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广东省深圳市龙岗区48校联考2025-2026学年九年级一模数学试卷
1．古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负.例如“红色算筹=Ⅲ”表示的数是+23.则“黑色算筹=Ⅲ”表示的数是（　　)
A．+35 B．-35 C．+53 D．-53
2．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚.若从一套盲盒（共4个盲盒，其中笔、墨、纸、砚盲盒各一个)中随机选1个，则恰好抽中笔的概率是（　　)
A． B． C． D．
3．如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能的是（　　)
A．平移 B．轴对称
C．旋转 D．轴对称及旋转
4．如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形.正八边形的一个内角的度数是（　　)
A．120° B．125° C．135° D．150°
5．下列计算中正确的是（　　)
A． B． C． D．
6．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关.如图，从光源O发出的光线OB，OC经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴POQ平行的方向射出.如果∠ABO=45°，∠OCD=93°，则∠BOC=（　　)
A．122° B．128° C．132° D．138°
7．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍.已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个.设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是（　　)
A． B．
C． D．
8．为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练.根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图.
以下四个结论中错误的是（　　)
A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天
B．第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快
C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近
D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大
9．要让代数式 有意义，则x的值可以是　 　.
10．如图， AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C.若C是OB的中点，OC=1，则AC的长为　 　.
11．如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点 B旋转，连接杆 DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中， DE 的长度保持不变.若DE=10cm， ∠DEB=22°， ∠B=45°，则BE的长度为　 　cm.（结果保留整数，参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)
12．如图，点A是反比例函数 的图象上一点，延长AO交图象另一支曲线于点B，BC∥y轴且满足AC=BC， ∠C=120°.若△ABC的面积为8，则k=　 　.
13．如图，在△ABC中， ∠BAC=90°， D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF， DE与AB交于点G.若G是DE的中点，正方形ADEF的面积为7，则AC·AG的值为　 　.
14．计算：
15．先化简，再求值： 其中x=3.
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学 解：原式
乙同学 解：原式
（1）甲同学解法的依据是　 　；乙同学解法的依据是　 　；（填序号)
①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法分配律④乘法交换律
（2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程.
16． “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益.为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分)：
小学部： 7， 7， 7， 8， 8， 8， 8， 8， 9， 10；
初中部： 9， 7， 9， 6， 10， 6， 8， m， 9， 7.
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
　 平均数 中位数 众数 方差
小学部 8 a 8 0.8
初中部 8 8.5 b 1.8
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：m=　 　， a=　 　， b=　 　；
（2）综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高 请说明理由；
（3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65%及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐” 请说明理由.
17．学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品.已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元.
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少 并求出最少总费用.
18．如图，在△ABC中， AB=AC.
（1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在BC下方求作点D，使四边形ABDC为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若∠A=30°，菱形ABDC的面积为2，求菱形ABDC的周长.
19．综合与实践
【问题背景】
数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究.
【数据收集】
信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m.
信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m.
信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动 tm至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变)，此时水流未达到最高点但恰好到达点A处.
（以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状)
【问题解决】
（1）求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式；
（2）求信息3中移动距离t的值；
（3）【联系拓广】
如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状.如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为 下沿抛物线的表达式为 （h为出水口点E到地面的高度)，高楼外墙与y轴仍相距8m.当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即 CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD=4.9m) 若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由.
20．综合与探究
【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”.
【示例】如图1，在四边形ABCD中， ∠A =∠C =90°，则称四边形ABCD 叫做“对直四边形ABCD”.
【性质探究】
小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下：
如图2，连接对角线BD，取BD中点O，并连接OA， OC.
∵∠BAD=∠BCD=90°， ▲ ，
▲
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD的顶点A， B， C， D均在以点O为圆心， BD为直径的圆上.
（1）请补全小明同学的证明过程.
（2）【性质应用】如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A， D， P三点的圆交对角线AC于点 E.
①求证：四边形 APED 是“对直四边形”；
②若AB=8， AD=6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长.
