资源简介

广东深圳市罗湖区深圳中学2025-2026学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（　　)
A．盈利200元和亏损200元 B．浪费 lt水和节约 lt水
C．进三个球和赢三场比赛 D．前进30m和后退30m
2．早在明朝，我国民间就有用了陀螺这种运动器材，它由一个圆柱和一个圆锥组成，如图所示的陀螺的俯视图是（　　)
A． B．
C． D．
3．一个不透明的袋子中装有红球10个，白球6个，黑球4个，从中随机摸出一个球.以下说法正确的是（　　)
A．摸出白球概率最小 B．摸出红球概率最大
C．不可能摸出黑球 D．可能摸出黄球
4．第七届国际数学教育大会（ICME)的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若则sin∠BOC 的值为（　　)
A． B． C．2 D．
5．下列运算正确的是（　　)
A． B．
C． D．
6．深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务。图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=45°，当∠MAC为（　　)度时， AM∥BE.
A．45 B．60 C．75 D．105
7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题为“良马与驽马发长安至齐”。若把一份文件用慢马送到 1800里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少4天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为 其中x表示（　　)
A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对
8．如图，四边形ABCD为正方形，延长CB 至点 E，使得 连接AE，过点 C作CH⊥AE 于点 H， 则. 的值为（　　)
A． B． C． D．
9．分解因式： 　 　.
10． 已知关于x的一元一次方程3x-ax+4a=0，当方程的解为x=1时，a的值为　 　.
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A 的坐标为（-2，1)，将正方形沿某一方向平移后点C1的坐标为（1，5)则点 A1的坐标为　 　.
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过顶点 D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF. 若点E为AC的中点， 的面积为2，则k的值为　 　.
13．如图， ⊙O直径AB=10， C为圆上一点， CD⊥AB于D （BD14．计算：
15．先化简，再求值： 其中
16． DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动。下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组： A： 60≤x<70， B： 70≤x<80， C： 80≤x<90， D： 90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为： 80， 81， 82， 82， 83， 84， 84， 84， 85， 85， 86， 86， 86， 87，87， 88， 88， 89， 89， 89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图： （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
17．【素材呈现】
在全球气候变暖的大背景下，二氧化碳排放量持续走高是亟需应对的重要难题，开展植树造林等绿化工作可以助力实现碳中和.根据相关统计结果，2棵成年的阔叶树种（例如杨树)和2棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收564千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树)和6棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收1520千克二氧化碳.
【问题解决】
（1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树)和每棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克
（2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克.
①求w与a的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的三分之一，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大.
18．足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁.图①是一次某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，PA，PB 是圆的切线，A，B为切点.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，延长BO交射线PA于点C，若PB=6，PC=10，请补全图形，并求OC的长.
19．综合与实践
一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务.
知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力)，设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标（x，y)，根据平抛运动的原理可知x，y与时间t（s)的关系为
方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为100cm，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： t（s) 123x（cm) 102030y（cm) -5-20-45
解决问题：
（1）根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度v=　 　cm/s，重力加速度
（2）写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了多少 cm
（3）若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L （cm)的取值范围.
20．在△ABC中， ，点D是边 BC上一点，连接AD，在AD右侧作△ADE，使DE=AD， ∠ADE=α，连接CE.
（1）【问题初探】
如图1，当α=90°时，请判断线段CE和线段BD的数量关系并给出证明；
小亮同学从α=90°时，△.1BC与△ADE均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证△ABD∽△ACE得到 从而得到结论；
小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段AB上截取BP=BD，连接DP，通过证明△APD≌△DCE，将线段CE转化为线段 PD；
①线段 CE和线段 BD的数量关系为 ▲ .
②请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比研究】
如图3，当90°<α<180°， AB=8， CD=5， AC=12，求CE的长；
（3）【拓展延伸】
如图4，当α=120°时，过点C作CF∥AB交AE于点F，若AB=6，CF=DF，求CD的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：A： 盈利200元和亏损200元是具有相反意义的量，所以A不符合题意；
B： 浪费 lt水和节约 lt水是具有相反意义的量，所以B不符合题意；
C： 进三个球和赢三场比赛不是具有相反意义的量，所以C符合题意；
D： 前进30m和后退30m是具有相反意义的量，所以C不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据具有相反意义的量的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 如图所示的陀螺的俯视图是 ：
故答案为：A.
