资源简介

第十一章·三角形的证明及其应用
5 线段的垂直平分线
第 1 课时 线段垂直平分线
列清单·划重点
知识点① 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到
符号语言：如图，
∵点 P 在线段AB 的垂直平分线上，
∴ .
知识点② 线段垂直平分线的逆定理
在这条线段的垂直平分线上.
符号语言：如图，
∵PA=PB,
∴点 P 在线段AB 的垂直平分线上.
明考点·识方法
考点① 线段垂直平分线的性质定理
典例1已知：如图，在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线DE 分别交AB,AC于D,E.
(1)若 AC = 12,BC = 10,求△EBC 的周长；
(2)若∠A=40°,求∠EBC 的度数.
思路导析(1)由AB 的垂直平分线得AE=EB，则△EBC 的周长=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC,即可得解;
(2)由∠A =40°和AB=AC 以及三角形内角和求得∠ABC 的度数,由 AE = BE 得∠A =∠ABE=40°,进而求得∠EBC 的度数.
变式1 如图,AB=AC,AC 的垂直平分线交 AB 于 D,交 AC 于 E.若 AE = 5,△BCD 的周长为 17,则△ABC 的周长为 .
变式2 如图,在△ABC 中,AB=4,AC=8,EF 垂直平分线段 BC,点 P 是直线 EF上的任意一点，则△ABP 周长的最小值是 .
考点② 线段垂直平分线性质定理的逆定理
典例2 如图,在△ABC 中,边 AB,BC 的垂直平分线交于点 P，求证：点 P 在线段AC 的垂直平分线上.
思路导析由垂直平分线的性质得 AP=BP=CP，再由此进行判断即可.
变式1 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是BC 延长线上一点，E 是BD 的垂直平分线与 AB 的交点,DE 交 AC 于点 F.求证：点 E 在AF 的垂直平分线上.
变式2如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于E.
(1)若∠BAC=40°,求∠EDA 的度数;
(2)求证:直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
第2 课时 三角形的线段垂直平分线与尺规作图
列清单·划重点
知识点① 三角形三边垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到 .注意锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的内部，直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上，钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的外部.
知识点② 尺规作图
1.已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.
如图,已知线段 a,h,求作△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
步骤:①作线段 BC,使BC=a;
②作线段 BC 的垂直平分线l,交 BC 于点 D;
③在l上作线段DA,使DA=h;
④连接 AB,AC,得到△ABC 就是所要作的等腰三角形.
2.已知直线外一点，作直线的垂线
如图，已知直线 l 和l 外一点 P，求作 l的垂线，使它经过点 P.
步骤：①任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线l两旁；
②以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径画弧，交直线 l 于点 A 和点 B；
③分别以点 A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点 C；
④连接 PC,直线 PC 就是所要作的垂线.
第1课时 线段垂直平分线
【列清单·划重点】
知识点1 这条线段两个端点的距离相等PA=PB
知识点2 到一条线段两个端点距离相等的点【明考点·识方法】
典例1 解:(1)∵DE 是AB 的垂直平分线,∴AE=BE,
∴△EBC 的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10+12=22;
(2)∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=70°,又∵AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,
变式1 27
变式2 12
典例2 证明：∵边AB，BC 的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB,PB=PC,∴PA=PC,
∴点 P 在AC 的垂直平分线上.
变式1 证明:如图,过 E 作 EG⊥AC 于点G,
∵∠ACB=90°,
∴EG∥BD,
∴∠AEG=∠B,∠D=∠DEG.
∵E是BD 的垂直平分线与AB 的交点，
∴BE=DE,
∴∠B=∠D,
∴∠AEG=∠DEG.
在△AEG 与△FEG 中,∵∠AEG=∠FEG ,EG=EG ,∠AGE=∠FGE,
∴△AEG≌△FEG(ASA),
∴EA=EF,
∴点 E 在AF 的垂直平分线上.
变式 2 解:(1)∵∠BAC= 40°,AD 平分∠BAC,
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°,
(2)证明:∵DE⊥AB,∠ACB=90°,
∵AD平分∠BAC,
在△AED 和△ACD中,
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC.
∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥CE,AD 平分线段EC,
∴直线AD 是线段CE 的垂直平分线.
第2课时 三角形的线段垂直平分线与尺规作图
【列清单·划重点】
知识点1 三个顶点的距离相等
【明考点·识方法】
典例1 解：点O 在边BC 的垂直平分线上，理由如下:连接AO,BO,CO,
∵l 与l 是AB,AC 的垂直平分线,
∴AO=BO,CO=AO,∴OB=OC,
∴点O在边 BC 的垂直平分线上.
变式 三边垂直平分线交点处
典例2 解:(1)如图,DE 即为所求;
(2)证明:∵DE⊥BC,
∴∠DEB=∠DEC=90°,
∴∠B+∠BDE=90°,∠C+∠CFE=90°.
∵∠B=∠C,
∴∠BDE=∠CFE.
∵∠CFE=∠AFD,
∴∠BDE=∠AFD.
变式 1 解：如图，点 P 即为所求作.
变式2 解：如图，△ABC 即为所求作.

展开更多......

收起↑