（3）【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中， AB =kBC （k为正实数).点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交 BC于点 F.请求出 的值（用含 k的式子表示).
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“红色算筹=Ⅲ”表示的数是＋23，
则“黑色算筹=Ⅲ”表示的数为 35，
故答案为：B．
【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案．
2．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中笔的概率为．
故答案为：B．
【分析】根据概率公式计算概率即可．
3．【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、图案无法用平移得到；
B、图案中间水平和垂直的两条线段所在的两条直线是对称轴，因此图案可由轴对称变换得到；
C、图案所在的中心可以是旋转中心，因此图案可由旋转变换得到；
D、图案可以通过轴对称和旋转得到；
故答案为：A．
【分析】根据图形的特征可知图形所在的中心可以是旋转中心，中间两条线段所在的两条直线是对称轴；根据上述特征结合平移，旋转，轴对称的概念解答即可．
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：180° 360°÷8
＝180° 45°
＝135°．
故答案为：C．
【分析】先求出正八边形的外角，再根据邻补角的定义即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：a4＋a4＝2a4，则A不符合题意，
a4 a4＝a8，则B不符合题意，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，则C不符合题意，
（ a3）2＝a6，则D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方法则逐项判断即可．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：已知反射光线CD平行于对称轴PQ（CD∥PQ）．
直线CO是截线，截平行线CD和PQ．
根据平行线的性质，∠COP＝∠OCD．
∵∠OCD＝93°，
∴∠COP＝93°．
∴∠BOC＝∠BOP＋∠COP．
∠BOC＝45°＋93°＝138°．
∴∠BOC＝138°，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质解题即可．BA∥PQ∥CD，∴∠BOP＝∠ABO＝45°，∠POC＝∠OCD＝93°．∠BOC＝45°＋93°＝138°．
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为1.2x千克，结合用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，列出方程即可．
8．【答案】C
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：A：将条形图中的天数相加等于56，故A说法正确，但不符合题意；
B：观察折线统计图前3期的成绩，李明用时比王华少，所以李明比王华跑得快，故B说法正确，但不符合题意；
C：观察折线统计图在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期和第5期的测试成绩比较接近，且第2期相差12.7 12.58＝0.12（秒），第5期相差11.83 11.74＝0.09（秒），所以在这5期集训期间，李明、王华两人在第5期的测试成绩最为接近，故C说法错误，符合题意；
D：观察条形统计图，相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大，故D说法正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】通过观察条形统计图和折线统计图逐一判断即可．
9．【答案】2026
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当x 2026≥0时，有意义，
∴x≥2026，
故答案为：2026（答案不唯一）
【分析】利用二次根式的定义，被开方数非负二次根式有意义．
10．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵C是OB的中点，OA＝OC＝1，
∴OA＝OB，
∴cos∠AOB＝，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AC的长为：，
故答案为：.
【分析】根据切线的性质得到OA⊥AB，解直角三角形求出∠AOB，再根据弧长公式计算即可．
11．【答案】13
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
在Rt△DEF中，DE＝10cm，cos22°≈0.93，∴EF＝0.93×10≈9.3cm，
∵∠B＝45°，∴BF＝DF，∵sin22°≈0.37
∴DF＝DE sin22≈3.7cm，∴EB＝EF＋BF≈9.3＋3.7＝13（cm）．
故答案为：13cm.