【分析】根据几何体的三视图，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】概率的意义；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： P摸出红球=；P摸到白球=；P摸到黑球=，
A： 摸出黑球概率最小，所以A不正确；
B：摸出红球概率最大，所以B正确；
C：摸出黑球概率是，所以C不正确；
D：袋子中没有黄球，所以不可能摸到黄球，所以D不正确。
故答案为：B.
【分析】首先根据概率的定义，分别得出摸到红球，白球和黑球的概率，同时比较它们的大小，进而逐项进行判断，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在直角三角形OAB中，根据勾股定理可得：OB2=OA2+AB2=()2+12=4，
在直角三角形OBC中，可得出：OC=
∴sin∠BOC =.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得出OB2=OA2+AB2=（）2+12=4，进而根据勾股定理可得出OC=，再根据正弦的定义即可得出sin∠BOC =.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A ：，所以A不正确；
B：不是同类项，不能合并，所以B不正确；
C：，所以C不正确；
D：，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可得出A不正确；根据合并同类项法则可得出B不正确；根据同底数幂的成大可得出C不正确；根据积得乘方及幂的乘方可得出D正确。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵ AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACD=135°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ACB=75°，
当∠MAC=∠ACB=75°时， AM∥BE。
故答案为：C.
【分析】首先根据平行公理的推论得出AB∥CD，进而可得出∠ACD=135°，再根据∠BCD=60°，可得出∠MAC=∠ACB=75°。
7．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据快马的速度是慢马的2倍.即慢马的速度是快马速度的，可得方程：
所以该方程不正确。
故答案为：D.
【分析】根据快马的速度是慢马的2倍.即慢马的速度是快马速度的，可得方程：故而得出该方程有误。
8．【答案】A
【知识点】垂线的概念；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ CH⊥AE 于点 H，
∴∠CHE=90°，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=90°，
∴∠CHE=∠ABE，
∵∠B=∠B，
∴，
∴，
∵
设BE=a，
∴CE=3BE=3a，AB=CB=2BE=2a，
∴在直角三角形ABE中：AE=，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先根据AA可证得，可得出，再根据可得出CE=3BE=3a，AB=CB=2BE=2a，进而根据勾股定理可得出AE=，进而即可得出。
9．【答案】m(m+n)(m-n)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：m3-mn2=m（m2-n2）=m（m+n）（m-n）。
故答案为：m（m+n）（m-n）.
【分析】首先提公因式m，进而根据平方差公式，即可得出因式分解d结果。
10．【答案】- 1
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：把x=1代入原方程，得：3-a+4a=0，
解得：a=-1
故答案为：-1.
【分析】首先根据方程的解的意义，可得出3-a+4a=0，进而接关于a的方程，即可求得a的值。
11．【答案】(4，2)
【知识点】点的坐标；正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长为3，点A 的坐标为（-2，1)，
∴C（-5，4），
∵ C1的坐标为（1，5) ，
∴正方形ABCD先向右移动6个单位，再向上移动1个单位，
∵ 点A 的坐标为（-2，1)， ，
∴ 点 A1的坐标为 （4，2）。
故答案为：(4，2).
【分析】首先根据正方形的性质，求出点C（-5，4），再根据点C1的坐标，可得出正方形ABCD移动到正方形A1B1C1D1的方向和单位长度，进而根据点A的坐标，即可得出点A1的坐标。
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：设D（m，），
∵四边形ABCD是矩形，
∴E点的纵坐标为：，
∴点E的横坐标为：2m，
即点E（2m，），
∴点B的横坐标为：3m，
∴点F的横坐标为：3m，
∴点F的坐标为（3m，），
∴CF=，
∵的面积为2，
∴的面积为4，
∴，
解得：k=6
故答案为：6.
