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【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 19~20题
一、原题19
1．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
二、变式1基础
2．如图，已知．
（1）与是否全等？说明理由；
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）解：与全等，理由如下：
∵，
∠DAE=∠DAB+∠BAE，∠CAB=∠CAE+∠BAE，
∴，
在与中，
∵，
.
（2）解：∵，
，
∵，
∴∠E=35°，
又∵∠D=45°，
．

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先说明，再利用证明与全等；
（2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理，进行求解即可．
（1）解：与全等，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
．
3．如图，在中，，点分别在边上，且，连接．
（1）当时，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
，
，
．
（2）解：∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得，再次根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得；
（2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出．
（1）解：，，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点．
小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则．
小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了!
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：．
【答案】（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，
此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等．
（2）证明：∵，，
由作图可得，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定没有得出即可；
（2）根据全等三角形的判定证出即可．
（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，
此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等．
（2）证明：如图2中，∵，
，
由作图可得，
在和中，
，
．
三、变式2巩固
5．如图，在△ABC 和 中，点 E 在边 AC 上， 且 AD，AB=AD.
（1）求证：△ABC≌△DAE；
（2）若 AB=13，AE=5，求 CE 的长.
【答案】（1）【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DEA＝90°，
∴∠D+∠DAE＝90°，
∵AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS）
（2）解：△ABC≌△DAE，
∴BC＝AE＝5，
∵AB＝13，
∴，
∴CE＝AC﹣AE＝12﹣5＝7
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BAC＝∠D，再利用角角边证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BC＝AE＝5，再由勾股定理求出AC的长，即可求解．
6．如图， △ADC与△EDG均为等腰直角三角形， 连接AG，CE相交于点 H.
（1）求证： AG=CE；
（2）求∠AHE的大小.
【答案】（1）证明：∵△ADC与△EDG均为等腰直角三角形，
∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°
∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG，即∠ADG=∠CDE
∴△ADG≌△CDE(SAS)
∴AG=CE
（2）解：设AG与CD交于点B，
∵△ADG≌△CDE
∴∠DAG=∠DCE
又∵∠ABD∠CBH
∴∠CHB=∠ADB=90°
∴∠AHE=90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1)首先根据等腰直角三角形的性质得到AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°，进而得到∠ADG=∠CDE，即可证明出△ADG≌△CDE(SAS)；
(2)首先根据全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCE，然后根据对顶角相等得到∠ABD=∠CBH，然后利用三角形内角和定理求解即可.
7．小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题：
如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上．
小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小嘉：小兴，你的作法有问题．
小兴：哦……我明白了！
（1）给出小嘉作法中的证明．
（2）指出小兴作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
由作图可得AE=AF，
在和中，
（SAS），
．
（2）解：∵若以D为圆心，长为半径作弧，
∴该弧与的交点可能有2个，
∴点F的位置不唯一确定，
∴不一定=．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得到；
（2）以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，则小兴的作法错误.
（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
在和中，
，
．
（2）解：小兴作法中，若以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，
即点F的位置不唯一确定，因此不能确定．
四、变式3提高
8．综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F．
求证：，并直接写出的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：．
②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．
【答案】解：(1)如图1，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE；
②如图3，设CD=x，
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴，
由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴，∠ABO=∠ACE，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴，
，
∴.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答；
(2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答；
②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答.
9．综合与实践
主题：正方形卡纸的裁切与拼接．
素材：大小不等的两张正方形卡纸
步骤：将大正方形卡纸和小正方形卡纸按图（）所示的方式摆放（点在上），用圆规在上截取，连接，；
步骤：首先沿虚线，裁切卡纸，然后拼接成一个大正方形．
猜想与证明：
（1）与是否全等？并证明你的猜想．
迁移与应用：
（2）若大正方形卡纸的边长是小正方形的两倍，将大正方形卡纸对折两次并展开后，按图（2）所示的方式摆放（虚线为折痕），请你用无刻度的直尺在图（2）中画出两条裁切线，使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形．
【答案】（1）解：与全等，证明如下：四边形和四边形都是正方形，
，，，，
∵，
，
，
，
，
在与中，
，，，
；
（2）解：如图2所示：
用用无刻度的直尺画出线段，，
再沿，进行裁切，则裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形，理由如下：
由折叠的性质得，
大正方形的边长是小正方形的倍，
∴，
，
根据（1）中的拼图的方法即可将图（2）中裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形性质找对应边、角相等，用（边角边 ）判定全等.