【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，在Rt△DBF中，解直角三角形求出DF和BF的长度，在Rt△DEF中，解直角三角形求出EF的长度，再根据EB＝EF＋BF解答即可．
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
由对称性可知，OA＝OB，
∵BC＝AC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝60°，
在Rt△BOC中，
∵∠BCO＝60°，
∴OC＝OB，
∵S△ABC＝8，即AB OC＝8，而AB＝2OB，
∴OB OC＝8，
∴OB2＝8，
解得OB2＝，
在Rt△BOD中，∠B＝90° 60°＝30°，
∴OD＝OB，BD＝OB，
∴S△BOD＝OD BD＝×OB×OB＝OB2＝×＝3＝|k|，
∴k＝6．
故答案为：6．
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．
13．【答案】7
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AD＝a，
在△ABC中，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，
∵BD＝CD＝AD＝a，
∴∠C＝∠DAC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴EF＝AD＝AF＝DE＝a，∠E＝∠ADG＝∠DAF＝90°，
∵正方形ADEF的面积为7，
∴AD2＝a2＝7，
∵点G是DE的中点，
∴EG＝DE，
在△FEG和△ADG中，
，
∴△FEG≌△ADG（SAS），
∴FG＝AG，
∴∠GAF＝∠GFA，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAF ∠DAB＝∠BAC ∠DAB，
∴∠GAF＝∠DAC，
∴∠GAF＝∠DAC＝∠GFA＝∠C，
∴△GAF∽△DAC中，
∴，
∴，
∴AC AG＝a2＝7，
∴AC AG的值为7．
故答案为：7．
【分析】设AD＝a，根据直角三角形斜边中线性质得BD＝CD＝AD＝a，进而得∠C＝∠DAC，再根据正方形性质得a2＝7，证明△FEG和△ADG全等得FG＝AG，进而证明△GAF和△DAC相似得，据此可得AC AG的值．
14．【答案】解：原式
=3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可．
15．【答案】（1）②；③
（2）解：方法1：原式
=2x+8
当x=3时，原式=2×3+8=14。
方法2：原式
=3(x+2)-(x-2)
=3x+6-x+2
=2x+8
当x=3时，原式=2×3+8=14。
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：（1）先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【分析】（1）分别根据甲、乙两同学的解法解答即可；
（2）根据甲、乙两同学的解法解答即可．
16．【答案】（1）9；8；9
（2）解：方法1：初中部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由如下：
∵小学部和初中部的平均数相同，但初中部的中位数大于小学部的中位数，
∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更高。
方法2：初中部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由如下：
∵小学部和初中部的平均数相同，但初中部的众数大于小学部的中位数，
∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更高。
方法3：小学部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由如下：
∵小学部和初中部的平均数相同，但小学部的方差小于初中部，说明小学部评分更稳定，
∴小学部的学生对“校园餐”的满意度更高。
（3）解： (名) ， (名)
∴840+480=1320(名) 。
∴该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”。
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）解：（1）将小学部的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为：，即中位数a＝8，
中学部的平均数为：＝8，解得m＝9，
中学部学生成绩出现次数最朵的是9分，即众数b＝9，
即m＝9，a＝8，b＝9，
故答案为：9，8，9；
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
（2）从中位数、众数、平均数的大小进行比较即可；
（3）求出“校园餐”评分在8分及以上的学生人数所占的百分比即可．
17．【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
由题意可得：
解得：
故甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元；
（2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品(100-m)件，设购买两种奖品的总费用为w元，依题意可得： 100-m≤2m，
解得： w=40m+30(100-m)=10m+3000，
∵10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时， 100-m=66， w最小=10×34+3000=3340 (元) ，
答：当学校购买34件甲种奖品，66件乙种奖品时，花费最少，最小费用为3340元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种奖品的单价为m元，乙种奖品的单价为n元，根据“购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品x件，总费用为y元，则购买乙种奖品（100 x）件，利用总价＝单价×数量，可找出y关于x的函数关系式，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