【分析】设D（m，），根据矩形的性质，可得出点E（2m，），进而得出点F的坐标为（3m，），再根据 点E为AC的中点，可得出的面积为4，进而根据三角形的面积计算公式，可得出，解方程即可得出k的值。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；线段的比；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OC，
∵ CD⊥AB于D （BD∴∠ODC=90°，
在直角三角形OCD中，根据勾股定理，可得出：OD=，
∴BD=5-3=2，
∵ CF：FD=1：2，
∴CF=，DF=，
∴BF=，
连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠BDF=90°，
∵∠ABE=∠DBF，
∴，
∴，
∴BE=，
∴EF=BE-BF=6-=，
∴BF ： EF=
故答案为：.
【分析】连接OC，根据勾股定理，可得出：OD=，进而得出BD=2，再根据 CF：FD=1：2， 可得出CF=，DF=，进而由勾股定理可得出BF=，连接AE，再根据AA可证得，可得出BE=，进而EF=BE-BF=6-=，进一步即可得出BF ： EF=。
14．【答案】解：
=3
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先根据零整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，以及实数的绝对值的性质进行化简，进而进行实数的混合运算，即可得出答案。
15．【答案】解：
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除混合运算；求代数式的值-直接代入求值；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算进行化简，进而再把 代入化简后的式子，再进行二次根式的化简即可。
16．【答案】解：(1) 50；83.5；144°；
(2)B组的人数为：50×30%=15（人），并补全频数分布直方图如下：
（3）1200×=720（人）
答： 估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；
（4）画树状图如下图所示：
由树状图可知.共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，所以所选的两位同学恰为甲和丙的概率为：P=。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，
∴本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
根据C，D组的人数和为20+10=30，可得出中位数在C组，根据C组的成绩，可得出中位数为：；
C组对应的圆心角为：360°×
故答案为：50；83.5；144°；
【分析】（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，进而即可得出本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
（2）首先根据抽取学生人数及B组所占的比例，可得出B组的人数，进而补全频数分布直方图即可；
（3）用样本中成绩不低于80分的人数所占的比例，估计总体，即可得出 全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数 ；
（4）首先画树状图进行分析，可得出共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：设每棵成年的阔叶树种(例如杨树)每年大约吸收的二氧化碳x千克，每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳y千克，
根据题意得
解得
答：每棵成年的阔叶树种(例如杨树)每年大约吸收的二氧化碳172千克，每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳110千克；
（2）解： ①由题意得， w=172a+110(100-a)
=172a+11000-110a
=62a+11000；
②由题意得
解得a≤25，
由①得， w=62a+11000，
∵w随a的增大而增大，
∴当a=25时， w有最大，
100-25 =75(棵)，
答：采购杨树25棵、冷杉75棵一年内吸收的二氧化碳总量最大.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每棵成年的阔叶树种(例如杨树)每年大约吸收的二氧化碳x千克，每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳y千克，根据“ 2棵成年的阔叶树种（例如杨树)和2棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收564千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树)和6棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收1520千克二氧化碳.”即可得出方程组进而解方程组即可；
（2）①由（1）的结果可知每棵成年的阔叶树种(例如杨树)每年大约吸收的二氧化碳172千克，每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳110千克；即可得出w=172a+110(100-a)；
②根据 采购杨树的棵数不超过冷杉的三分之一， 可得出解得a≤25， 进而根据一次函数的增减性，即可得出答案。
18．【答案】（1）解：点O如图所示：
（2）解：连接AO，如图所示
∵PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
∴∠CBP = 90°， ∠OAC =90°， PA = PB =6，
则AC = PC-PA = 4，
在 Rt△BCP中，由勾股定理得
设OC=x， 则BO=OA=8-x，
在 Rt△AOC中，由勾股定理得出(
即
解得x=5，
∴OC =5.