（2）利用（1）中全等拼接思路，结合大正方形对折性质，确定裁切线、 .
10．【知识技能】
（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
梳理解答思路并完成填空．
A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________．
B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到．
【数学理解】
（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探索】
（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）．
理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，，．
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
在中，，
；
（3）正方形的边长为，
，
．
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
由（2），可得．
设，
，，
，
根据勾股定理可得，
解得，
.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
在△AFG和△AFE中
，
，
故答案为：；；
【分析】（1）由旋转的性质和角的和差可得∠EAF=∠GAF，结合已知，用边角边可证△AFG≌△AFE，由全等三角形的对应边相等可得EF=FG，再结合线段的和差即可求解；
（2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，同理可证△AED≌△AEG，由全等三角形的对应边相等可得DE=EG，在中，用勾股定理即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，设，结合（2）中的结论，列关于y的方程，解方程即可求解．
五、原题20
11．2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛.全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加，随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表.
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）： ，求该班获奖选手成绩的众数与中位数.
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数.
【答案】（1）解：先对数据按照从小到大的顺序排列得：83、83、83、88、90、91、91
中位数为88、众数为83；
（2）解：
答：总人数为840.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）中位数是指对一组数据按照从小到大的顺序排列后，按照数据总个数取最中间的一个或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是几个；
（2）先求出本校九年级获奖学生人数在抽样人数中的占比，再乘以全县九年级总班级数即可.
六、变式1基础
12． 运动员在跳台跳水的某轮比赛中完成了难度系数为3.0的动作，7位裁判的打分如下（单位：分）：
9.5，9.5，9.0，9.5，9.5，9.5，9.0.
（1）求这位运动员得分的中位数，众数.
（2）已知跳台跳水成绩的计分规则是：先去掉两个最高分和两个最低分，余下3名裁判员的分数之和乘以运动员所跳动作的难度系数，便得出该动作的实得分.
①请计算该运动员此轮比赛的成绩.
②结合所学的平均数知识，说明跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性.
【答案】（1）解：从小到大排序为9.0，9.0，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5
中间的数为9.5，故中位数为9.5分
9.5出现了5次，为最大，故众数9.5分
（2）解：①（分）
②跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性：
(I) 去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分（如裁判个人偏好或者评分失误等）对成绩的影响.
(II) 乘以难度系数可以兼顾动作难度（权），使得不同难度的动作在总分中占比不同.
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】(1)将数据从小到大排序，中间数字即为中位数，出现次数最多的数字即为众数；
(2)①直接由题意计算最终得分即可；
②去掉最高最低分可消除个人偏好对得分的影响，难度系数在评分中也要有相应体现.
13．为提高中学生反诈意识，我校举行“反诈骗答题竞赛”，其中八（1）班、八（2）班的竞赛成绩（单位：分）如下：
平均数 中位数 众数
八（1）班 79.25 * 70
八（2）班 * 80 *
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）八（1）班成绩的中位数是　 　，八（2）班成绩的众数是　 　；
（2）请求出八（2）班的平均成绩，并结合平均数、众数、中位数的知识，分析哪个班整体水平较高？
【答案】（1）80；90
（2）解：由条形统计图可知
八年（2）班70分有6人，80分有15人，90分有16人，100分有3人，
八年（2）班平均成绩为：，根据 平均数、众数、中位数的知识 ，八年（2）班的平均成绩，众数高于八年（1）班，所以八年（2）班整体水平较高.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图可知八年（1）班，70分的有15人，80分的有14人，90分的有10人，100分有1人，人数一共为：15+14+10+1=40人，∴中位数应该是20和21所处的分数的平均数，恰好在80分，∴中位数为：
（2）由条形统计图可知八年（2）班70分有6人，80分有15人，90分有16人，100分有3人，根据众数的概念：90分的人数最多，∴八年（2）班的众数为90.
