资源简介

2026年高考最后阶段冲刺训练14空间向量与立体几何（详解版）
训练要点：：①空间几何体的表面积和体积；②直观图；③几何体是内切，外接球问题；④空间中点线面的位置关系；⑤几何法证明平行和垂直关系；⑥求空间距离和空间角；⑦等体积法的应用；⑧空间向量在立体几何中的应用.
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为，
圆锥的母线，
圆锥的侧面积是，，得，解得;
圆台的母线，
圆台侧面积为．
2．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解.
【详解】如图，取的中点，连接，
因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为，
所以平面，则，
设为正三角形的中心，则，
因为，所以，又，
所以，
所以，则，即为三棱锥外接球的球心，
因为，所以，
所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为.
3．（2026·重庆·模拟预测）在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析过，，三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解.
【详解】由题意，是边长为4的正三角形，设过，，三点的球心为，半径为，
则球中过，，三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径.
设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小，
当时，有最小值为，此时、重合，即球心为的中心，
如图，作出符合题意的图形，
设为正方形的中心，为的中点，
连接、、、，过作，交于点N，
则为正四棱锥的高，，
由知，平面，且，
即球心到截面的距离为，
所以截面圆的半径为，
所以球被平面所截截面的面积为.
4．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理求解即可.
【详解】由题意可知，，
，
则，
又因为，所以.
5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解.
【详解】
如图，正方体中，为线段的中点，连接，，
因为，，所以四边形是平行四边形，，
异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角，
设正方体的棱长为2，则，，
在中，，
，即是直角三角形，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
6．（2026·安徽滁州·一模）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用内切圆台的性质求出圆台高，建立空间直角坐标系后，结合线面角的定义，用点到平面距离除以线段长得到所求正弦值.
【详解】已知圆台上下底面半径分别为，，且圆台存在内切球，
根据圆台内切球性质，母线长.
由勾股定理，圆台的高满足： 代入得，即.
以为原点，以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
平面即为（平面），点到平面的距离；
，
设直线与平面所成角为，由线面角定义可知 .
7．（2026·河南开封·二模）在长方体中，，点分别为棱和的中点，点是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量法求解，求出平面和平面的法向量，记平面和平面的夹角为，利用数量积求出，求出，利用同角关系式求出，利用正弦函数的图像和性质得到平面与平面的夹角的正弦值的最大值.
【详解】不妨设，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，
得到，
记平面和平面的夹角为．
记平面的法向量为，，
取，则．
记平面的法向量为，，
取，则，
所以，
，
，当且仅当时，，所以，
故平面与平面的夹角的正弦值的最大值为，故选A．
8．（2026·云南昭通·模拟预测）将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找出二面角的平面角及异面直线与的夹角，再根据余弦定理即可求解．
【详解】取的中点，连接，，
因为四边形是正方形，所以，，
又，平面，平面，平面平面,
所以为二面角的平面角，且，
取，的中点、，连接，，，则，，
所以或其补角是异面直线与的夹角，
设，则，，，
在中，
由余弦定理得，，解得，
又因为，为中点，所以，，
在中，，
在中，由余弦定理可得，．
即异面直线AB与CD的夹角余弦值为．
二、多选题
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（ ）
A．圆柱形原料的表面积为 B．圆柱形原料的体积为
C．圆锥形零件的表面积为 D．圆锥形零件的体积为
【答案】AD
【分析】根据题意，代入几何体的表面积和体积公式，即可求解.
【详解】由题意知圆柱形原料的底面半径，高，
圆柱形原料的表面积，体积，故A正确，B错误；
由题意知圆锥形零件的底面半径，高，母线，
表面积，体积，故C错误，D正确.
10．（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形的面积为 D．四边形的周长为
【答案】BC
【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长．
【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点，
因为等腰梯形中，，
所以，
又，所以，故A错误；
对于B选项，由斜二测法可知，故B正确；
对于C选项，作出原图形，可知，，，，
故四边形的面积为，故C正确；
对于D选项，过点作于点，
则，
由勾股定理得，
四边形的周长为，故D错误．
11．（2026·广东茂名·二模）已知正方体的棱长为1，则（ ）
A． B．在上的投影向量的模为1
C． D．与所成的角为45°
【答案】AB
【分析】建立空间直角坐标系，根据数量积运算公式，异面直线夹角公式，投影向量的相关公式进行求解
【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，故，
故，A正确；
B选项，，，
在上的投影向量的模为，B正确；
C选项，，，
，，
，
故，C错误；
D选项，设与所成的角大小为，由图知为锐角，
则，
故与所成的角大小不是45°，D错误.
三、填空题
12．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________．
【答案】
【详解】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面，
取MN的中点H，连接，因为平面，
所以平面平面，所以，
又因为平面，
所以平面，，，
所求几何体的体积为
解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，
又，
所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱，
其中，，
因此，即，
根据三棱柱体积公式，，
故该几何体的体积是．
13．（2026·山西运城·二模）已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________.
【答案】
【详解】设该三棱台为正三棱台，且，，
设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则．
在平面中，过作，垂足为，则平面，
且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为．
因为，，
所以，
故．
14．（2026·湖北黄冈·一模）在空间直角坐标系中，点，，定义．如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】分别求出点，的轨迹，然后把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，数形结合可得答案.
