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2026年高考最后阶段冲刺训练 13等式与不等式（详解版）
训练要点：①不等式的性质；②一元二次不等式；③基本不等式；④不等式和向量，函数等知识的综合应用.
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
，
所以.
2．（2026·宁夏银川·一模）已知实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为实数，满足，
对于A：取，此时，命题不成立，故A错误；
对于B：由，所以，
当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C：，所以不存在，使成立，故C错误；
对于D：由可得，所以，
故不存在，使得，故D错误．
3．（25-26高一上·广东惠州·月考）设，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】记为条件“”，其解集为，
记为条件“”，其解集为，
因为，所以成立，而不成立，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
4．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可.
【详解】易知是方程的根，
即，所以,
当时，不等式为，即,其解集为或.
故实数的值为1.
5．（2026·山西运城·二模）设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据复数的乘法可得，再利用基本不等式可求的最小值.
【详解】依题意得，
因为，所以，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解.
【详解】由题意可知，不等式恒成立，
即，
，即
，
，
，，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
当时，取得最小值为8，
，即，解得.
7．（2026·广西桂林·一模）已知命题；命题成立，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解不等式，再根据集合的包含关系判断求解.
【详解】因为等价于，
则或，解得或，
因为集合是集合或的真子集，
所以是的充分不必要条件.
8．（2026·天津南开·一模）已知，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项.
【详解】对于A，因为，故，故，
故，故A成立；
对于B，因为，故，又，故，故B成立；
对于C，因为，故，又，故，故C成立；
对于D，因为，故，故，故D不成立.
9．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，且，所以，
所以，
当且仅当即、时等号成立．
所以的最小值为.
10．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由，则，，，故，
所以，
当且仅当，此时取等号.
二、多选题
11．（2026·山西吕梁·二模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，取，此时，但，故A错误；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C，因为，故，而，故，故C正确；
对于D，，
若，则，
故即，故D错误.
12．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】，
，解得，
指数函数单调递增，
，即，故A正确；
由基本不等式得，
两边平方得，解得，当且仅当时等号成立，故B错误；
，
，
当且仅当时取等号，
，故C正确；
，则，
，
由于函数的图象开口向上，对称轴，
故的最小值为，则，故D正确．
13．（2026·江西南昌·一模）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假.
【详解】对A：因为，，所以，所以，故A错误；
对B：因为，所以，故B正确；
对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确；
对D：因为，故D正确.
14．（2026·重庆·模拟预测）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（）
A．的最大值为2 B．的最小值为8
C．的最小值为3 D．的最小值为
【答案】BD
【分析】由题意得且，对于选项A，结合基本不等式，即可推导的最值；对于选项B，可将变形为，再利用基本不等式求解最小值；对于选项C，可利用代入转化为二次函数求解最小值；对于选项D，结合将原分式转化为单变量函数，再用换元法结合基本不等式求解最小值
【详解】由题意得且，
对A，由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号，最大值为，A错误
对B，，，
所以，当且仅当即等号成立，最小值为，B正确
对C，代入得开口向上，对称轴，代入得最小值为，C错误
对D，代入得，
令，则
其中，当且仅当即时取等号，
所以
即的最小值为，D正确
15．（2026·福建漳州·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为27
C．的最大值为6
D．若，则的最小值为6
【答案】ABD
【分析】利用“1”的代换，完全平方公式，函数导数，三角代换法逐项分析即可.
【详解】对于A，由，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以
，
令，则，
设，
所以
，
由，所以，令，解得：，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当即时，的最小值为27，故B正确；
对于C，因为，
所以，
令，
则，
因为，所以，
当时取等号，此时由，得出，
因为，所以条件不满足，故C错误；
对于D，因为，
所以
，
因为，所以
，
当且仅当即等号成立，故D正确.
三、填空题
16．（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______．
【答案】
【分析】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果.
【详解】当时，不等式变为，即，
解得，又，所以此时不等式的解集为；
当时，不等式变为，即，
解得，又，所以此时不等式的解集为；
所以不等式的解集为.
17．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________．
【答案】16
【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值.
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，
则，所以，
因为，
所以
，
当且仅当，即时，此时，符合题意，
所以当时，取的最小值16.
18．（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可.
【详解】由，可得且.
因为，所以，故不等式的解集为.
由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集，
故，解得，
所以的取值范围是.
19．（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．
【答案】8
【详解】由.
从而原问题转化为求的最小值.
因为
，
（以上均为当且仅当时取等号）.
所以.
即实数的最大值为8.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考最后阶段冲刺训练 13等式与不等式（学生版）
训练要点：①不等式的性质；②一元二次不等式；③基本不等式；④不等式和向量，函数等知识的综合应用.
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·宁夏银川·一模）已知实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高一上·广东惠州·月考）设，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2026·山西运城·二模）设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·广西桂林·一模）已知命题；命题成立，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2026·天津南开·一模）已知，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题
11．（2026·山西吕梁·二模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2026·江西南昌·一模）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
14．（2026·重庆·模拟预测）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（）
A．的最大值为2 B．的最小值为8
C．的最小值为3 D．的最小值为
15．（2026·福建漳州·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为27
C．的最大值为6
D．若，则的最小值为6
三、填空题
16．（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______．
17．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________．
18．（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________.
19．（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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