【分析】
（1）①由条形统计图，统计出各分数段的人数八年（1）班，70分的有15人，80分的有14人，90分的有10人，100分有1人，根据中位数的概念，即可求解；
②由条形统计图，统计出八年（2）班的各分数段人数，70分有6人，80分有15人，90分有16人，100分有3人根据众数的概念得出结论.
（2）根据条形统计图，统计出八年（2）班70分有6人，80分有15人，90分有16人，100分有3人，根据平均数的概念，以及中位数和众数越高整体水平越高得出结论.
14． 为响应国家“体重管理年”政策，某校要了解七年级学生的课外锻炼情况，随机选取某班学生进行“最喜欢的一项体育运动”调查，并根据统计数据绘制了如下统计图，请解答：
（1）请你补全条形统计图．
（2）该校共对　 　名学生进行了调查，在扇形统计图中，“跳绳”对应的圆心角为　 　度．
（3）若该校七年级共有600名学生，请你估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数．
【答案】（1）解：∵喜欢篮球的人数有12人，占30%
∴选取学生总数=12÷30%=40（人）
∴跑步人数=40×20%=8（人）
跳绳人数=40-8-12-14=6（人）.
（2）解：∵喜欢篮球的人数有12人，占30%∴选取学生总数=12÷30%=40（人）；解：∵跳绳人数=40-8-12-14=6（人）∴圆心角度数=
（3）解：∵选取40名学生中喜欢游泳的学生有14人
∴
∴600×35%=210（人）
答：估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数为210人。
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）补全条形图时需要知道喜欢不同运动的学生分别有多少人，统计图中喜欢篮球的学生人数及所占比例均已知，可以求出选取学生的总人数，因此可以分别求出跑步和跳绳的人数。
（2）跳绳运动对应圆心角的度数与跳绳所占比例有关，先计算跳绳所占比例，再计算对应圆心角的度数。
（3）用样本估计总体时，需要知道样本中喜欢游泳运动的学生人数，并计算出所占比例，将相应的比例应用于总人数中即可。
七、变式2巩固
15．某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级50名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 5 10 a b 10
已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ．
（2） ， ．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】（1）5人，8分
（2）10，15
（3）解：本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高，理由如下：
由题意，，
∴七年级优秀率为，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）
解：，
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）
解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
【分析】
（1）根据各小组的百分比之和等于1可求出七年级活动成绩为7分的百分比，再根据频数等于百分比×样本容量可求得七年级活动成绩为7分的学生数，再根据众数的定义即可判断求解；
（2）中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数的定义，把数据排序后，结合题意即可求解；
（3）分别求出两个年级的优秀率，平均数，然后比较大小，即可判断求解．
（1）解：，
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
（3）解：依题意，，
∴七年级优秀率为，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
16．2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）．
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2
（1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分．
【答案】（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）2
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
【分析】
平均数，中位数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念．
（1）观察扇形统计图和条形统计图，可“10分”的学生数及占比求出乙组总人数，再在甲且中用总人数分别减去成绩为“7、8、9分”的人数即可；
（2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，由于甲组成绩已按照从小到大的顺序排列且总人数是20人，则中位数是第10名和第11名的平均值，即等于；
（3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可．
（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
17．端午节是中国的传统节日．某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩（单位：分）绘制统计图表，信息如下：
某校七年级名学生活动成绩统计表
成绩（分）
人数（名）
（1）请根据以上统计图表，完善下列表格信息．
某校七、八年级名学生活动成绩分析表
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分
七年级 _________ ______
八年级 ______
（2）你认为哪个年级的活动成绩较优秀，请根据表格中的统计量说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：八年级活动成绩较优秀，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级的，且方差低于七年级的，所以八年级活动成绩较优秀．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：由统计表得，七年级平均数为分，七年级中位数为分，
由扇形统计图可知，八年级名学生中分的人数最多，
∴八年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，，；
【分析】
（）先利用加权平均数公式求出平均值，由于七年级成绩的数据已按照从小到大的顺序排列且数据总个数为偶，则取最中间两个数据的平均值即可得中位数，由于八年级成绩为9分的数据个数最多，即可得众数；
（）由两个年级平均数相同，但八年级的中位数、众数都较大且方差较小，故八年级成绩更优秀.
