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2026年高考最后阶段冲刺训练 12数列（详解版）
训练要点：①数列的函数性质；②数列的通项；③数列求和；④数列的新定义；⑤数列与其他知识的综合应用.
一、单选题
1．（2026·陕西咸阳·二模）设等差数列的前项和为，公差为（），若为，的等比中项，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，结合等差数列通项公式运算求解.
【详解】因为为，的等比中项，则，
可得，整理可得，
且，可得，所以.
2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，，化简得，
又，，即，故，
，，
故数列的前20项和为
.
3．（2026·辽宁盘锦·一模）已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用作差法及数列前n项和与第n项的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】依题意，，
因此，所以“”是“”的充分必要条件.
4．（2026·重庆渝中·二模）已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助等比数列定义计算可得其公比，再计算出其首项后利用求和公式计算即可得.
【详解】设数列的公比为，则，
即，即，解得或，
由数列单调递增且，故，
所以，.
5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则与的等差中项为（ ）
A．108 B．54 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及前项和公式列式求出公差及首项，进而求出前项和即可.
【详解】设数列的公差为，依题意，，解得，则，
因此，即有，则数列为等差数列，
所以与的等差中项为．
6．（2026·河北沧州·二模）在等比数列中，，且，则（ ）
A．16或128 B．6或64 C．64 D．72
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，
因为，即，
因为，所以，解得或，
当时，，解得，
此时，不合题意，
当时，，解得，
此时，符合题意，
所以，，.
7．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为等差数列的前项和分别为，且，
所以可设，，
所以，所以.
8．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围.
【详解】因为是首项的等差数列，所以，
因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且，
当时：，则，所以，
当时：，则，所以，
综上，，
即公差的取值范围是.
二、多选题
9．（2026·青海西宁·二模）设数列的前项和为，且．则（ ）
A．若为等差数列，则
B．若为等差数列，则
C．若为等比数列，则
D．若为等比数列，则
【答案】AB
【分析】利用等比和等差数列的性质和前项和的性质逐项分析可解.
【详解】对于A，若为等差数列，则，故A正确；
对于B，若为等差数列，则公差，则，
于是，故B正确；
对于C，若为等比数列，则，由于等比数列的偶数项同号，则，故C错误；
对于D，若为等比数列，则，所以，
若，则；若，则，故D错误．
10．（2026·重庆渝中·二模）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，取最小值
C． D．
【答案】AD
【分析】根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD.
【详解】因为数列为等差数列，
则，即，
且，即，可得，
所以公差，故A正确；
可知等差数列为递增数列，当时，；当时，；
所以当时，取最小值，故B错误；
所以，，故C错误，D正确．
11．（2026·江苏·模拟预测）数列的前项和记为，且，则（ ）
A．
B．为等差数列
C．
D．中有最大项也有最小项
【答案】ABD
【分析】选项A，将代入式子中，计算得到；选项B，由和得到，此式子两边都除以，通过计算得到为等差数列；选项C，利用等差数列的通项公式求出，计算出，从而求出；选项D，由，结合和的关系求出当时的的值，从而得到当时，越大，越小，即越趋近于0，则有是最大值，是最小值，从而得到结论.
【详解】选项A，，
当时，，，
，，，故选项A正确；
选项B，，，，
，，
，为等差数列，故选项B正确；
选项C，为等差数列，公差为，首项为，
，
，，故选项C错误；
选项D，，
当时，，
当时，，
当时，越大，越小，即越趋近于0，
即，
是最大值，是最小值， 中有最大项也有最小项，故选项D正确.
三、填空题
12．（2026·云南昆明·模拟预测）若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______.
【答案】1
【分析】通过赋值得出数列的周期即可求解.
【详解】由题意可知,,
,,,
所以数列是从第2项起，周期为3的数列.
则的前100项的和.
13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是等比数列的前项和，若，，则________.
【答案】63
【详解】由是等比数列的前项和且，得成等比数列，
而，即成等比数列，
因此，解得，所以.
