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2026年初中学业水平模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.D 10.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
11. 12. 13. 14.（1）（2分）；（2）（3分，有错误或少一个答案均不给分）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分.）
15.解：原式= ………………………………………4分
= …………………………………………6分
= …………………………………………………………………8分
16.解：（1）如图， 即为所求， …………………………………………3分
（2）如图， 即为所求， ……………………………6分
（3）如图所示，点即为所求． ……………………………………………8分
缺少结论,每小题各扣一分.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分.）
17.解：设购买一个种机器人需要万元，则一个种机器人需要万元，
， ……………………………………………………………4分
解得：，
经检验是原方程的解， …………………………………………………6分
.
答：购买一个种机器人需20万元，一个种机器人需25万元. ……………8分
18.任务一：（1）（2）（3）（每空1分） …………………3分
任务二： …………………………………………………………………5分
任务三：原式=
． ………………………………………………………8分
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分.）
19.解：选择方案一：
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，，
答：雕塑的高度约为. ………………………………………10分
选择方案二：
，
，
，
，
，
，
，
解得.
答：雕塑的高度约为． …………………………………………10分
20. 解：（1）证明：如图所示，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∴∠B＝∠E，
∴AB＝AE ……………………………………………………5分
（2）解：如图所示，连接BF，
∵AB为直径，AC＝6，AB＝10，
∴∠ACB＝∠F＝90°，
∴
∵AB＝AE＝10，
∴EC＝BC＝8，
∴BE＝16，
∵，
∴，
，
解得 ………………………………………………10分
六、（本题满分12分）
21.解：（1） 100，35，补全条形统计图如图所示：
(
3D仿
真游戏
)
………………………………3分
（2）（名）. …………………………………………6分
答：估计“你最认可的‘deepseek新兴事物’”的总人数约为1200名. …7分
（3）列表格如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
由表格得，两位同学选的事物一样有2种等可能的结果，总共有12种等可能的结果，∴概率为：. ………………………………………12分
七、（本题满分12分）
22.解：【问题情境】 …………………………………………………1分
理由如下：
四边形是矩形，
，
，
在△中，，，
，即，
，
，
，
△△，
，
. …………………………………………………4分
【变式探究】如图，过点作于，则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
△△，
，
在△中，，，
，即，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
； …………………………………9分
【拓展应用】. ……………………………………………………………12分
八、（本题满分14分）
23. 解：（1）当，时，二次函数
，
∴此函数图象的对称轴为直线. ………………3分
（2）当时，二次函数
，
∴抛物线对称轴为直线
∵，
∴抛物线开口向上
∵在时，y随x的增大而减小，∴ ，即；
∵在时，y随x的增大而增大，∴，即，
∴. ……………………………………………………………7分
（3）若点，，均在该函数的图象上，
∵，
∴
∴
，
∴；
∵，
∴，
即，
∵，为两个不相等的实数，
∴，
∴ 解得. …………………………………………14分2026年初中学业水平模拟考试（一）
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卷的相应位置作答.）
1. 的倒数是
A． B． C． D．
2. 长度单位1纳米米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米. 25100纳米用科学记数法表示为