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AB，再作线段AB的中垂线，交圆与另一侧于点D，连接BD，并作BD的中垂线，与AB的中垂线相较于一点，即为所求作的这个圆的圆心O；
（2）首先根据题意补全图形，进而根据切线长定理可得出 PA = PB =6， 进而得出AC = PC-PA = 4，再根据勾股定理可得出然后设OC=x， 则BO=OA=8-x，进而在在 Rt△AOC中，由勾股定理得出( 即 解方程即可得出答案。
19．【答案】（1）10，10
（2）解：由（1）知：x=10t，y=-5t2，
∴t=，
∴y=-5×=；
∴当y=-80时，
解得x=±40 (舍负)，
∴当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了40cm；
（3）解：∵桌面高度为100cm，正方体纸箱高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-(100-20)=-80时进入纸箱.
∵将y=-80代入 中，
解得x1=40， x2=-40 (不合题意，舍去).
∵正方体纸箱高度为20cm，则它的长与宽也是20cm，
∴纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为40-20=20(cm).
∴L的取值范围为20【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）把（1，10）代入x=vt中，可得：10=v×1，
∴v=10；
把（1，-5）代入y=2中，可得出：-5=，
∴g=10
故答案为：10，10；
【分析】(1)根据表格中的数据，代入相应关系式，即可得出答案；
（2）首先得出y=-，进而求出当y=-80时x的值即可；
（3）桌面高度为100cm，正方体纸箱高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-(100-20)=-80时进入纸箱.根据关系是可得出x的值x=40，进而即可得出答案。
20．【答案】（1）解：
②证明：方法一：
∵AB = BC，AD = DE，∠ABC = 90°，∵∠ABC =∠ADE = 90°，∴△ABC ∽△ADE，∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，∴∠BAD =∠CAE，又∴△ABD ∽△ACE，∴∠ACE =∠ABC = 90°，即
方法二：如图，
在AB上截取PB = BD，∴∠BPD =∠BDP = 45°， PD =BD.∴∠APD = 135°，DP =BD.∵AB = BC，∴AP = CD，∵∠ADE =90°，∴∠CDE+∠ADB =90°，∵∠B =90°，∴∠PAD +∠ADB = 90°，∴∠PAD =∠CDE，又∵AD=DE，∴△PAD ≌△CDE(SAS)，∴CE=DP，
（2）∵BC=AB=8，CD=5，
∴BD=3，
∵AB = BC，AD = DE，
∵∠ABC =∠ADE，
∴△ABC ∽△ADE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD =∠CAE，又
∴△ABD ∽△ACE，
∴∠ACE =∠ABD，
（3）解：如图，
过点A作AM⊥CB，交CB的延长线于点M，
∵∠ABC = 120°，
∴∠ABM = 180°-∠ABC = 60°，
在Rt△AMB中， AB = 6，
∵AB = BC = 6，AD = DE，
∵∠ABC =∠ADE = 120°，
∴∠BAC =∠ACB = 30°，AC = 6
∴△ABC ∽△ADE，
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD =∠CAE，又
∴△ABD ∽△ACE，
∴∠ACE =∠ABD = 120°，∠ADB =∠AEC，
设CD =x，则BD = 6-x，
∵CF∥AB，
∴∠FCD =∠ABM = 60°，
∴∠ACF =∠FCD-∠ACB = 60°-30°=30°，
∴∠FCE =∠ACE-∠ACF = 120°-30°= 90°，
在△ADM和△FEC中， ∠AMB =∠FCE = 90°， ∠ADM =∠FEC，
∴△ADM ∽△FEC，
∵DM =BD+BM = 9-x，CF =x，
解得：
∵CD<6
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）方法一：首先根据SAS可证得△ABC ∽△ADE，可得出进而可得出∠BAD =∠CAE，又即可得出△ABD ∽△ACE，即可得出即；
方法二：在AB上截取PB = BD，进而根据SAS可证明△PAD ≌△CDE，得出CE=DP，即可得出
（2）首先证明△ABC ∽△ADE，得出进而可得出∠BAD =∠CAE，又 可得出△ABD ∽△ACE，可得出进而即可得出CE的长；
（3）过点A作AM⊥CB，交CB的延长线于点M，首先得出△ABC ∽△ADE，可得出进而可得出∠BAD =∠CAE，又 可得出△ABD ∽△ACE，得出设CD =x，则BD = 6-x，即可得出进而通过证明△ADM ∽△FEC，得出进而得出解方程求解，即可得出CD的值。
1 / 1广东深圳市罗湖区深圳中学2025-2026学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（　　)
A．盈利200元和亏损200元 B．浪费 lt水和节约 lt水
C．进三个球和赢三场比赛 D．前进30m和后退30m
【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：A： 盈利200元和亏损200元是具有相反意义的量，所以A不符合题意；
B： 浪费 lt水和节约 lt水是具有相反意义的量，所以B不符合题意；
C： 进三个球和赢三场比赛不是具有相反意义的量，所以C符合题意；
D： 前进30m和后退30m是具有相反意义的量，所以C不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据具有相反意义的量的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．早在明朝，我国民间就有用了陀螺这种运动器材，它由一个圆柱和一个圆锥组成，如图所示的陀螺的俯视图是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 如图所示的陀螺的俯视图是 ：
故答案为：A.