（1）解：由统计表得，七年级平均数为分，七年级中位数为分，
由扇形统计图可知，八年级名学生中分的人数最多，
∴八年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，，；
（2）解：八年级活动成绩较优秀，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级的，且方差低于七年级的，所以八年级活动成绩较优秀．
八、变式3提高
18．为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛.该校九年级A、B两个班各有学生50人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取10名学生的成绩（满分：100分）进行统计分析.
【数据收集】
九年级A班：90，55，70，95，55，80，70，80，65，70；
九年级B班：65，90，75，75，90，60，50，75，85，65.
【数据整理】
50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
九年级A班 2 1 3 2 b
九年级B班 1 3 a 1 2
【数据分析】
平均数 中位数 众数
九年级A班 73 70 d
九年级B班 73 c 75
【数据应用】
（1）表中a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　；
（2）学校规定测试成绩在80分以上的学生为优秀，请估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；
（3）若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择A班还是B班，请说明理由.
【答案】（1）3；2；75；70
（2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人
∴（人）
答：估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为20人；
（3）解：选B班，理由如下：
两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班．
【知识点】统计表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：九年级A班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的成绩为 ， 共 人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即；
九年级B班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的成绩为75出现3次，故，
B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故；
故答案为：3；2；75；70；
【分析】（1）根据已知数据得到a，b的值，再利用中位数、众数的定义解答即可；
（2）运用A班人数乘以80分以上的学生占比解答即可；
（3）比较两班的中位数和众数解答即可．
19．某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表，并求得了A产品三次单价的平均数和方差，.
A，B产品单价变化统计表
　 第一次 第二次 第三次
A产品单价（元/件） 6 5.2 6.5
B产品单价（元/件） 3.5 4 3
（1）B产品第三次的单价比上一次的单价降低了　 　%.
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动较小，
【答案】（1）25
（2）解： ，
，
∵B产品的方差小，
∴B产品的单价波动小
【知识点】统计表；方差
【解析】【解答】解：(1)B产品第三次的单价比上一次的单价降低了.
故答案为：25.
【分析】(1)由统计表中B产品的数据即可求解；
(2)计算B产品的方差，与A产品的方差进行比较即可.
20．2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析：
乙班成绩频数分布表
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数）．
【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表．
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8
乙班 6.5 6
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）______，______；
（3）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是______班的学生（填“甲”或“乙”）
（4）学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有50人且乙班获得一等奖的人数比甲班少，试估计乙班班级人数．
【答案】（1）解：根据题意，得甲班成绩为7分的人数为：（人），
∴补全条形统计图如下图所示：
（2）
（3）乙
（4）解：（人），
∴估计乙班的人数为50人．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）根据题意，得，
∵把甲班10名学生的成绩从低到高排列为5分，5分，6分，7分，7分，8分，8分，8分，8分，9分，
∴甲班10名学生成绩中，位于第5名和第6名的成绩分别为7分，8分，
∴中位数，
故答案为：；
（3）根据题意得，甲班中位数是分，乙班中位数是分，
∵参赛同学小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”，
∴小明在乙班，
故答案为：乙.
【分析】（1）先求出甲班成绩为7分的人数，从而补全条形统计图；
（2）根据平均数以及中位数定义进行求解即可；
（3）根据中位数的定义进行求解即可；
（4）先计算出甲班获一等奖的人数，从而求出乙班获一等奖的人数，进而用乙班获一等奖的人数除以样本中乙班获一等奖人数的占比即可得到答案．
（1）解：甲班成绩为7分的人数为：人，
补全统计图，如图所示：
（2）解：由题意得，，
把甲班10名学生的成绩从低到高排列为5分，5分，6分，7分，7分，8分，8分，8分，8分，9分，
∴甲班10名学生成绩中，位于第5名和第6名的成绩分别为7分，8分，故，
故答案为：；
（3）解：由题意得，甲班中位数是分，乙班中位数是分，
∵参赛同学小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”，
∴小明在乙班．
（4）解：人，
∴估计乙班的人数为50人．
1 / 1【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 19~20题
一、原题19
1．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
二、变式1基础
2．如图，已知．
（1）与是否全等？说明理由；
（2）如果，求的度数．
3．如图，在中，，点分别在边上，且，连接．
（1）当时，求的度数．
（2）若，求的度数．
4．如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点．
小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则．
小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了!