18．【答案】（1）解：
（2）解：如图①，过C作CH⊥AB于H，
∴∠AHC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴CH＝AC，
∵四边形ABDC是菱形，
∴AB＝AC＝BD＝DC，
∴菱形ABDC的面积＝AB CH＝AB2＝2，
∴AB＝2（舍去负值），
∴菱形的周长＝4AB＝8．
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）如图①分别以B、C为圆心、AB的长为半径画弧，两弧交于D，连接BD，CD，得到菱形ABDC；如图②作BC的垂直平分线AP交BC与O，在射线OP上截取OD＝AO，连接BD，CD，得到菱形ABDC．
（2）过C作CH⊥AB于H，由含30度角的直角三角形的性质得到CH＝AC，得到菱形ABDC的面积＝AB2＝2，求出AB的长，即可得到菱形的周长．
19．【答案】（1）解：由题意可设抛物线表达式为
代入(0， 0)得
解得：
∴点 O 处喷出的抛物线状水流的表达式是
（2）解：当x=8时，
即点 A 的坐标(8， 16) ，
∵向右移动后的表达式为
代入A(8， 16)得
解得 (舍去) ，
∴移动距离t的值为4。
（3）解：方法1：
当x=8时，
∴无人机升至某高度时需向右移动。
设顶点 E 向右平移n 米，
则
当x=8时，
解得 (舍去) ，
∴无人机升至某高度时需向右移动1m。
方法2：
当x=8时，
∴无人机升至某高度时需向右移动。
假设线段CD向左平移至 C'D'，使得C'D'恰好被无人机喷出的水流覆盖。
设点 C'的横坐标为m，则
解得： (舍去) ，
∴移动距离为8-7=1 (m) ，
∴无人机升至某高度时需向右移动 1m。
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据题目中“水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m”可知抛物线顶点为（6，18），且图象经过原点（0，0），利用顶点式设出方程代入原点坐标即可求出解析式；
（2）首先将x＝8代入第一问求得的解析式算出点A的纵坐标，然后根据“抛物线形状与大小不变”可知新抛物线的二次项系数a不变，设出平移后的解析式（或根据平移规律），将点A坐标代入求解移动距离t；
（3）这是一个存在性问题，根据无人机窗口CD的高度范围（4m到6m）以及水平位置关系，判断在无人机抛物线轨迹上是否存在满足条件的点，或者通过计算特定点的坐标来验证水流能否落在窗口范围内．
20．【答案】（1）解：OB=OD(或“O是BD的中点”或AO、CO是△ABD与△BDC的中线)，
（2）解：①证明：连接PD。
∵矩形ABCD，
∴∠DAP=90°，
∴PD 是过A， D， P三点的圆的直径，
∴∠DEP=90°，
即∠DAP=∠DEP=90°，
∴四边形 APED 是“对直四边形”。
② PE的值为或或
（3）解：方法1：连接DE， PD， FD。
由∠DAP=90°可得 PD为直径，
∴∠DEP=90°=∠DEF=∠DCF，
∴四边形 DEFC 为“对直四边形”，即 D， E， F， C 四点共圆。
∴∠DFE=∠DCA，
又∵
∴∠DPE=∠DAC，
∴∠DPE+∠DFE=∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠PDE=∠DFE，即△DEP∽△CDA∽△FED，
∴DE=kPE， EF=kDE=k2PE，即
方法2：连接DE， DP， DF，作 FN∥AB交AC于点N。
由∠DAP=90°可得PD为直径，
∴∠DEP=90°=∠DEF=∠DCF，
∴四边形DEFC为“对直四边形”，即 D， E， F， C四点共圆。
∴∠PDA=∠PEA=∠CEF=∠CDF，
∴△DAP∽△DCF，
又∵FN∥AB，
∴△CNF∽△CAB， △PAE∽△FNE，
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定；圆-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）
∴∠DPE=∠DAE，
由①可知， ∠CDA=∠DEP=90°，
∴△DEP∽△CDA，
即
(i)当DA=DE=6时，
(ii)当EA=ED时，作EH⊥AD，则AH=DH=3。
在Rt△ADC中，
(iii)当AD=AE=6时， CE=10-6=4。作EM⊥CD，则
在Rt△ADC中，
综上所述，PE的值为或或
【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答；
（2）①连接DP，设圆心为O，证明DP为⊙O的直径，可得四边形APED是“对直四边形”；
②求出AC＝＝10，证明△PDE∽△ACD，得，根据△ADE为等腰三角形，当EA＝ED时，当AD＝AE＝6时，当DA＝DE＝6时，分三种情况解答；
（3）设圆心为点O，连接DP，DE，DF，证明∠PED＝90°，可得△PDE∽△ACD，得DE＝kPE，证明C，D，E，F在以DF为直径的圆上，得∠DCE＝∠DFE，证明△DFE∽△ACD，可得EF＝kDE，即得．
1 / 1广东省深圳市龙岗区48校联考2025-2026学年九年级一模数学试卷
1．古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负.例如“红色算筹=Ⅲ”表示的数是+23.则“黑色算筹=Ⅲ”表示的数是（　　)
A．+35 B．-35 C．+53 D．-53
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“红色算筹=Ⅲ”表示的数是＋23，
则“黑色算筹=Ⅲ”表示的数为 35，
故答案为：B．
【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案．
2．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚.若从一套盲盒（共4个盲盒，其中笔、墨、纸、砚盲盒各一个)中随机选1个，则恰好抽中笔的概率是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中笔的概率为．
