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兰州市学府致远学校中考数学押题卷（二）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D C C A C D B D D C
二、填空题
12.
13.
14.
15.40
三、解答题
16.
【详解】解：
...................................................................................................4分
...................................................................................................5分
17.﹣7＜x≤1
【详解】解：解不等式3（x+1）≤2x+4得：x≤1，.....................................................2分
解不等式x+5得：x＞﹣7，...............................................................................4分
故原不等式组的解集为﹣7＜x≤1．...............................................................................5分
18.，
【详解】解：原式
． ...................................................................................................4分
当时，
原式． ...................................................................................................5分
19.【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
把，分别代入，得，
解得，...................................................................................................2分
∴直线的函数表达式为，...................................................................................................3分
把代入，得，
解得．
∴反比例函数的表达式为； ...................................................................................................4分
（2）解：如图，过点作轴于点，
∵，
∴．
设，
∵点是轴正半轴上一点，
∴， ...................................................................................................5分
∴，即．
解得． ...................................................................................................6分
∴点的坐标为． ...................................................................................................7分
20.解：（1）∵EA⊥AD于A，FB⊥AD于B，CD⊥AD于D，EG⊥CD于G，
∴四边形BAEF是矩形，四边形DAEG是矩形，
∴EF＝AB＝1，DG＝BF＝AE＝1.2．...................................................................................................1分
设CG＝x，CG＝EG＝x．
由三角函数可知，，即，
∴． ...................................................................................................3分
∵FG+EF＝EG＝CG，
∴， ...................................................................................................4分
解得x≈2.85， ...................................................................................................5分
∴CD＝CG+DG＝2.85+1.2＝4.05（米）．
答：青铜神树的高度CD为4.05米； ...................................................................................................6分
（2）误差为：4.05﹣3.96＝0.09≈0.1（米）．
减小误差的建议：多次测量平均值，可以减小误差．（答案不唯一）．................................................7分
21.【详解】（1）解：∵，
∴圆的半径等于长，即圆的半径为，
∴圆的面积为；..........................................................................1分
故答案为：；
（2）如图2，的理由是：
∵由作图可知，四边形是菱形，
∴．
设与交于点O，
∵是菱形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：菱形，． ..........................................................................3分
（3）如图所示，点即为所作；
..........................................................................5分
∵是矩形，
∴，
由作图可得，
∴，
设，则， ..........................................................................6分
根据勾股定理可得，即，
解得：，即． ..........................................................................7分
22.解：任务1：100，97.5 ..........................................................................2分
任务2：144° ..........................................................................4分
任务3：② ..........................................................................6分
任务4：∵甲、乙两款AI软件的平均数相同，而甲款AI软件的众数和中位数都大于乙款AI软件的众数和中位数，
∴甲款AI软件更优． ..........................................................................7分
23.（1）证明：如图，经过△ABC顶点A的⊙O与边BC相切于点C，AD为⊙O的直径，连接OC．
∴∠OCE+∠ECB＝∠OCD+∠OCA＝90°，
∴∠OCA＝∠ECB． ............................................................1分
∵AE∥BC，OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，∠ECB＝∠E， ............................................................2分
∴∠CAB＝∠E； ............................................................3分
（2）解：∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DCB． ............................................................4分
由（1）可知∠CAB＝∠E，
∴∠CAB＝∠DCB，
∴△ABC∽△CBD， ............................................................5分
∴．
∵OA＝OD，AD＝BD＝4，
∴AB＝8，OB＝6，OC＝2，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：，
∴，
