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黑龙江双鸭山市第一学2025-2026学年高二下学期4月月考
数学试卷
一、单选题
1．数列1，，，，，…的通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
2．记为等差数列的前n项和，若 则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．设数列满足，且，则（ ）
A．-2 B． C． D．
4．设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．3 D．2
6．设等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（ ）
A．1 B．2 C．6 D．7
8．已知数列满足，设，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
10．已知是公差为的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的最大值为
C．若，则 D．若，则
11．已知等差数列的公差为，其前n项和为，且，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题
12．将1到2026这2026个数中，能被3除余1且被5除余2的数从小到大排成一列构成数列，则________．
13．记为数列的前项和，若，则______．
14．已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______．
四、解答题
15．已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求的通项公式．
16．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
17．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
19．已知数列满足.
(1)求的前n项和；
(2)记数列的前n项和为，若．
（i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；
（ii）求数列的前n项和．
参考答案
1．A
2．B
3．D
4．C
5．C
6．C
7．C
8．C
9．AC
10．ACD
11．BD
12．52
13．
14．
15．（1）因为
所以 ,
则，
又.
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
（2）由（1）得，
所以．
16．（1）①，
当时②，
①-②得，
当时，，符合上式，
综上：，.
（2），
则
.
17．（1）因为数列的前项和，
所以时，，
当时，，
又也适合上式，
所以数列的通项公式为；
（2）由，
得，
，
作差得：
得：
得：．
18．（1）设甲超市前年总销售额为，第年销售额为，
则，
因为时，，
则时，，
故；
设乙超市第年销售额为，则，
时，，
，
显然时也符合，
所以.
（2）当时，，，有；
当时，，，有；
当时，，，故乙超市有可能被收购，
当，令，则，
整理得，
又当时，，故当且时，必有，
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购.
19．（1）当时，；
当时，，
显然满足上式，则.
（2）（i）由，
当时，，即；
当时，，则，
即，则，即，
所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，
则，即.
由（1）知，，
由（i）知，，
则
，
所以
.

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