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：．
三、变式2巩固
5．如图，在△ABC 和 中，点 E 在边 AC 上， 且 AD，AB=AD.
（1）求证：△ABC≌△DAE；
（2）若 AB=13，AE=5，求 CE 的长.
6．如图， △ADC与△EDG均为等腰直角三角形， 连接AG，CE相交于点 H.
（1）求证： AG=CE；
（2）求∠AHE的大小.
7．小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题：
如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上．
小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小嘉：小兴，你的作法有问题．
小兴：哦……我明白了！
（1）给出小嘉作法中的证明．
（2）指出小兴作法中存在的问题．
四、变式3提高
8．综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F．
求证：，并直接写出的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：．
②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．
9．综合与实践
主题：正方形卡纸的裁切与拼接．
素材：大小不等的两张正方形卡纸
步骤：将大正方形卡纸和小正方形卡纸按图（）所示的方式摆放（点在上），用圆规在上截取，连接，；
步骤：首先沿虚线，裁切卡纸，然后拼接成一个大正方形．
猜想与证明：
（1）与是否全等？并证明你的猜想．
迁移与应用：
（2）若大正方形卡纸的边长是小正方形的两倍，将大正方形卡纸对折两次并展开后，按图（2）所示的方式摆放（虚线为折痕），请你用无刻度的直尺在图（2）中画出两条裁切线，使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形．
10．【知识技能】
（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
梳理解答思路并完成填空．
A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________．
B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到．
【数学理解】
（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探索】
（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长．
五、原题20
11．2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛.全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加，随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表.
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）： ，求该班获奖选手成绩的众数与中位数.
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数.
六、变式1基础
12． 运动员在跳台跳水的某轮比赛中完成了难度系数为3.0的动作，7位裁判的打分如下（单位：分）：
9.5，9.5，9.0，9.5，9.5，9.5，9.0.
（1）求这位运动员得分的中位数，众数.
（2）已知跳台跳水成绩的计分规则是：先去掉两个最高分和两个最低分，余下3名裁判员的分数之和乘以运动员所跳动作的难度系数，便得出该动作的实得分.
①请计算该运动员此轮比赛的成绩.
②结合所学的平均数知识，说明跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性.
13．为提高中学生反诈意识，我校举行“反诈骗答题竞赛”，其中八（1）班、八（2）班的竞赛成绩（单位：分）如下：
平均数 中位数 众数
八（1）班 79.25 * 70
八（2）班 * 80 *
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）八（1）班成绩的中位数是　 　，八（2）班成绩的众数是　 　；
（2）请求出八（2）班的平均成绩，并结合平均数、众数、中位数的知识，分析哪个班整体水平较高？
14． 为响应国家“体重管理年”政策，某校要了解七年级学生的课外锻炼情况，随机选取某班学生进行“最喜欢的一项体育运动”调查，并根据统计数据绘制了如下统计图，请解答：
（1）请你补全条形统计图．
（2）该校共对　 　名学生进行了调查，在扇形统计图中，“跳绳”对应的圆心角为　 　度．
（3）若该校七年级共有600名学生，请你估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数．
七、变式2巩固
15．某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级50名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 5 10 a b 10
已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ．
（2） ， ．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
16．2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）．
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2
（1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分．
17．端午节是中国的传统节日．某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩（单位：分）绘制统计图表，信息如下：
某校七年级名学生活动成绩统计表
成绩（分）
人数（名）
（1）请根据以上统计图表，完善下列表格信息．
某校七、八年级名学生活动成绩分析表
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分
七年级 _________ ______
八年级 ______
（2）你认为哪个年级的活动成绩较优秀，请根据表格中的统计量说明理由．
八、变式3提高
18．为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛.该校九年级A、B两个班各有学生50人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取10名学生的成绩（满分：100分）进行统计分析.
【数据收集】
九年级A班：90，55，70，95，55，80，70，80，65，70；
九年级B班：65，90，75，75，90，60，50，75，85，65.