故答案为：B．
【分析】根据概率公式计算概率即可．
3．如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能的是（　　)
A．平移 B．轴对称
C．旋转 D．轴对称及旋转
【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、图案无法用平移得到；
B、图案中间水平和垂直的两条线段所在的两条直线是对称轴，因此图案可由轴对称变换得到；
C、图案所在的中心可以是旋转中心，因此图案可由旋转变换得到；
D、图案可以通过轴对称和旋转得到；
故答案为：A．
【分析】根据图形的特征可知图形所在的中心可以是旋转中心，中间两条线段所在的两条直线是对称轴；根据上述特征结合平移，旋转，轴对称的概念解答即可．
4．如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形.正八边形的一个内角的度数是（　　)
A．120° B．125° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：180° 360°÷8
＝180° 45°
＝135°．
故答案为：C．
【分析】先求出正八边形的外角，再根据邻补角的定义即可得出答案．
5．下列计算中正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：a4＋a4＝2a4，则A不符合题意，
a4 a4＝a8，则B不符合题意，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，则C不符合题意，
（ a3）2＝a6，则D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方法则逐项判断即可．
6．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关.如图，从光源O发出的光线OB，OC经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴POQ平行的方向射出.如果∠ABO=45°，∠OCD=93°，则∠BOC=（　　)
A．122° B．128° C．132° D．138°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：已知反射光线CD平行于对称轴PQ（CD∥PQ）．
直线CO是截线，截平行线CD和PQ．
根据平行线的性质，∠COP＝∠OCD．
∵∠OCD＝93°，
∴∠COP＝93°．
∴∠BOC＝∠BOP＋∠COP．
∠BOC＝45°＋93°＝138°．
∴∠BOC＝138°，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质解题即可．BA∥PQ∥CD，∴∠BOP＝∠ABO＝45°，∠POC＝∠OCD＝93°．∠BOC＝45°＋93°＝138°．
7．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍.已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个.设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为1.2x千克，结合用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，列出方程即可．
8．为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练.根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图.
以下四个结论中错误的是（　　)
A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天
B．第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快
C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近
D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大
【答案】C
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：A：将条形图中的天数相加等于56，故A说法正确，但不符合题意；
B：观察折线统计图前3期的成绩，李明用时比王华少，所以李明比王华跑得快，故B说法正确，但不符合题意；
C：观察折线统计图在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期和第5期的测试成绩比较接近，且第2期相差12.7 12.58＝0.12（秒），第5期相差11.83 11.74＝0.09（秒），所以在这5期集训期间，李明、王华两人在第5期的测试成绩最为接近，故C说法错误，符合题意；
D：观察条形统计图，相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大，故D说法正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】通过观察条形统计图和折线统计图逐一判断即可．
9．要让代数式 有意义，则x的值可以是　 　.
【答案】2026
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当x 2026≥0时，有意义，
∴x≥2026，
故答案为：2026（答案不唯一）
【分析】利用二次根式的定义，被开方数非负二次根式有意义．
10．如图， AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C.若C是OB的中点，OC=1，则AC的长为　 　.
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵C是OB的中点，OA＝OC＝1，
∴OA＝OB，
∴cos∠AOB＝，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AC的长为：，
故答案为：.