【分析】根据几何体的三视图，即可得出答案。
3．一个不透明的袋子中装有红球10个，白球6个，黑球4个，从中随机摸出一个球.以下说法正确的是（　　)
A．摸出白球概率最小 B．摸出红球概率最大
C．不可能摸出黑球 D．可能摸出黄球
【答案】B
【知识点】概率的意义；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： P摸出红球=；P摸到白球=；P摸到黑球=，
A： 摸出黑球概率最小，所以A不正确；
B：摸出红球概率最大，所以B正确；
C：摸出黑球概率是，所以C不正确；
D：袋子中没有黄球，所以不可能摸到黄球，所以D不正确。
故答案为：B.
【分析】首先根据概率的定义，分别得出摸到红球，白球和黑球的概率，同时比较它们的大小，进而逐项进行判断，即可得出答案。
4．第七届国际数学教育大会（ICME)的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若则sin∠BOC 的值为（　　)
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在直角三角形OAB中，根据勾股定理可得：OB2=OA2+AB2=()2+12=4，
在直角三角形OBC中，可得出：OC=
∴sin∠BOC =.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得出OB2=OA2+AB2=（）2+12=4，进而根据勾股定理可得出OC=，再根据正弦的定义即可得出sin∠BOC =.
5．下列运算正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A ：，所以A不正确；
B：不是同类项，不能合并，所以B不正确；
C：，所以C不正确；
D：，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可得出A不正确；根据合并同类项法则可得出B不正确；根据同底数幂的成大可得出C不正确；根据积得乘方及幂的乘方可得出D正确。
6．深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务。图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=45°，当∠MAC为（　　)度时， AM∥BE.
A．45 B．60 C．75 D．105
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵ AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACD=135°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ACB=75°，
当∠MAC=∠ACB=75°时， AM∥BE。
故答案为：C.
【分析】首先根据平行公理的推论得出AB∥CD，进而可得出∠ACD=135°，再根据∠BCD=60°，可得出∠MAC=∠ACB=75°。
7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题为“良马与驽马发长安至齐”。若把一份文件用慢马送到 1800里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少4天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为 其中x表示（　　)
A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据快马的速度是慢马的2倍.即慢马的速度是快马速度的，可得方程：
所以该方程不正确。
故答案为：D.
【分析】根据快马的速度是慢马的2倍.即慢马的速度是快马速度的，可得方程：故而得出该方程有误。
8．如图，四边形ABCD为正方形，延长CB 至点 E，使得 连接AE，过点 C作CH⊥AE 于点 H， 则. 的值为（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ CH⊥AE 于点 H，
∴∠CHE=90°，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=90°，
∴∠CHE=∠ABE，
∵∠B=∠B，
∴，
∴，
∵
设BE=a，
∴CE=3BE=3a，AB=CB=2BE=2a，
∴在直角三角形ABE中：AE=，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先根据AA可证得，可得出，再根据可得出CE=3BE=3a，AB=CB=2BE=2a，进而根据勾股定理可得出AE=，进而即可得出。
9．分解因式： 　 　.
【答案】m(m+n)(m-n)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：m3-mn2=m（m2-n2）=m（m+n）（m-n）。
故答案为：m（m+n）（m-n）.
