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兰州市学府致远学校中考数学押题卷（三）
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的值是（　　）
A．5 B． C． D．
2．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）将代数式进行因式分解，结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　）
A． B． C． D．
第5题 第6题
6．（3分）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　）
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点
7．（3分）如图所示的两个五角星是位似图形，O是位似中心，位似比为点A，B的对应点分别为点，若，则的长为（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
第7题 第8题 第9题
8．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），则该函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
9.（3分）如图所示的是某班级一次数学考试成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（　　）
A．人数最少的得分段的频数为2 B．该班的总人数为40
C．得分在70分～80分的人数最多 D．得分及格（大于等于60）的有12人
10．（3分）第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B．C． D．
11．（3分）如图，某小区有一块菱形绿地ABCD，其中∠A＝60°，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧MNPQ，使点M，N，P，Q分别在边AB，BC，CD，AD上．记MN＝m，PN＝m，图中阴影
部分的面积为Sm ，当在一定范围内变化时，和S都随的变化而变化，则与，S与满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．（3分）因式分解： .
13．（3分）如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点D、E，连接，若，，则的长为 .
14．（3分）扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为55cm，所在小圆的半径为35cm，对应的圆心角为40°，则该餐盘的面积为 .cm 结果保留π）
第14题 第15题
15．（3分）在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是 .
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）．
17．（5分）解不等式组：．
18．（5分）化简求值，其中．
19．（7分）如图，反比例函数（k≠0）的图象经过点A（2，m）和点B（5，n），直线y＝x+b经过点A，C（﹣1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）连接AB，BC，求△ABC的面积．
20．（7分）项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务：
项目主题： 测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度
项目素材 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻太阳高度角（度）473522参考数据：，，
示意图
项目成果 “自律”小组 “自强”小组
下午时，在观测点C处测“大蘑菇”的影子．但因为“大蘑菇”周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子的长度． 下午时，从C向“大蘑菇”方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为．
项目任务 请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）．
项目任务：请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）．
21．（7分）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神．
如今，借助尺规来完成一道几何构造题：
如图，已知：△ABC，尺规作图得四边形DBEC．作图步骤如下：
①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
②作直线PQ交AC于点D，连接BD；
③以B为圆心，BD的长为半径作弧，交直线PQ于点E，连接CE，BE．
（1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形DBEC．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝16cm，则四边形DBEC的面积是 cm ．
22．（7分）“百度迁徙”是由百度提供的一个在线数据平台，旨在通过大数据分析展现用户人口迁徙、旅行、交通出行等相关活动趋势．
下面是通过“百度迁徙”查到的相关数据和统计图表．两个统计表分别反映9月29日进入青岛（入青）和离开青岛（离青）的人数分布情况，折线图统计图反映2023年部分时间入青规模指数的变化情况，数据显示9月29日从北京入青的人数约为11200人．（注：入青规模指数）
表1：9月29日入青人数分布情况
入青来源地 入青人数占比 排名
潍坊市 15.00% 1
烟台市 14.96% 2
济南市 11.58% 3
北京市 5.60% 4
威海市 4.82% 5
… … …
表2：9月29日离青人数分布情况
离青目的地 离青人数占比 排名
潍坊市 14.14% 1
烟台市 11.73% 2
临沂市 11.44% 3
日照市 7.07% 4
菏泽市 5.69% 5
… … …
根据以上信息回答下面的问题：
（1）求出9月29日入青规模指数，并补全折线统计图；
（2）根据表1的数据绘制扇形统计图，“潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为 ；
（3）下列说法正确的是 .（填序号）
①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图；
②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多；
③9月29日，从烟台入青的人数要比离青到烟台的人数多；
④9月29日，在青岛胶东机场随机调查1000名入青旅客，来自济南的约有116人．
23．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，点C为AB延长线上一点，AE⊥CF，垂足为E，AF平分∠EAC，AG＝BG，连接AG，BF．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若，AF＝8，求线段EF的长．
24．（8分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线上BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）如图，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
25.（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（3，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若二次函数的最大值为．
（i）求该二次函数的表达式；
（ii）若，为该二次函数图象上的不同两点，m≠0，且，求证：．
26．（9分）平面直角坐标系中，对于点A，直线（点A不在上）和⊙C，给出如下定义：若点A关于直线的对称点A′在⊙C上，则称点A是⊙C关于直线l的映像点，称线段AA′的长度为点A与⊙C的映像距离．
（1）如图，⊙O的半径为1，直线：y＝x+2．
①在点（﹣2，2），，（﹣2，1）中，点 是⊙O关于直线的映像点，该点与⊙O的映像距离为 .