【数据整理】
50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
九年级A班 2 1 3 2 b
九年级B班 1 3 a 1 2
【数据分析】
平均数 中位数 众数
九年级A班 73 70 d
九年级B班 73 c 75
【数据应用】
（1）表中a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　；
（2）学校规定测试成绩在80分以上的学生为优秀，请估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；
（3）若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择A班还是B班，请说明理由.
19．某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表，并求得了A产品三次单价的平均数和方差，.
A，B产品单价变化统计表
　 第一次 第二次 第三次
A产品单价（元/件） 6 5.2 6.5
B产品单价（元/件） 3.5 4 3
（1）B产品第三次的单价比上一次的单价降低了　 　%.
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动较小，
20．2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析：
乙班成绩频数分布表
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数）．
【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表．
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8
乙班 6.5 6
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）______，______；
（3）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是______班的学生（填“甲”或“乙”）
（4）学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有50人且乙班获得一等奖的人数比甲班少，试估计乙班班级人数．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
2．【答案】（1）解：与全等，理由如下：
∵，
∠DAE=∠DAB+∠BAE，∠CAB=∠CAE+∠BAE，
∴，
在与中，
∵，
.
（2）解：∵，
，
∵，
∴∠E=35°，
又∵∠D=45°，
．

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先说明，再利用证明与全等；
（2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理，进行求解即可．
（1）解：与全等，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
．
3．【答案】（1）解：，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
，
，
．
（2）解：∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得，再次根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得；
（2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出．
（1）解：，，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．【答案】（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，
此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等．
（2）证明：∵，，
由作图可得，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定没有得出即可；
（2）根据全等三角形的判定证出即可．
（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，
此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等．
（2）证明：如图2中，∵，
，
由作图可得，
在和中，
，
．
5．【答案】（1）【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DEA＝90°，
∴∠D+∠DAE＝90°，
∵AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS）
（2）解：△ABC≌△DAE，
∴BC＝AE＝5，
∵AB＝13，
∴，
∴CE＝AC﹣AE＝12﹣5＝7
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BAC＝∠D，再利用角角边证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BC＝AE＝5，再由勾股定理求出AC的长，即可求解．
6．【答案】（1）证明：∵△ADC与△EDG均为等腰直角三角形，
∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°
∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG，即∠ADG=∠CDE
∴△ADG≌△CDE(SAS)
∴AG=CE
（2）解：设AG与CD交于点B，
∵△ADG≌△CDE
∴∠DAG=∠DCE
又∵∠ABD∠CBH
∴∠CHB=∠ADB=90°
∴∠AHE=90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1)首先根据等腰直角三角形的性质得到AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°，进而得到∠ADG=∠CDE，即可证明出△ADG≌△CDE(SAS)；
(2)首先根据全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCE，然后根据对顶角相等得到∠ABD=∠CBH，然后利用三角形内角和定理求解即可.
7．【答案】（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
由作图可得AE=AF，
在和中，
（SAS），
．
（2）解：∵若以D为圆心，长为半径作弧，
∴该弧与的交点可能有2个，
∴点F的位置不唯一确定，
∴不一定=．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得到；
（2）以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，则小兴的作法错误.
（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
在和中，
，
．
（2）解：小兴作法中，若以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，
即点F的位置不唯一确定，因此不能确定．
8．【答案】解：(1)如图1，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE；
②如图3，设CD=x，
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴，
由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴，∠ABO=∠ACE，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴，
，
∴.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答；
(2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答；
②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答.
9．【答案】（1）解：与全等，证明如下：四边形和四边形都是正方形，
，，，，
∵，
，
，
，
，
在与中，
，，，
；
（2）解：如图2所示：
用用无刻度的直尺画出线段，，
再沿，进行裁切，则裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形，理由如下：
由折叠的性质得，
大正方形的边长是小正方形的倍，
∴，
，
根据（1）中的拼图的方法即可将图（2）中裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形性质找对应边、角相等，用（边角边 ）判定全等.
（2）利用（1）中全等拼接思路，结合大正方形对折性质，确定裁切线、 .