A． 米 B．米 C．米 D．米
3. 下列运算正确的是
A． B．
C． D．
4. 如图，该几何体的俯视图是
A. B．
C． D．
5. 如图，在中，，是边上的点，
将沿直线折叠，点的对应点恰好落在
边上．若，则
A． B．
C． D．
6. 若不等式组的解集为，则的值为
A． B．0 C．1 D．2
7. 有甲、乙两个品牌的新能源汽车，充满电均为80度，在
出厂测试时两车行驶x（km）和剩余电量y（度）的函数
图象如图所示，则图中a的值是
A. 16 B．
C．20 D．24
8. 已知实数满足，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
9. 如图，在□中，，若的长为4，的面积为8，则下列结论：
①；
②；
③四边形的面积为62；
④AD与BC之间的距离为14．
其中正确的是
A. ①②③ B．①③④ ... C. ①②④ D．①②③④
10. 如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随
时间t（s）变化的函数图象（图中MN为线段），当△BEF的面积为cm2时，运
动时间t为（　　）
A．s B．s C．s D．s或s
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 请在答题卷的相应位置作答.）
11. 若有意义，且点，在y关于x的函数的图象上，则
________．（填“＞”“＜”或“＝”）.
12. 对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：
．若，则的值为　 　．
13. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可
或缺的一部分.小金将二维码打印在对角线长为的正方形纸片
上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经
过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此
估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
14. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．现规定对于一个整数n，若它为正偶数，则它对
应的点的坐标为；若它为正奇数，则它对应的点的坐标为；若它为负偶数，则它对应的点的坐标为；若它为负奇数，则它对应的点的坐标为；若它为0，则对应的点为坐标原点．例如，，则它对应的点的
坐标为；，则它对应的点的坐标为．
（1）若，它对应的点为A，则点A的坐标为 ；
（2）若，它对应的点为B，若存在点C，使得，则点C对应的
整数m为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分. 请在答题卷的相应位置作答.）
15.
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出与关于y轴对称的；
（2）以原点O为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2，并
写出点的坐标；
（3）仅利用无刻度直尺在线段上找一点P，使得.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分. 请在答题卷的相应位置作答.）
17. 2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用800万元购进种机器人的数量是用500万元购进种机器人数量的2倍．求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元.
18. 项目式学习探究任务：“整式的规律密码”.
在一次数学项目式学习活动中，某探究小组接到任务：“发现并推导()与长多项式相乘的通用规律”.小组决定遵循“从特殊到一般”的探究思路，展开如下研究，请你协助完成。
任务一：特例入手，归纳特征
请计算以下三组特殊式子，观察结果特征，寻找规律：
（1）　 　；
（2）　 　；
（3）　 　．
任务二：猜想规律，建立模型
结合上述计算结果，大胆猜想：　 　．
任务三：模型应用，解决实际问题
请利用任务二得出的规律，计算求值：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分. 请在答题卷的相应位置作答.）
19. 中国南北分界线位于安徽省蚌埠市龙子湖畔，以淮河地理分界为基准，核心景观是“火凤凰·龙”青铜雕塑，其顶部红蓝双色球象征南北气候冷暖差异，青龙（北）、朱雀（南）对应地域文化．下表是某校九年级学生在测量该雕塑高度的活动中的记录单．
活动项目 测量南北分界线雕塑的高度
活动方案 方案一 方案二
测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺
方案 示意图
测量过程 ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②用测角仪测量从点C处观察雕塑顶点A的仰角； ③测量点C到地面的高度． ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②在线段上放置一个平面镜，调整平面镜E的位置，后退到点D使观测者刚好从镜中看到雕塑的顶点A； ③测量B，E两点和D，E两点间的距离； ④测量C到地面的高度．
活动数据 ，，，，，． ，，．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③由物理学知识可得．
请你从以上两种方案中任选其中一种，计算雕塑的高度．（结果精确到米）
20. 如图，以AB为直径的⊙O经过的顶点C，CD是⊙O的切线，过点A作CD的垂线AD，并延长AD，交BC的延长线于点E，延长DA，交⊙O于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求AF的长．
六、（本题满分12分. 请在答题卷的相应位置作答.）
21. 某数学小组在数学节对“你最认可的‘横空出世的新兴事物’”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出　 　，　 　；并补全条形统计图；
（2）若该校有3000名学生，请你估计“你最认可的‘deepseek新兴事物’”的总人数；
（3）已知A、B两位同学都选了“deepseek”，C同学选了“人形机器人”，D同学选了“3D仿真游戏”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学选的事物一样的概率．
七、（本题满分12分. 请在答题卷的相应位置作答.）
22. 【问题情境】
如图1，小明把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、边上，你发现线段与有什么数量关系？并说明理由.
【变式探究】
如图2，小明把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长．
【拓展应用】
如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使顶点
、、分别在、、边上，若，，则　
（不用证明）.
八、（本题满分14分. 请在答题卷的相应位置作答.）
23. 已知二次函数，其中,为两个不相等的实数.
（1）当、时，求此函数图象的对称轴；
（2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时
随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若点，，均在该函数的图象上，若常数满足：
，求的值．

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