则． ............................................................6分
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2+CD2，即，
解得：（负值舍去）． ............................................................7分
24.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠CBG＝90°，..........................................................................1分
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴∠AFB＝∠BGC＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠CBG，..........................................................................2分
在△BAF和△CBG中，
，
∴△BAF≌△CBG（AAS），..........................................................................3分
∴AF＝BG； ..........................................................................4分
（2）解：AD，DF之间的数量关系是：AD＝FD，证明如下：
过点D作DH⊥AF于点H，如图所示：
∵点F为BG的中点，
∴BG＝2BF，
由（1）可知：AF＝BG，
∴AF＝2BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAH＝90°， ..........................................................................5分
∵AF⊥BE，DH⊥AF，
∴∠AFB＝∠DHA＝90°，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠BAF＝∠ADH， ..........................................................................6分
在△ABF和△DAH中，
，
∴△ABF≌△DAH（AAS），
∴AH＝BF，
∴AF＝2BF＝2AH，
∴AH+FH＝2AH，
∴AH＝FH， ..........................................................................7分
又∵DH⊥AF，
∴DH是线段AF的垂直平分线，
∴AD＝FD． ..........................................................................8分
25.解：（1）由条件可知二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数的对称轴为，
∴，
∴； ..........................................................................2分
（2）（ⅰ）∵，
∴当时，二次函数的最值为，
∴二次函数图象开口向下，即a＜0， ..........................................................................3分
∵二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为，
∴，
化简得，a3﹣b2﹣2a＝0，
由（1）知，，
∴b＝﹣a， ..........................................................................4分
∴a3﹣a2﹣2a＝0，
∴a（a+1）（a﹣2）＝0， ..........................................................................5分
∴a+1＝0或a﹣2＝0，
∴a＝﹣1或a＝2（舍去），
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2； ..........................................................................6分
（ⅱ）∵M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，不妨设x1＜x2，
∴二次函数的对称轴为直线，
由（1）知，二次函数y＝﹣x2+x+2的对称轴为直线，
∴，，
∴x1+x2＝1， ..........................................................................7分
∵
＝0，
∴． ..........................................................................8分
26.（1）A；（2）或；（3）．
【详解】解：（1）∵,,C(-1,1)，
∴OA==1，OB==，OC==，
∴符合新定义的点是（1,0），
故答案为：A； ............................................................2分
（2）如图，直线与圆O相切是时，直线与圆有一个公共点，此时OG=OD=1，
根据直线的特点，知道直线与坐标轴构成等腰直角三角形，根据友好点的定义，只需将相切的直线沿着OD或OG向外平移一个单位长即可，分别到达E或H点，此时OE=2或OH=2，根据平移的性质，OE=EF=2，或OH=HM=2，根据勾股定理，得OM=OF=2，
∴b=2或b=-2； ............................................................6分
（3）如图，根据题意，得 ，x=，∴点F的坐标为（，）
由（2）可知DE=2=EF，∴DF=2，
当m>0时，得
解得：， ............................................................7分
同理可得，当m<0时，得 ，
解得：， ............................................................8分
综上所述，满足条件的m的取值范围是．................................................9分兰州市学府致远学校中考数学押题卷（二）
注意事项：
1.全卷120分，考试时间120分钟。
2.考生务必将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡相应位置。
4.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，哪个选项是无理数（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）自行车是中小学生上下学选择的代步工具，如图是某一型号自行车座垫与三脚架连接部分示意图，其中若，，则的度数是（　　）
第3题图 第4题图
A. B. C. D.
4．（3分）1.如图，在平面直角坐标系中，两个大小不一的图案是位似图形，原点O是位似中心，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点A的坐标是，，则点C的坐标为（　　）
A. B. C. D.
5．（3分）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（　　）
第5题图 第7题图 第8题图
A．1080° B．900° C．720° D．540°
6．（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（　　）
A． B． C．且 D．且
7．（3分）如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
8．（3分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
9．（3分）的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（ ）
第9题图 第10题图 第11题图
A． B． C． D．
10．（3分）如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点P和Q，则直线l的表达式为（　　）
A．y＝x+1 B． C．y＝2x+1 D．
11．（3分）线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至点A，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则S
与t，y与t满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．（3分）因式分解： .
