线，所以，所以，
将沿边AD翻折，的形状不变，则，即，故A正确；
B、过点作的延长线于点，连接，，如图所示：
由对A的分析可知，，故，
当平面时，三棱锥的体积最大，此时，，
故，故B正确；
C、假设存在某个位置使得平面平面，
分别取，的中点，，连接，，，
由已知条件可知，又平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，
所以易知中，，，所以，所以.
又，所以．
易知在旋转过程中能成立，所以假设成立，故C正确；
D、由题可知，，所以的外接圆的半径为，是定值．
易知是边长为1的等边三角形，所以其外接圆的半径为，是定值.
因为在翻折的过程中，是固定不动的，
所以在旋转过程中，所在平面始终不过三棱锥外接球的球心，
当的外接圆正好是三棱锥外接球的大圆时，三棱锥的外接球的半径最小，为1，
此时三棱锥的外接球的体积最小，为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】易知，根据中位线性质，结合翻折的特点，以及三角形的性质求解即可判断A；过点作的延长线于点，连接，，由三棱锥的体积公式求解即可判断B；假设存在某个位置使得平面平面，根据面面垂直的性质定理即可判断C；根据三角形外接圆的性质及三棱锥外接球的性质即可判断D.
12．已知函数是增函数，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由题意可得：恒成立，则，
当时，，当且仅当时等号成立，则，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，求导，由题意可得，分离参数可得，再利用基本不等式求解即可.
13．将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有　 　种．
【答案】60
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题知将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，
将这6张不同的卡片，标号分别为，
将6张卡片均匀分成三组，然后放到三个不同的信封中，总的放法种数为，
不满足题目要求的情况如下：①其中有2个信封中的卡片标号相同，
则卡片的分组为，，，共1种，此时放法种数为，
②有1个信封中的卡片标号相同，则卡片的分组为，，；
，，；，，；
，，，共4种，此时放法种数为，
若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法种数为．
故答案为：60.
【分析】利用分组、分配，结合分步乘法计数原理先求所有的方法，再排除不满足题目要求的，据此求解即可.
14．设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则　 　．
【答案】392
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，得，即，
因为，所以，同理得，
由，得，令，则，且，
即，，，
．
故答案为：392.
【分析】由，，得，，同理可得，令，解得，，再利用分组求和求解即可.
15．2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响．
喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生
女生 15
合计
（1）根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关；
（2）若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）解：由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为，且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事，
因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名，
列联表为：
喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即该校学生喜欢军事与性别无关；
（2）解：易知学生答对任意一题的概率为，
随机变量的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
数学期望．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，先完善列联表，再进行零假设，计算，与临界值比较进行判断即可；
（2）易知学生答对任意一题的概率为，随机变量的可能取值为0，1，2，3，且，计算相应的概率，列出分布列，再求期望即可.
（1）由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为，
且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事，
因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名，
完善后的列联表如下：
　 喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关．
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即该校学生喜欢军事与性别无关．
（2）学生答对任意一题的概率为，
的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
数学期望．
16．已知三棱锥P-ABC中，，，D为AC中点，M为BD中点，平面平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．
（1）证明：；
（2）若，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为，为中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）解：M为BD中点，在等腰中，，
因为点到平面的距离为2，，所以平面，
以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，令，可得，
设平面的法向量为，则，即，令，可得，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形得性质，结合面面垂直的性质定理得到线面垂直，再利用线面垂直的定义求证即可；
（2）由点到平面的距离为2和得到平面，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量法求解即可．
（1）因为，为中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）M为BD中点，在等腰中，，
因为点到平面的距离为2，，所以平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且．
（1）求角；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：由，，得，
即，即，
则，
故，因为，所以，
在中，，
因为，所以；
（2）解：不妨设点靠近点，，
设，在中，，
在中，，
，
设，，则
因为函数在上单调递减，所以时，，故的最小值为2.
【知识点】函数的最大（小）值；简单的三角恒等变换；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理的推理化边为角，得到关系，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）不妨设点靠近点，，设，在，中，分别表示，利用简三角恒等变换，结合换元法、函数的单调性求最值即可.
（1）由，，
得，
即，
即，
所以，
故，因为，所以，
故在中，，
因为，所以．
（2）不妨设点靠近点，，
设，
则在中，，
在中，，
，
设，则，故，
因为函数在上单调递减，
所以时，，故的最小值为2．
18．已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上任意一点，求的内切圆半径的最大值；
（3）过点分别作直线与椭圆交于、两点，作直线与椭圆交于、两点，其中点、位于第一象限，直线过点且与轴垂直，直线、与直线分别交于点、，证明：点为中点．
【答案】（1）解：由题意可知，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：设的内切圆半径为，的面积为，
因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得，
又，所以的面积，
易知当位于短轴的端点时，最大，，
所以，解得，即的最大值为；
（3）解：易知直线、均不与轴重合，
设直线的方程为，直线的方程为，
设点、、、，
联立，消去并整理可得，
则，
由韦达定理可得，，
同理可得，，
直线的方程为，
令，得
同理可得，
则
，
所以点为的中点．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率求得的值，即可得椭圆的方程；
（2）设的内切圆半径为，的面积为，根据椭圆的定义可得，由，求得的面积，易知当取最大值时，取最大值，求出的最大值，即可得出的最大值；
（3）设直线的方程为，直线的方程为，点、、、，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得，同理可得出、，求出直线的方程，令，可得出点的纵坐标，同理得出点的纵坐标，计算出，即可证得结论成立.
（1）设椭圆的半焦距为，由题意可知，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设的内切圆半径为，设的面积为，
因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得，
又，所以的面积，
易知当位于短轴的端点时，最大，，
所以，解得，即的最大值为．
（3）易知直线、均不与轴重合，
设直线的方程为，直线的方程为，
设点、、、，
联立，消去并整理可得，
则，
由韦达定理可得，，
同理可得，，
直线的方程为，
令，得
同理可得，
则
，
所以点为的中点．
19．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值．
【答案】（1）解：当时，，求导可得，，则曲线在点处的切线方程为；
（2）解：，
令，则，
若，则，所以在上单调递增，所以，
若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，
因此当时，，单调递减；当时，，单调递增；
（3）解：由（2）知时不符合题意；
当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故，
则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足，则，令，得，
则，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，
故在内存在唯一零点，即，且当时，，，
则单调递减；当时，，，则单调递增，
故，
由，得，
故整数的最大值为2．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）当时，求函数导函数，利用倒数的几何意义求解即可；
（2）求函数的导函数，再令，求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，求导，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值即可求解．
（1）当时，，则，
则，所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
令，则，
若，则，所以在上单调递增，所以，
若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，
因此当时，，单调递减；当时，，单调递增．
（3）由（2）知时不符合题意；
当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故，
则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得
则，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，
故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增，
故，
由，得，
故整数的最大值为2．
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