【分析】根据切线的性质得到OA⊥AB，解直角三角形求出∠AOB，再根据弧长公式计算即可．
11．如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点 B旋转，连接杆 DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中， DE 的长度保持不变.若DE=10cm， ∠DEB=22°， ∠B=45°，则BE的长度为　 　cm.（结果保留整数，参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)
【答案】13
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
在Rt△DEF中，DE＝10cm，cos22°≈0.93，∴EF＝0.93×10≈9.3cm，
∵∠B＝45°，∴BF＝DF，∵sin22°≈0.37
∴DF＝DE sin22≈3.7cm，∴EB＝EF＋BF≈9.3＋3.7＝13（cm）．
故答案为：13cm.
【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，在Rt△DBF中，解直角三角形求出DF和BF的长度，在Rt△DEF中，解直角三角形求出EF的长度，再根据EB＝EF＋BF解答即可．
12．如图，点A是反比例函数 的图象上一点，延长AO交图象另一支曲线于点B，BC∥y轴且满足AC=BC， ∠C=120°.若△ABC的面积为8，则k=　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
由对称性可知，OA＝OB，
∵BC＝AC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝60°，
在Rt△BOC中，
∵∠BCO＝60°，
∴OC＝OB，
∵S△ABC＝8，即AB OC＝8，而AB＝2OB，
∴OB OC＝8，
∴OB2＝8，
解得OB2＝，
在Rt△BOD中，∠B＝90° 60°＝30°，
∴OD＝OB，BD＝OB，
∴S△BOD＝OD BD＝×OB×OB＝OB2＝×＝3＝|k|，
∴k＝6．
故答案为：6．
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．
13．如图，在△ABC中， ∠BAC=90°， D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF， DE与AB交于点G.若G是DE的中点，正方形ADEF的面积为7，则AC·AG的值为　 　.
【答案】7
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AD＝a，
在△ABC中，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，
∵BD＝CD＝AD＝a，
∴∠C＝∠DAC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴EF＝AD＝AF＝DE＝a，∠E＝∠ADG＝∠DAF＝90°，
∵正方形ADEF的面积为7，
∴AD2＝a2＝7，
∵点G是DE的中点，
∴EG＝DE，
在△FEG和△ADG中，
，
∴△FEG≌△ADG（SAS），
∴FG＝AG，
∴∠GAF＝∠GFA，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAF ∠DAB＝∠BAC ∠DAB，
∴∠GAF＝∠DAC，
∴∠GAF＝∠DAC＝∠GFA＝∠C，
∴△GAF∽△DAC中，
∴，
∴，
∴AC AG＝a2＝7，
∴AC AG的值为7．
故答案为：7．
【分析】设AD＝a，根据直角三角形斜边中线性质得BD＝CD＝AD＝a，进而得∠C＝∠DAC，再根据正方形性质得a2＝7，证明△FEG和△ADG全等得FG＝AG，进而证明△GAF和△DAC相似得，据此可得AC AG的值．
14．计算：
【答案】解：原式
=3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可．
15．先化简，再求值： 其中x=3.
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学 解：原式
乙同学 解：原式
（1）甲同学解法的依据是　 　；乙同学解法的依据是　 　；（填序号)
①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法分配律④乘法交换律
（2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程.
【答案】（1）②；③
（2）解：方法1：原式
=2x+8
当x=3时，原式=2×3+8=14。
方法2：原式
=3(x+2)-(x-2)
=3x+6-x+2
=2x+8
当x=3时，原式=2×3+8=14。
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：（1）先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【分析】（1）分别根据甲、乙两同学的解法解答即可；
（2）根据甲、乙两同学的解法解答即可．
16． “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益.为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分)：
小学部： 7， 7， 7， 8， 8， 8， 8， 8， 9， 10；
初中部： 9， 7， 9， 6， 10， 6， 8， m， 9， 7.
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
　 平均数 中位数 众数 方差
小学部 8 a 8 0.8
初中部 8 8.5 b 1.8
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：m=　 　， a=　 　， b=　 　；
（2）综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高 请说明理由；
（3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65%及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐” 请说明理由.