13．（3分）从H2，CH4，CO2，O2四种气体中任意选择两种气体进行混合，则混合后能点燃的概率为　 　 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝6，AD＝4，则CF的长为
第14题图 第15题图
15．（3分）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留）
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：．
17．（5分）解不等式组：
18．（5分）先化简，再求值：，其中．
19．（7分）如图，反比例函数的图象与过点，的直线在第一象限相交于点．
（1）求直线与反比例函数的表达式．
（2）是轴正半轴上一点，连接，当时，求点的坐标．
20．（7分）三星堆文明是中国上古时期独特而灿烂的古蜀文明，其中一号青铜神树是全世界同时期体型最大的青铜器．某数学兴趣小组去了三星堆博物馆，想实际测量神树的高度，并以此为课题安排了一次名为“测量青铜神树的高度”的主题活动．
活动主题 测量青铜神树的高度
活动目的 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识
工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等
实物图和测量示意图
测量方案 如图②，他在A地用测角仪测得神树顶部C的仰角为45°，再向前走1米到达B地，再次用测角仪测得神树顶部C的仰角为57°，其中测角仪离地面1.2m，D为神树底部，点A，B，D在同一直线上，CD，BF，AE均垂直于地面，点E、F、G在同一直线上，EG⊥CD．
测量数据 AE＝1.2m，AB＝1m，∠CEG＝45°，∠CFG＝57°．
参考数据 sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54．
（1）求青铜神树的高度CD（结果精确到0.01）．
（2）通过查阅资料获知青铜神树的高度为3.96m，请计算本次测量结果的误差（结果精确到0.1m），并提出一条减小误差的合理化建议．
21．（7分）小嵊与小州两位八年级的同学结合尺规作图展开了以下探究：
素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，．
实践操作：小嵊利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线．
步骤如下：
①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点．
②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点．
③连结，则直线即为所作的直线的垂线．
问题解决：
（1）如图1，若，则所画圆的面积为________．
（2）如图2，的理由是：
∵由作图可知，四边形是________，
∴．
若，则________cm．
探究提升：
（3）小州认为以下问题也可以借助尺规作图解决：
如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点，并求出的长．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑）
22．（7分）某校随机抽取2综合与实践
【项目背景】近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：
A：98＜x≤100；B：96＜x≤98；C：94＜x≤96；D：92＜x≤94；E：90＜x≤92）
下面给出了部分信息：
甲款AI软件20名使用者打分为：
92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100．
乙款AI软件20名使用者打分在B等级的数据是：
97，97，98，98，98，98．
甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表
年级 平均数 众数 中位数
甲款AI软件 97.5 a 98
乙款AI软件 97.5 99 b
任务1：上述表中a＝ 　　 ；b＝ 　　 ；
【数据分析与运用】
任务2：求扇形统计图中A组所占网心角的度数．
任务3下列结论一定正确的是 　　 ．
①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款AI样本数据的满分一样多．
任务4根据甲、乙两款AI软件样本的特征数，试估计哪款AI更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
23．（7分）如图，经过△ABC顶点A的⊙O与边BC相切于点C，点O在边AB上，并与边AB交于点D，连接CD并延长到点E，连接AE，使得AE∥CB．
（1）求证：∠CAB＝∠E．
（2）若AD＝BD＝4，求AC的长．
24．（8分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C，D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G．
（1）如图1，求证：AF＝BG；
（2）如图2，若F为BG的中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明你的结论．
25.（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）．
（1）求的值；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为．
（i）求该二次函数的表达式；
（ii）若M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，求证：．
26．（9分）已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ=1,我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点．
（1）已知点 , ,C(-1,1)中, 与点O为一对友好点，
（2）已知O半径r=1，若直线与O有且只有一对友好点，求b的值；
（3）已知点,, D半径r=1，若直线y=x+m 与D是友好图形，求m的取值范围．兰州市学府致远学校2026年中考模拟卷
数学试卷答题卡（二）
一、选择题（共11题、每小题3分，共33分）
二、填空题（共4题、每小题3分，共12分）
三、解答题（共12题，共72分）
A
A
A
D
B
B
C
B
C
图1
图2
图3
y
木y
4
4
3
3
2
2
1
1
-4
-3
-2-1
0
12
4x-4
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
4
A
E
0
D
C
B
A
D
A
D
E
G
G
E
F
F
B
C
B
C
图1
图2
珠
B
0
x
A
C
G
E
D
B A
①
②

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