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2026年高考最后阶段冲刺训练 11三角函数与解三角形（详解版）
训练要点：①平面向量的基本概念；②平面向量的线性运算；③平面向量的基本定理及坐标运算；④平面向量的数量积；⑤平面向量与其他知识点的综合运用.
一、单选题
1．（2026·云南昆明·二模）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【详解】因为，
所以.
2．（2026·江苏·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先移项得出，再两边平方可求，利用数量积的定义求结论即可.
【详解】因为，所以，即，
又，
即，，故.
3．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解,
【详解】因为，所以，
即，
又因为向量均为单位向量，且向量夹角为，
所以，即.
4．（2026·江西上饶·二模）已知向量，，若，则（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再求即可．
【详解】解：，，，
又，，
解得，．
5．（2026·广东深圳·二模）已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ）
A．4 B．16 C．1 D．3
【答案】A
【详解】由题设，则，
由，则.
6．（2026·安徽·三模）已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用向量夹角公式及向量夹角的范围，求出与的夹角为锐角的充要条件，再结合条件，即可求解.
【详解】因为，
则，
由与的夹角为锐角，可得，解得且，
则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件．
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意可知：，
则向量减法的三角形法则，可得：，
又因为，，所以.
8．（2026·河北衡水·模拟预测）已知向量，，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】向量，，
则，，
故当时，的最小值为1.
9．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项.
【详解】若，则存在非零实数，使得，
此时：，
因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立，
若，当时，；
当时，存在实数，使得：
整理得：，
所以，若，则，即；
若，则，与为非零向量矛盾，
因此，必要性成立;
综上“”是“”的充要条件.
10．（2026·湖南邵阳·二模）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ）
A． B．9 C．15 D．20
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得的面积，依题意求出的值，利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】因，则，
则，于是，
，和的面积分别为1，，，
，，，
，
当且仅当时，即，等号成立，
的最小值是.
二、多选题
11．（2026·陕西安康·三模）已知向量，则（ ）
A． B．
C．可以用线性表示 D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【详解】因为，所以不垂直，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，所以不共线，所以可以用线性表示，故C正确；
在上的投影向量为，故D正确．
12．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据平面向量基本运算的坐标表示，逐项判断即可.
【详解】对于A选项，向量，，所以，故A正确；
对于B选项，因为，所以，故B正确；
对于C选项，向量，，所以，
又，所以与不共线，故C错误；
对于D选项，因为，，所以，
所以，故D正确.
综上所述，选项ABD均正确.
13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【分析】对于A，由条件求得，由判断；对于B，由向量的模的坐标公式可得；对于C，由向量夹角的坐标公式计算即得；对于D，根据投影向量定义计算即得.
【详解】，
选项A：因，故，故A正确；
选项B：，故，故B正确；
选项C：，故C错误；
选项D：设向量在上的投影向量为，
则，故D正确.
14．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】BCD
【详解】以为原点，分别为轴建立直角坐标系，
则，设，
，
所以，
又，当时取得最小值为，
因为，所以，
当时取得最大值为，
则的取值范围为，选项BCD符合.
三、填空题
15．（2026·陕西商洛·模拟预测）在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______.
【答案】7
【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积及二次函数性质求解即可.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，设（），
则，，
所以.
当时，取得最小值7.
16．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________.
【答案】
【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解.
【详解】设中点为 ，则 ，所以 .
得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离，
因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ，
设点 到直线 的距离为 ，
则：，
所以 .
又因为 ，所以 .
综上， 的最小值为 .
17．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可.
【详解】，，
因为，所以，
解得．所以，，
所以在方向上的投影向量的坐标为．
18．（2026·四川泸州·模拟预测）已知向量，，若且与方向相同，则____________
【答案】
【分析】根据题中条件，先设，再由向量模的坐标表示，根据向量的模列出方程求出参数，即可得出结果.
【详解】因为向量，且与方向相同，
所以，因为，所以，
解得，因为，所以
所以
四、解答题
19．（2026·重庆·二模）已知向量，，且，.
(1)求的值；
(2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量点积公式列方程，用辅助角公式化简为单一三角函数，结合的取值范围求解；
（2）结合三角形内角和，用正弦定理将边的比转化为角的正弦比，再用三角恒等变换化简，最后求三角函数值域.
【详解】（1）根据向量点积公式：，
用辅助角公式化简：，即.
已知，故，则，
解得.
（2）已知，故，即 ，.
根据正弦定理，得，
代入，化简得
，
因此：.
由得，故，代入得.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考最后阶段冲刺训练 11三角函数与解三角形（学生版）
训练要点：①平面向量的基本概念；②平面向量的线性运算；③平面向量的基本定理及坐标运算；④平面向量的数量积；⑤平面向量与其他知识点的综合运用.
一、单选题
1．（2026·云南昆明·二模）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．0
2．（2026·江苏·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2026·江西上饶·二模）已知向量，，若，则（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．（2026·广东深圳·二模）已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ）
A．4 B．16 C．1 D．3
6．（2026·安徽·三模）已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·河北衡水·模拟预测）已知向量，，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
9．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2026·湖南邵阳·二模）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ）
A． B．9 C．15 D．20
二、多选题
11．（2026·陕西安康·三模）已知向量，则（ ）
A． B．
C．可以用线性表示 D．在上的投影向量为
12．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量的坐标为
14．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．4
三、填空题
15．（2026·陕西商洛·模拟预测）在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______.
16．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________.
17．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______．
18．（2026·四川泸州·模拟预测）已知向量，，若且与方向相同，则____________
四、解答题
19．（2026·重庆·二模）已知向量，，且，.
(1)求的值；
(2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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