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第八章证明
1 为什么要证明
夯基础
1.下列推理正确的是 ( )
A.若a·b>0,则a+b>0
B.若a+b>0,则a·b≥0
C.若a·b=0,则a-b=0
D.若a·b=0,则a=0或b=0
2.琪琪同学花整数元购买了一个圆规，让同学们猜价格.嘉嘉说：“至多 20元.”亮亮说“至少17元.”琪琪说：“你们都猜对了.”这个圆规的价格可能为 ( )
A.14元 B.16 元
C.19元 D.23元
3.在可以不同年的条件下，下列结论叙述正确的是 ( )
A.400个人中至少有两人生日相同
B.300 个人至少有两人生日相同
C.300个人一定没有两人生日相同
D.300个人一定有两人生日相同
4.下列结论推理合理的是 ( )
A.王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等
B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C.因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好
D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
5.甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次.
甲猜：乙第三名、丙第五名；
乙猜：戊第四名、丁第五名；
丙猜：甲第一名、戊第四名；
丁猜：丙第一名、乙第二名；
戊猜：甲第三名、丁第四名.
老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.先观察猜想结论，再动手验证.
(1)如图 1,圆 M 和圆 N 哪个大
(2)如图2，l，m两条线是否为直线
练能力
7. 如图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张，每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小.
(1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票 如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由；
(2)若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票 写出所有符合要求的购票顺序.
2 认识证明
第 1课时 定义与命题
夯基础
1. 下列命题中，是真命题的是 ( )
A.同位角相等 B.同旁内角互补
C.内错角相等 D.对顶角相等
2. 下列语句中，不是命题的是 ( )
A.延长线段AD
B.两点之间，线段最短
C.同位角相等
D.如果 那么x=1
3. 下列语句中是命题的有( )
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
②你喜欢数学吗
③取线段AB 的中点
④角平分线上的点到角两边的距离相等
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.定义：平面直角坐标系中不重合两点 A(x ,y ),B(x ,y ),把 y |称为 A,B 的“垂直距”,记为 yAB,把 称为A，B的“水平距”，记为xAB，例如, A (1,2), B (-2,6),此时 |1-(-2)|=3,yAB =|2-6|=4.现有两个命题： ②对于△ABC,若 yAB，则∠ACB 不可能是锐角.以上命题中( )
A.①②都是真命题
B.①是真命题，②是假命题
C.①是假命题，②是真命题
D.①②都是假命题
5.“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴”这个句子是 ( )
A.定义 B.命题
C.基本事实 D.定理
6.用一组a,b 的值说明命题“若|a|>|b|,则a>b”是假命题.若a取值为-2，则b可以取值为 .
7.把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果……，那么……”的形式： .
8.能够说明命题“如果a>b+1,那么 是假命题的一组反例是:a= ,b= .
练能力
9.如图,在△AFD 和△CEB 中,点 A,E,F,C 在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB ②AE=CF ③DF=BE④AD∥BC.
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题.并写出证明过程.
条件为： (填序号)；
结论为： (填序号).
第2课时 基本事实与定理
夯基础
1.下列命题是定理的是 ( )
A.内错角相等
B.同旁内角互补，两直线平行
C.一个角的余角不等于它本身
D.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
2.下列生活现象，可以用基本事实“两点之间线段最短”解释的是( )
A.用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B.开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道
C.植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D.建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙
3.下列语句中是基本事实的是 ( )
A.连接两点之间的线段叫作两点间的距离
B.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.若A,B,C 三点在同一直线上,且AB=2CB,则点 C 是线段AB 的中点
D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4.给出下列命题：
①能被3整除的数也能被6 整除
②等式两边除以同一个数，结果仍是等式
③x=5是一元一次方程 的根
④对顶角相等.
其中可以作为定理的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行.其依据是
6.如图,若 AB∥EF,AB∥CD.求证:∠2+∠3-∠1=180°(关键步骤要写理由).
练能力
7. 如图,CD 是五边形ABCDE 的一边,若AM 垂直平分CD,垂足为M,且 , ,则 .
给出下列信息:① AM 平分 ∠BAE;②AB=AE;③BC=DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明.
1 为什么要证明
1. D 2. C 3. A 4. D 5. C
6.解：(1)观察猜想得出的结论：圆M 比圆N 大,
验证：用重叠法比较，圆M 和圆N一样大；
(2)观察猜想得出的结论：l，m不是两条直线，
验证：用直尺比较，l，m是两条直线.
7.解:(1)能,
甲购买的座位号为5,3,1,2,4;
乙购买的座位号为6,8,10,12;
丙购买的座位号为7，9，11；
丁购买的座位号为13，15；
(2)根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2,4.
①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13,11,9,7,5.
若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8,10.
此时丁可选的座位号为12，14.
即在乙选完之后的顺序为甲、丙、丁；
若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6,8.
此时丙可选的座位号为10，12，14.
即在乙选完之后的顺序为甲、丁、丙；
②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9,7,5.
若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6,8,10,12,14.
此时丁可选的座位号为 13，11.
即在乙选完之后的顺序为丙、甲、丁；
若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6,8.
此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立；
③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7,5.
若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6,8,10,12,14.
此时丙可选的座位号为13，11，9.
即在乙选完之后的顺序为丁、甲、丙；
若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8,10.
此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立.
综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙.
2认识证明
第1 课时定义与命题
1. D 2. A 3. B 4. A 5. A
6.-1(答案不唯一)
7.如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零
8.0 - 2(答案不唯一)
9.解:(示例)①②③ ④
证明:因为AE=CF,
所以AF=CE,
又因为AD=CB,DF=BE,
所以△ADF≌△CBE(SSS),
所以∠A=∠C,
所以AD∥BC.
第2 课时基本事实与定理
1. B 2. B 3. D 4. A
5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
6.证明:∵AB∥EF,AB∥CD(已知),
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠3=∠CGE(两直线平行,内错角相等),
∴∠3-∠1=∠CGE-∠1=∠BGE(等式的性质)，
∵AB∥EG(已知),
∴∠2+∠BGE=180°(两直线平行,同旁内角互补)，
即∠2+∠3-∠1=180°.
7.证明：根据题意补全图形并连接AC，AD，如图所示：
(1)且②,③,则①:
∵AM 垂直平分CD,
∴CM=DM,AC=AD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，
在△ACM 与△ADM 中,
∴△ACM≌△ADM(SSS),
∴∠CAM=∠DAM,
在△ABC与△AED中,
∴△ABC≌△AED(SSS),
∴∠BAC=∠EAD.
又∵∠CAM=∠DAM,
∴∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM,即
∴AM平分∠BAE;
(2)且①,②,则③:
∵AM 垂直平分CD,
∴CM=DM,AC=AD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，
在△ACM与△ADM中,
∴△ACM≌△ADM(SSS),
∴∠CAM=∠DAM.
∵AM 平分∠BAE,
∴∠BAM=∠EAM.
又∵∠CAM=∠DAM,
∴∠BAM-∠CAM=∠EAM-∠DAM,
即∠BAC=∠EAD,
在△ABC 与△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴BC=DE.

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