【答案】（1）9；8；9
（2）解：方法1：初中部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由如下：
∵小学部和初中部的平均数相同，但初中部的中位数大于小学部的中位数，
∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更高。
方法2：初中部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由如下：
∵小学部和初中部的平均数相同，但初中部的众数大于小学部的中位数，
∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更高。
方法3：小学部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由如下：
∵小学部和初中部的平均数相同，但小学部的方差小于初中部，说明小学部评分更稳定，
∴小学部的学生对“校园餐”的满意度更高。
（3）解： (名) ， (名)
∴840+480=1320(名) 。
∴该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”。
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）解：（1）将小学部的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为：，即中位数a＝8，
中学部的平均数为：＝8，解得m＝9，
中学部学生成绩出现次数最朵的是9分，即众数b＝9，
即m＝9，a＝8，b＝9，
故答案为：9，8，9；
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
（2）从中位数、众数、平均数的大小进行比较即可；
（3）求出“校园餐”评分在8分及以上的学生人数所占的百分比即可．
17．学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品.已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元.
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少 并求出最少总费用.
【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
由题意可得：
解得：
故甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元；
（2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品(100-m)件，设购买两种奖品的总费用为w元，依题意可得： 100-m≤2m，
解得： w=40m+30(100-m)=10m+3000，
∵10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时， 100-m=66， w最小=10×34+3000=3340 (元) ，
答：当学校购买34件甲种奖品，66件乙种奖品时，花费最少，最小费用为3340元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种奖品的单价为m元，乙种奖品的单价为n元，根据“购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品x件，总费用为y元，则购买乙种奖品（100 x）件，利用总价＝单价×数量，可找出y关于x的函数关系式，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
18．如图，在△ABC中， AB=AC.
（1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在BC下方求作点D，使四边形ABDC为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若∠A=30°，菱形ABDC的面积为2，求菱形ABDC的周长.
【答案】（1）解：
（2）解：如图①，过C作CH⊥AB于H，
∴∠AHC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴CH＝AC，
∵四边形ABDC是菱形，
∴AB＝AC＝BD＝DC，
∴菱形ABDC的面积＝AB CH＝AB2＝2，
∴AB＝2（舍去负值），
∴菱形的周长＝4AB＝8．
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）如图①分别以B、C为圆心、AB的长为半径画弧，两弧交于D，连接BD，CD，得到菱形ABDC；如图②作BC的垂直平分线AP交BC与O，在射线OP上截取OD＝AO，连接BD，CD，得到菱形ABDC．
（2）过C作CH⊥AB于H，由含30度角的直角三角形的性质得到CH＝AC，得到菱形ABDC的面积＝AB2＝2，求出AB的长，即可得到菱形的周长．
19．综合与实践
【问题背景】
数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究.
【数据收集】
信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m.
信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m.
信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动 tm至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变)，此时水流未达到最高点但恰好到达点A处.
（以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状)
【问题解决】
（1）求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式；
（2）求信息3中移动距离t的值；
（3）【联系拓广】
如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状.如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为 下沿抛物线的表达式为 （h为出水口点E到地面的高度)，高楼外墙与y轴仍相距8m.当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即 CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD=4.9m) 若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可设抛物线表达式为
代入(0， 0)得
解得：
∴点 O 处喷出的抛物线状水流的表达式是
（2）解：当x=8时，
即点 A 的坐标(8， 16) ，
∵向右移动后的表达式为
代入A(8， 16)得
解得 (舍去) ，
∴移动距离t的值为4。
（3）解：方法1：
当x=8时，
∴无人机升至某高度时需向右移动。
设顶点 E 向右平移n 米，
则
当x=8时，
解得 (舍去) ，
∴无人机升至某高度时需向右移动1m。
方法2：
当x=8时，
∴无人机升至某高度时需向右移动。
假设线段CD向左平移至 C'D'，使得C'D'恰好被无人机喷出的水流覆盖。
设点 C'的横坐标为m，则
解得： (舍去) ，
∴移动距离为8-7=1 (m) ，
∴无人机升至某高度时需向右移动 1m。
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据题目中“水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m”可知抛物线顶点为（6，18），且图象经过原点（0，0），利用顶点式设出方程代入原点坐标即可求出解析式；
（2）首先将x＝8代入第一问求得的解析式算出点A的纵坐标，然后根据“抛物线形状与大小不变”可知新抛物线的二次项系数a不变，设出平移后的解析式（或根据平移规律），将点A坐标代入求解移动距离t；
（3）这是一个存在性问题，根据无人机窗口CD的高度范围（4m到6m）以及水平位置关系，判断在无人机抛物线轨迹上是否存在满足条件的点，或者通过计算特定点的坐标来验证水流能否落在窗口范围内．
20．综合与探究
【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”.