②点B是⊙O关于直线的映像点，当点B与⊙O的映像距离最小时，点B的坐标为 ；
（2）已知点E（﹣2，﹣1），F（2，﹣1），点D在y轴的正半轴上且△DEF为等边三角形．点T（t，2），⊙T的半径为1．若△DEF上存在⊙T关于直线：y＝（k+1）x﹣2k的映像点，直接写出t的取值范围．兰州市学府致远学校中考数学押题卷（三）答案
一、选择题（每小题3分，共计33分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B D D D D C B D A C
二、填空题(每小题3分，共计12分）
12.2(m-1)2
13.18
14.200π
15.
三、解答题
16.．
解：
.....................................................................................................4分
...................................................................................................5分
17.
【详解】解：
解不等式①，得 .....................................................2分
解不等式②，得 ............................................................................4分
∴不等式组的解集为．...............................................................................5分
18..化简结果为，求值为
【详解】解：
...................................................2分
.....................................................3分
．..................................................................................................4分
当时，原式 ...................................................................................................5分
19.【详解】（1）解：（1）反比例函数（k≠0）的图象经过点A（2，m）和点B（5，n），直线y＝x+b经过点A，C（﹣1，2）．
将点C（﹣1，2）代入直线y＝x+b，得﹣1+b＝2，
∴b＝3，
∴一次函数的表达式为y＝x+3，...................................................................................................2分
把A（2，m）代入y＝x+3，得m＝5，
∴A（2，5），
把A（2，5）代入，得，...................................................................................................3分
∴k＝10，
∴反比例函数的表达式为．
综上所述：一次函数的表达式为y＝x+3，反比例函数的表达式为 ..................................4分
（2）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，交BC于点E，
∵点B（5，n）在反比例函数的图象上，
∴B（5，2）， ...................................................................................................................5分
∵C（﹣1，2），
∴BC∥x轴，BC＝5﹣（﹣1）＝6，
∴AE⊥BC，
∴EF＝2，即AE＝3 ...................................................................................................6分
∴． ...................................................................................................7分
20.解：约61米
详解：延长交于，则四边形为矩形，....................................................1分
∴，，
根据题意得，，，米，
∴， ...................................................................................................3分
设米，则,米，
∴........................................................................................4分
∴，
解得， ..................................................................................................5分
经检验：是原方程的根，
∴米， ................................................6分
答：“大蘑菇”的高度约为米． ................................................7分
21.【详解】（1）解：（1）尺规作图得四边形DBEC，如图1即为所求；
..........................................................................3分
（2）根据作图可得，PQ垂直平分BC，
∴BD＝CD，BE＝CE，
∵由作图得，BD＝BE，
∴BD＝CD＝BE＝CE，
∴四边形DBEC是菱形， ..........................................................................4分
在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝16cm，
由勾股定理得：BC8（cm），
如图2，BC与DE相交于点O，
∴BO＝COBC＝4（cm），
∵AC＝AD+CD＝AD+BD＝16cm，
∴AD＝16﹣BD， ..........................................................................5分
∵∠BAC＝90°，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，
∴82+（16﹣BD）2＝BD2，
∴BD＝10cm， ..........................................................................6分
由勾股定理得：OD2（cm），
∴四边形DBEC的面积80（cm2）． ..........................................................................7分
故答案为：80．
22.解：解：（1）∵9月29日从北京入青的人数约为11200人，
又∵由表1可知：北京市入青人数占比为5.60%，
∴9月29日总入青人数为：11200÷5.60%＝200000（人），.........................................1分
9月29日入青规模指数6.48；...............................................................2 分
补全折线统计图如图所示：
.............................................................................................................. 3分
（2）由表1可知：潍坊市入青人数占比15.00%∴潍坊市入青对应的扇形圆心角度数为：15.00%×360°＝54°；
“潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为54°；........................................................................5分
故答案为：54．
（3）答案为：①② .........................................................................7分
23.（1）证明：如图，连接OF，.........................................................................1分
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵AF平分∠EAC，