【分析】首先提公因式m，进而根据平方差公式，即可得出因式分解d结果。
10． 已知关于x的一元一次方程3x-ax+4a=0，当方程的解为x=1时，a的值为　 　.
【答案】- 1
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：把x=1代入原方程，得：3-a+4a=0，
解得：a=-1
故答案为：-1.
【分析】首先根据方程的解的意义，可得出3-a+4a=0，进而接关于a的方程，即可求得a的值。
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A 的坐标为（-2，1)，将正方形沿某一方向平移后点C1的坐标为（1，5)则点 A1的坐标为　 　.
【答案】(4，2)
【知识点】点的坐标；正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长为3，点A 的坐标为（-2，1)，
∴C（-5，4），
∵ C1的坐标为（1，5) ，
∴正方形ABCD先向右移动6个单位，再向上移动1个单位，
∵ 点A 的坐标为（-2，1)， ，
∴ 点 A1的坐标为 （4，2）。
故答案为：(4，2).
【分析】首先根据正方形的性质，求出点C（-5，4），再根据点C1的坐标，可得出正方形ABCD移动到正方形A1B1C1D1的方向和单位长度，进而根据点A的坐标，即可得出点A1的坐标。
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过顶点 D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF. 若点E为AC的中点， 的面积为2，则k的值为　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：设D（m，），
∵四边形ABCD是矩形，
∴E点的纵坐标为：，
∴点E的横坐标为：2m，
即点E（2m，），
∴点B的横坐标为：3m，
∴点F的横坐标为：3m，
∴点F的坐标为（3m，），
∴CF=，
∵的面积为2，
∴的面积为4，
∴，
解得：k=6
故答案为：6.
【分析】设D（m，），根据矩形的性质，可得出点E（2m，），进而得出点F的坐标为（3m，），再根据 点E为AC的中点，可得出的面积为4，进而根据三角形的面积计算公式，可得出，解方程即可得出k的值。
13．如图， ⊙O直径AB=10， C为圆上一点， CD⊥AB于D （BD【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；线段的比；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OC，
∵ CD⊥AB于D （BD∴∠ODC=90°，
在直角三角形OCD中，根据勾股定理，可得出：OD=，
∴BD=5-3=2，
∵ CF：FD=1：2，
∴CF=，DF=，
∴BF=，
连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠BDF=90°，
∵∠ABE=∠DBF，
∴，
∴，
∴BE=，
∴EF=BE-BF=6-=，
∴BF ： EF=
故答案为：.
【分析】连接OC，根据勾股定理，可得出：OD=，进而得出BD=2，再根据 CF：FD=1：2， 可得出CF=，DF=，进而由勾股定理可得出BF=，连接AE，再根据AA可证得，可得出BE=，进而EF=BE-BF=6-=，进一步即可得出BF ： EF=。
14．计算：
【答案】解：
=3
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先根据零整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，以及实数的绝对值的性质进行化简，进而进行实数的混合运算，即可得出答案。
15．先化简，再求值： 其中
【答案】解：
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除混合运算；求代数式的值-直接代入求值；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算进行化简，进而再把 代入化简后的式子，再进行二次根式的化简即可。
16． DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动。下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组： A： 60≤x<70， B： 70≤x<80， C： 80≤x<90， D： 90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为： 80， 81， 82， 82， 83， 84， 84， 84， 85， 85， 86， 86， 86， 87，87， 88， 88， 89， 89， 89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图： （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
【答案】解：(1) 50；83.5；144°；
(2)B组的人数为：50×30%=15（人），并补全频数分布直方图如下：
（3）1200×=720（人）
答： 估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；
（4）画树状图如下图所示：
由树状图可知.共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，所以所选的两位同学恰为甲和丙的概率为：P=。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，
∴本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
根据C，D组的人数和为20+10=30，可得出中位数在C组，根据C组的成绩，可得出中位数为：；
C组对应的圆心角为：360°×
故答案为：50；83.5；144°；
【分析】（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，进而即可得出本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
（2）首先根据抽取学生人数及B组所占的比例，可得出B组的人数，进而补全频数分布直方图即可；
（3）用样本中成绩不低于80分的人数所占的比例，估计总体，即可得出 全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数 ；
（4）首先画树状图进行分析，可得出共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
17．【素材呈现】
在全球气候变暖的大背景下，二氧化碳排放量持续走高是亟需应对的重要难题，开展植树造林等绿化工作可以助力实现碳中和.根据相关统计结果，2棵成年的阔叶树种（例如杨树)和2棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收564千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树)和6棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收1520千克二氧化碳.