【示例】如图1，在四边形ABCD中， ∠A =∠C =90°，则称四边形ABCD 叫做“对直四边形ABCD”.
【性质探究】
小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下：
如图2，连接对角线BD，取BD中点O，并连接OA， OC.
∵∠BAD=∠BCD=90°， ▲ ，
▲
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD的顶点A， B， C， D均在以点O为圆心， BD为直径的圆上.
（1）请补全小明同学的证明过程.
（2）【性质应用】如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A， D， P三点的圆交对角线AC于点 E.
①求证：四边形 APED 是“对直四边形”；
②若AB=8， AD=6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长.
（3）【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中， AB =kBC （k为正实数).点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交 BC于点 F.请求出 的值（用含 k的式子表示).
【答案】（1）解：OB=OD(或“O是BD的中点”或AO、CO是△ABD与△BDC的中线)，
（2）解：①证明：连接PD。
∵矩形ABCD，
∴∠DAP=90°，
∴PD 是过A， D， P三点的圆的直径，
∴∠DEP=90°，
即∠DAP=∠DEP=90°，
∴四边形 APED 是“对直四边形”。
② PE的值为或或
（3）解：方法1：连接DE， PD， FD。
由∠DAP=90°可得 PD为直径，
∴∠DEP=90°=∠DEF=∠DCF，
∴四边形 DEFC 为“对直四边形”，即 D， E， F， C 四点共圆。
∴∠DFE=∠DCA，
又∵
∴∠DPE=∠DAC，
∴∠DPE+∠DFE=∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠PDE=∠DFE，即△DEP∽△CDA∽△FED，
∴DE=kPE， EF=kDE=k2PE，即
方法2：连接DE， DP， DF，作 FN∥AB交AC于点N。
由∠DAP=90°可得PD为直径，
∴∠DEP=90°=∠DEF=∠DCF，
∴四边形DEFC为“对直四边形”，即 D， E， F， C四点共圆。
∴∠PDA=∠PEA=∠CEF=∠CDF，
∴△DAP∽△DCF，
又∵FN∥AB，
∴△CNF∽△CAB， △PAE∽△FNE，
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定；圆-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）
∴∠DPE=∠DAE，
由①可知， ∠CDA=∠DEP=90°，
∴△DEP∽△CDA，
即
(i)当DA=DE=6时，
(ii)当EA=ED时，作EH⊥AD，则AH=DH=3。
在Rt△ADC中，
(iii)当AD=AE=6时， CE=10-6=4。作EM⊥CD，则
在Rt△ADC中，
综上所述，PE的值为或或
【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答；
（2）①连接DP，设圆心为O，证明DP为⊙O的直径，可得四边形APED是“对直四边形”；
②求出AC＝＝10，证明△PDE∽△ACD，得，根据△ADE为等腰三角形，当EA＝ED时，当AD＝AE＝6时，当DA＝DE＝6时，分三种情况解答；
（3）设圆心为点O，连接DP，DE，DF，证明∠PED＝90°，可得△PDE∽△ACD，得DE＝kPE，证明C，D，E，F在以DF为直径的圆上，得∠DCE＝∠DFE，证明△DFE∽△ACD，可得EF＝kDE，即得．
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