10．【答案】（1）；
（2）．
理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，，．
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
在中，，
；
（3）正方形的边长为，
，
．
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
由（2），可得．
设，
，，
，
根据勾股定理可得，
解得，
.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
在△AFG和△AFE中
，
，
故答案为：；；
【分析】（1）由旋转的性质和角的和差可得∠EAF=∠GAF，结合已知，用边角边可证△AFG≌△AFE，由全等三角形的对应边相等可得EF=FG，再结合线段的和差即可求解；
（2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，同理可证△AED≌△AEG，由全等三角形的对应边相等可得DE=EG，在中，用勾股定理即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，设，结合（2）中的结论，列关于y的方程，解方程即可求解．
11．【答案】（1）解：先对数据按照从小到大的顺序排列得：83、83、83、88、90、91、91
中位数为88、众数为83；
（2）解：
答：总人数为840.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）中位数是指对一组数据按照从小到大的顺序排列后，按照数据总个数取最中间的一个或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是几个；
（2）先求出本校九年级获奖学生人数在抽样人数中的占比，再乘以全县九年级总班级数即可.
12．【答案】（1）解：从小到大排序为9.0，9.0，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5
中间的数为9.5，故中位数为9.5分
9.5出现了5次，为最大，故众数9.5分
（2）解：①（分）
②跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性：
(I) 去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分（如裁判个人偏好或者评分失误等）对成绩的影响.
(II) 乘以难度系数可以兼顾动作难度（权），使得不同难度的动作在总分中占比不同.
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】(1)将数据从小到大排序，中间数字即为中位数，出现次数最多的数字即为众数；
(2)①直接由题意计算最终得分即可；
②去掉最高最低分可消除个人偏好对得分的影响，难度系数在评分中也要有相应体现.
13．【答案】（1）80；90
（2）解：由条形统计图可知
八年（2）班70分有6人，80分有15人，90分有16人，100分有3人，
八年（2）班平均成绩为：，根据 平均数、众数、中位数的知识 ，八年（2）班的平均成绩，众数高于八年（1）班，所以八年（2）班整体水平较高.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图可知八年（1）班，70分的有15人，80分的有14人，90分的有10人，100分有1人，人数一共为：15+14+10+1=40人，∴中位数应该是20和21所处的分数的平均数，恰好在80分，∴中位数为：
（2）由条形统计图可知八年（2）班70分有6人，80分有15人，90分有16人，100分有3人，根据众数的概念：90分的人数最多，∴八年（2）班的众数为90.
【分析】
（1）①由条形统计图，统计出各分数段的人数八年（1）班，70分的有15人，80分的有14人，90分的有10人，100分有1人，根据中位数的概念，即可求解；
②由条形统计图，统计出八年（2）班的各分数段人数，70分有6人，80分有15人，90分有16人，100分有3人根据众数的概念得出结论.
（2）根据条形统计图，统计出八年（2）班70分有6人，80分有15人，90分有16人，100分有3人，根据平均数的概念，以及中位数和众数越高整体水平越高得出结论.
14．【答案】（1）解：∵喜欢篮球的人数有12人，占30%
∴选取学生总数=12÷30%=40（人）
∴跑步人数=40×20%=8（人）
跳绳人数=40-8-12-14=6（人）.