【问题解决】
（1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树)和每棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克
（2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克.
①求w与a的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的三分之一，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大.
【答案】（1）解：设每棵成年的阔叶树种(例如杨树)每年大约吸收的二氧化碳x千克，每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳y千克，
根据题意得
解得
答：每棵成年的阔叶树种(例如杨树)每年大约吸收的二氧化碳172千克，每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳110千克；
（2）解： ①由题意得， w=172a+110(100-a)
=172a+11000-110a
=62a+11000；
②由题意得
解得a≤25，
由①得， w=62a+11000，
∵w随a的增大而增大，
∴当a=25时， w有最大，
100-25 =75(棵)，
答：采购杨树25棵、冷杉75棵一年内吸收的二氧化碳总量最大.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每棵成年的阔叶树种(例如杨树)每年大约吸收的二氧化碳x千克，每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳y千克，根据“ 2棵成年的阔叶树种（例如杨树)和2棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收564千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树)和6棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收1520千克二氧化碳.”即可得出方程组进而解方程组即可；
（2）①由（1）的结果可知每棵成年的阔叶树种(例如杨树)每年大约吸收的二氧化碳172千克，每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳110千克；即可得出w=172a+110(100-a)；
②根据 采购杨树的棵数不超过冷杉的三分之一， 可得出解得a≤25， 进而根据一次函数的增减性，即可得出答案。
18．足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁.图①是一次某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，PA，PB 是圆的切线，A，B为切点.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，延长BO交射线PA于点C，若PB=6，PC=10，请补全图形，并求OC的长.
【答案】（1）解：点O如图所示：
（2）解：连接AO，如图所示
∵PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
∴∠CBP = 90°， ∠OAC =90°， PA = PB =6，
则AC = PC-PA = 4，
在 Rt△BCP中，由勾股定理得
设OC=x， 则BO=OA=8-x，
在 Rt△AOC中，由勾股定理得出(
即
解得x=5，
∴OC =5.
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AB，再作线段AB的中垂线，交圆与另一侧于点D，连接BD，并作BD的中垂线，与AB的中垂线相较于一点，即为所求作的这个圆的圆心O；
（2）首先根据题意补全图形，进而根据切线长定理可得出 PA = PB =6， 进而得出AC = PC-PA = 4，再根据勾股定理可得出然后设OC=x， 则BO=OA=8-x，进而在在 Rt△AOC中，由勾股定理得出( 即 解方程即可得出答案。
19．综合与实践
一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务.
知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力)，设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标（x，y)，根据平抛运动的原理可知x，y与时间t（s)的关系为
方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为100cm，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： t（s) 123x（cm) 102030y（cm) -5-20-45
解决问题：
（1）根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度v=　 　cm/s，重力加速度
（2）写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了多少 cm
（3）若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L （cm)的取值范围.
【答案】（1）10，10
（2）解：由（1）知：x=10t，y=-5t2，
∴t=，
∴y=-5×=；
∴当y=-80时，
解得x=±40 (舍负)，
∴当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了40cm；
（3）解：∵桌面高度为100cm，正方体纸箱高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-(100-20)=-80时进入纸箱.
∵将y=-80代入 中，
解得x1=40， x2=-40 (不合题意，舍去).
∵正方体纸箱高度为20cm，则它的长与宽也是20cm，
∴纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为40-20=20(cm).