14．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______．
【答案】
【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式.
【详解】由题意知，由可得，所以，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.
当且时，，
又不满足上式，所以.
四、解答题
15．（2026·甘肃兰州·二模）已知数列的前n项和为，且.
(1)证明数列是等比数列并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用得出数列的递推关系，结合等比数列的通项公式求得；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）由，当时，，
两式相减得，
即时，，即，
由，可得当时，，解得，
所以是首项和公比均为2的等比数列，
所以，即；
（2）因为，
所以①，
则②，
①-②得
，
所以.
16．（2026·山西临汾·一模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用降序相减求解即可；
（2）利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）①，
当时②，
①-②得，
当时，，符合上式，
综上：，.
（2），
则
.
17．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的前项和，.
(1)求；
(2)若数列的前项和为，求证.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系求解即可.
（2）先求出目标数列，再利用裂项相消法求和，最后比较大小即可.
【详解】（1）由数列的前项和，，
则，解得.
当时，，
当时，，
经验证，满足上式，故.
（2）由题意得，
得到.
18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式；
（2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以，
所以，
当时，，两式相减，得，
所以，所以，
所以数列是常数列，所以，即.
（2）因为，所以.
又，
两式相加，得.
所以.
所以，
，
两式相减，得
.
所以.
19．（2026·贵州六盘水·一模）若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”.
(1)若为“稳定数列”，且，求的取值范围.
(2)若，证明：数列为“稳定数列”.
(3)若为“稳定数列”，证明，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）结合定义，由得，代入n=2对应的不等式，解一元二次不等式即可得到 的取值范围；
（2）先化简得，对前n项和做裂项放缩，得到放缩范围后，代入证明对任意正整数n都有；
（3）利用变形，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不等式的左右两边.
【详解】（1）由题意，是稳定数列，故对，.
已知，则 （），对，有，
解左边不等式，得正根 ； 解右边不等式，得正根 ，
故的取值范围为.
（2）当时，，满足，
当时，对于任意正整数，有，则，
则由，可得，
又由，可得,
所以，
则，
所以数列为“稳定数列”.
（3）因为为“稳定数列”，所以，则，，
则，由，可得，
由为“稳定数列”可得，则，
当时，，则，
因为，所以，故，.
由得，结合，则，则，
当时，，则，
当时，，故，
从而，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考最后阶段冲刺训练 12数列（学生版）
训练要点：①数列的函数性质；②数列的通项；③数列求和；④数列的新定义；⑤数列与其他知识的综合应用.
一、单选题
1．（2026·陕西咸阳·二模）设等差数列的前项和为，公差为（），若为，的等比中项，则（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·辽宁盘锦·一模）已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026·重庆渝中·二模）已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则与的等差中项为（ ）
A．108 B．54 C． D．
6．（2026·河北沧州·二模）在等比数列中，，且，则（ ）
A．16或128 B．6或64 C．64 D．72
7．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026·青海西宁·二模）设数列的前项和为，且．则（ ）
A．若为等差数列，则
B．若为等差数列，则
C．若为等比数列，则
D．若为等比数列，则
10．（2026·重庆渝中·二模）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，取最小值
C． D．
11．（2026·江苏·模拟预测）数列的前项和记为，且，则（ ）
A．
B．为等差数列
C．
D．中有最大项也有最小项
三、填空题
12．（2026·云南昆明·模拟预测）若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______.
13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是等比数列的前项和，若，，则________.
14．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______．
四、解答题
15．（2026·甘肃兰州·二模）已知数列的前n项和为，且.
(1)证明数列是等比数列并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．（2026·山西临汾·一模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
17．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的前项和，.
(1)求；
(2)若数列的前项和为，求证.
18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
19．（2026·贵州六盘水·一模）若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”.
(1)若为“稳定数列”，且，求的取值范围.
(2)若，证明：数列为“稳定数列”.
(3)若为“稳定数列”，证明，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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