（2）解：∵喜欢篮球的人数有12人，占30%∴选取学生总数=12÷30%=40（人）；解：∵跳绳人数=40-8-12-14=6（人）∴圆心角度数=
（3）解：∵选取40名学生中喜欢游泳的学生有14人
∴
∴600×35%=210（人）
答：估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数为210人。
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）补全条形图时需要知道喜欢不同运动的学生分别有多少人，统计图中喜欢篮球的学生人数及所占比例均已知，可以求出选取学生的总人数，因此可以分别求出跑步和跳绳的人数。
（2）跳绳运动对应圆心角的度数与跳绳所占比例有关，先计算跳绳所占比例，再计算对应圆心角的度数。
（3）用样本估计总体时，需要知道样本中喜欢游泳运动的学生人数，并计算出所占比例，将相应的比例应用于总人数中即可。
15．【答案】（1）5人，8分
（2）10，15
（3）解：本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高，理由如下：
由题意，，
∴七年级优秀率为，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）
解：，
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）
解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
【分析】
（1）根据各小组的百分比之和等于1可求出七年级活动成绩为7分的百分比，再根据频数等于百分比×样本容量可求得七年级活动成绩为7分的学生数，再根据众数的定义即可判断求解；
（2）中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数的定义，把数据排序后，结合题意即可求解；
（3）分别求出两个年级的优秀率，平均数，然后比较大小，即可判断求解．
（1）解：，
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
（3）解：依题意，，
∴七年级优秀率为，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
16．【答案】（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）2
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
【分析】
平均数，中位数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念．
（1）观察扇形统计图和条形统计图，可“10分”的学生数及占比求出乙组总人数，再在甲且中用总人数分别减去成绩为“7、8、9分”的人数即可；
（2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，由于甲组成绩已按照从小到大的顺序排列且总人数是20人，则中位数是第10名和第11名的平均值，即等于；
（3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可．
（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
17．【答案】（1），，
（2）解：八年级活动成绩较优秀，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级的，且方差低于七年级的，所以八年级活动成绩较优秀．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：由统计表得，七年级平均数为分，七年级中位数为分，
由扇形统计图可知，八年级名学生中分的人数最多，
∴八年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，，；
【分析】
（）先利用加权平均数公式求出平均值，由于七年级成绩的数据已按照从小到大的顺序排列且数据总个数为偶，则取最中间两个数据的平均值即可得中位数，由于八年级成绩为9分的数据个数最多，即可得众数；
（）由两个年级平均数相同，但八年级的中位数、众数都较大且方差较小，故八年级成绩更优秀.
（1）解：由统计表得，七年级平均数为分，七年级中位数为分，
由扇形统计图可知，八年级名学生中分的人数最多，
∴八年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，，；
（2）解：八年级活动成绩较优秀，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级的，且方差低于七年级的，所以八年级活动成绩较优秀．
18．【答案】（1）3；2；75；70
（2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人
∴（人）
答：估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为20人；
（3）解：选B班，理由如下：
两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班．
【知识点】统计表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：九年级A班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的成绩为 ， 共 人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即；
九年级B班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的成绩为75出现3次，故，
B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故；
故答案为：3；2；75；70；
【分析】（1）根据已知数据得到a，b的值，再利用中位数、众数的定义解答即可；
（2）运用A班人数乘以80分以上的学生占比解答即可；
（3）比较两班的中位数和众数解答即可．
19．【答案】（1）25
（2）解： ，
，
∵B产品的方差小，
∴B产品的单价波动小
【知识点】统计表；方差
【解析】【解答】解：(1)B产品第三次的单价比上一次的单价降低了.
故答案为：25.
【分析】(1)由统计表中B产品的数据即可求解；
(2)计算B产品的方差，与A产品的方差进行比较即可.
20．【答案】（1）解：根据题意，得甲班成绩为7分的人数为：（人），
∴补全条形统计图如下图所示：
（2）
（3）乙
（4）解：（人），
∴估计乙班的人数为50人．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）根据题意，得，
∵把甲班10名学生的成绩从低到高排列为5分，5分，6分，7分，7分，8分，8分，8分，8分，9分，
∴甲班10名学生成绩中，位于第5名和第6名的成绩分别为7分，8分，
∴中位数，
故答案为：；
（3）根据题意得，甲班中位数是分，乙班中位数是分，
∵参赛同学小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”，
∴小明在乙班，
故答案为：乙.
【分析】（1）先求出甲班成绩为7分的人数，从而补全条形统计图；
（2）根据平均数以及中位数定义进行求解即可；
（3）根据中位数的定义进行求解即可；
（4）先计算出甲班获一等奖的人数，从而求出乙班获一等奖的人数，进而用乙班获一等奖的人数除以样本中乙班获一等奖人数的占比即可得到答案．
（1）解：甲班成绩为7分的人数为：人，
补全统计图，如图所示：
（2）解：由题意得，，
把甲班10名学生的成绩从低到高排列为5分，5分，6分，7分，7分，8分，8分，8分，8分，9分，
∴甲班10名学生成绩中，位于第5名和第6名的成绩分别为7分，8分，故，
故答案为：；
（3）解：由题意得，甲班中位数是分，乙班中位数是分，
∵参赛同学小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”，
∴小明在乙班．
（4）解：人，
∴估计乙班的人数为50人．
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