∴L的取值范围为20【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）把（1，10）代入x=vt中，可得：10=v×1，
∴v=10；
把（1，-5）代入y=2中，可得出：-5=，
∴g=10
故答案为：10，10；
【分析】(1)根据表格中的数据，代入相应关系式，即可得出答案；
（2）首先得出y=-，进而求出当y=-80时x的值即可；
（3）桌面高度为100cm，正方体纸箱高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-(100-20)=-80时进入纸箱.根据关系是可得出x的值x=40，进而即可得出答案。
20．在△ABC中， ，点D是边 BC上一点，连接AD，在AD右侧作△ADE，使DE=AD， ∠ADE=α，连接CE.
（1）【问题初探】
如图1，当α=90°时，请判断线段CE和线段BD的数量关系并给出证明；
小亮同学从α=90°时，△.1BC与△ADE均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证△ABD∽△ACE得到 从而得到结论；
小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段AB上截取BP=BD，连接DP，通过证明△APD≌△DCE，将线段CE转化为线段 PD；
①线段 CE和线段 BD的数量关系为 ▲ .
②请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比研究】
如图3，当90°<α<180°， AB=8， CD=5， AC=12，求CE的长；
（3）【拓展延伸】
如图4，当α=120°时，过点C作CF∥AB交AE于点F，若AB=6，CF=DF，求CD的长.
【答案】（1）解：
②证明：方法一：
∵AB = BC，AD = DE，∠ABC = 90°，∵∠ABC =∠ADE = 90°，∴△ABC ∽△ADE，∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，∴∠BAD =∠CAE，又∴△ABD ∽△ACE，∴∠ACE =∠ABC = 90°，即
方法二：如图，
在AB上截取PB = BD，∴∠BPD =∠BDP = 45°， PD =BD.∴∠APD = 135°，DP =BD.∵AB = BC，∴AP = CD，∵∠ADE =90°，∴∠CDE+∠ADB =90°，∵∠B =90°，∴∠PAD +∠ADB = 90°，∴∠PAD =∠CDE，又∵AD=DE，∴△PAD ≌△CDE(SAS)，∴CE=DP，
（2）∵BC=AB=8，CD=5，
∴BD=3，
∵AB = BC，AD = DE，
∵∠ABC =∠ADE，
∴△ABC ∽△ADE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD =∠CAE，又
∴△ABD ∽△ACE，
∴∠ACE =∠ABD，
（3）解：如图，
过点A作AM⊥CB，交CB的延长线于点M，
∵∠ABC = 120°，
∴∠ABM = 180°-∠ABC = 60°，
在Rt△AMB中， AB = 6，
∵AB = BC = 6，AD = DE，
∵∠ABC =∠ADE = 120°，
∴∠BAC =∠ACB = 30°，AC = 6
∴△ABC ∽△ADE，
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD =∠CAE，又
∴△ABD ∽△ACE，
∴∠ACE =∠ABD = 120°，∠ADB =∠AEC，
设CD =x，则BD = 6-x，
∵CF∥AB，
∴∠FCD =∠ABM = 60°，
∴∠ACF =∠FCD-∠ACB = 60°-30°=30°，
∴∠FCE =∠ACE-∠ACF = 120°-30°= 90°，
在△ADM和△FEC中， ∠AMB =∠FCE = 90°， ∠ADM =∠FEC，
∴△ADM ∽△FEC，
∵DM =BD+BM = 9-x，CF =x，
解得：
∵CD<6
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）方法一：首先根据SAS可证得△ABC ∽△ADE，可得出进而可得出∠BAD =∠CAE，又即可得出△ABD ∽△ACE，即可得出即；
方法二：在AB上截取PB = BD，进而根据SAS可证明△PAD ≌△CDE，得出CE=DP，即可得出
（2）首先证明△ABC ∽△ADE，得出进而可得出∠BAD =∠CAE，又 可得出△ABD ∽△ACE，可得出进而即可得出CE的长；
（3）过点A作AM⊥CB，交CB的延长线于点M，首先得出△ABC ∽△ADE，可得出进而可得出∠BAD =∠CAE，又 可得出△ABD ∽△ACE，得出设CD =x，则BD = 6-x，即可得出进而通过证明△ADM ∽△FEC，得出进而得出解方程求解，即可得出CD的值。
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