∴∠OAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠OFA，..................................................................................2分
∴OF∥AE，
∵AE⊥CF，
∴OF⊥CF，
∵OF是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；.............................................................................3分
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝∠AFB＝90°，
∵BG＝AG＝6，
∴AB12，
∴BF4，.................................................................5分
∵∠E＝∠AFB，∠EAF＝∠FAB，
∴△AEF∽△AFB，
∴，即，
解得：EF．....................................................................................7分
24.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，..........................................................1分
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），..........................................................................................2分
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；.....................................................................................................................3分
（2）解：线段AP与线段CE的数量关系是：AP＝CE，理由如下：.....................4分
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠FDE＝180﹣∠ADC＝60°，.................................................................................5分
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，∠PAD＝∠PCD，........................................................................................6分
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝∠PED，PC＝PE，
∴∠PED＝∠PCD，
在△DEF中，∠FDE+∠PED+∠DFE＝180°，
在△PCF中，∠FPC+∠PCD+∠PFC＝180°，
∴∠PED＝∠PCD，∠DFE＝∠PFC，
∴∠FPC＝∠FDE＝60°，............................................................................................7分
又∵PC＝PE，
∴△PEC是等边三角形，
∴CE＝PE＝PA ...........................................................................................................8分
25.解：（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（3，0），
∴9a+3b＝0，..................................................................................................................1分
∴b＝﹣3a．
∴，
∴该抛物线的对称轴为；...............................................................................2分
（2）（i）解：由（1）可得b＝﹣3a，
∴该函数的解析式为，
∴函数图象的顶点坐标为，..........................................3分
∵函数的最大值为，
∴a＜0，且，
解得a＝﹣1，或a＝4（舍去），..............................................................................4分
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x；..................................................................5分
（ii）证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x的图象上，
∴，.......................................................................................................6分
∵m≠0，
∴
，
∴x1+x2﹣3＝0，即x1+x2＝3，
不妨设x1＜x2，
∴，............................................................7分
∵该抛物线的对称轴为
∴m＝n ..........................................................................8分
26.(1)①；；② (2)或
解：①如图，作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点，
∵点关于直线的对称点在上，
∴点必定在上，即，
将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
∴点是关于直线的映像点，........................................................................................................1分
由图可知，点关于直线的对称点的坐标为，
∴映像距离；........................................................................................................2分
②由①可知，点在上，点在上，
∴，
∴，
∴当、、、四点共线时，最小，
如图，作，垂足为，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
在直角中，，，
∴，
，
∴点的坐标为；.................................................................................................6分
（2）解：点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为，
由①可知，点在上，
对于直线，当时，，
∴直线过定点，
设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵半径为，点在上，
∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上，
①当外圆与相切时，圆最小，即最小，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切于点，
∴，
∴，
∵，，，
∴轴，轴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴，即.......................................................................7分
②当内圆过点时，圆最大，即最大，如图，
由勾股定理可得，
∴，即，
综上所述，，.........................................................................................8分
∵，，
∴，
∴，
解得或．.............................................................................9分

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