【详解】设，，∵，
∴，点的轨迹为．
又，
则，，
即，
化简得点的轨迹为．
在平面直角坐标系中作出，轨迹，设点轨迹与轴两个交点分别为，
点轨迹为圆，圆心为，半径，且与轴两个交点分别为，如下图所示，
结合图象得：，
又，，
所以．
四、解答题
15．（2026·西藏日喀则·模拟预测）如图，直四棱柱中，底面ABCD为矩形，且，G是的中点，P、E、F分别是棱AB、、CD上的点，且．
(1)证明：；
(2)当时，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】(1)由线面垂直证明线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系利用向量求解.
【详解】（1）因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，
由题意知该四棱柱是长方体，
故平面，所以平面，
而平面，所以．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，
所以，则，令，得，
设平面的一个法向量为，
所以，则，令，得，
，
由题意知二面角为钝角，所以其大小为．
16．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，.
(1)求证：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：连接，先利用平面几何知识求得，利用线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，表示点的坐标，设，利用向量数量积即可证明.
（2）先利用线面平行的性质定理得为的中点，然后求出平面的法向量，进而利用线面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）方法一：如图，连接，在矩形中，，，，
所以，，
又，，所以.
因为，所以，即.
因为平面，平面，所以.
因为，，，，平面，
所以平面，
又平面，所以.
方法二：由题意可知，，两两垂直，
故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
因为，，，则，，.
设，则，.
由可得，即.
（2）连接交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以.
因为四边形是矩形，所以为的中点，所以为的中点.
由题意可知，，，两两垂直，
故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
故，，，.
所以，，.
设为平面的一个法向量，
则，故可取.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现.
(1)求点P到平面的距离；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）分析与的垂直关系，确定二面角的平面角，再结合线面垂直的判定，找到在平面内的射影，进而利用三角函数计算距离；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值，进而求出正弦值.
【详解】（1）由题设，可知，
取中点，连接，，故，
又，，平面，
∴平面，
又平面，故.
故为平面与平面所成二面角的平面角，则.
因为平面，故平面平面，平面平面，
过作交于，
故平面.
∵，∴，
因此点到平面的距离为.
（2）以为坐标原点，直线，为x轴，y轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
，，.
设平面的法向量为，则，即
取，∴，
设平面的法向量为，则，即
取，∴，
∴，故，
所以二面角的正弦值为.
18．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面与侧面均为正方形，E，F分别是，的中点，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为侧面为正方形，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，
又平面，所以，
又侧面为正方形，所以，
又，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由及题意可得，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由得
取，则，，所以.
设平面的法向量为，
由得
取，则，，所以.
所以.
故平面与平面夹角的余弦值为.
19．（2026·河北沧州·一模）如图，在正方体中，O为其外接球的球心，，将棱BC延长到点E，使得，连接DE，，M为上靠近的三等分点．
(1)求证：平面.
(2)（i）求平面与球O的截面的面积；
（ii）若点P是OE与球面O的交点，求平面AMP与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法证明即可.
（2）（i）求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求得球心O到截面的距离，即可求得截面圆的半径，即可得解；
（ii）求出平面AMP与平面的法向量，然后利用面面夹角的向量公式求解即可.
【详解】（1）以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
平面的一个法向量可取，
则，所以，
又平面，所以平面．
（2）（ⅰ）由正方体性质可知，球O的半径，
则，，，，
，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则．
又，则球心O到截面的距离为，
所以截面圆的半径r满足，
所以截面圆的面积为．
（ⅱ）因为，，
所以，，
则，．
设平面AMP的一个法向量为，
则即
取，则．
所以，
即平面AMP与平面夹角的余弦值为．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考最后阶段冲刺训练14空间向量与立体几何（学生版）
训练要点：：①空间几何体的表面积和体积；②直观图；③几何体是内切，外接球问题；④空间中点线面的位置关系；⑤几何法证明平行和垂直关系；⑥求空间距离和空间角；⑦等体积法的应用；⑧空间向量在立体几何中的应用.
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·重庆·模拟预测）在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
6．（2026·安徽滁州·一模）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·河南开封·二模）在长方体中，，点分别为棱和的中点，点是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·云南昭通·模拟预测）将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（ ）
A．圆柱形原料的表面积为 B．圆柱形原料的体积为
C．圆锥形零件的表面积为 D．圆锥形零件的体积为
10．（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形的面积为 D．四边形的周长为
11．（2026·广东茂名·二模）已知正方体的棱长为1，则（ ）
A． B．在上的投影向量的模为1
C． D．与所成的角为45°
三、填空题
12．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________．
13．（2026·山西运城·二模）已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________.
14．（2026·湖北黄冈·一模）在空间直角坐标系中，点，，定义．如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为________．
四、解答题
15．（2026·西藏日喀则·模拟预测）如图，直四棱柱中，底面ABCD为矩形，且，G是的中点，P、E、F分别是棱AB、、CD上的点，且．
(1)证明：；
(2)当时，求二面角的大小．
16．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，.
(1)求证：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现.
(1)求点P到平面的距离；
(2)求二面角的正弦值.
18．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面与侧面均为正方形，E，F分别是，的中点，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
19．（2026·河北沧州·一模）如图，在正方体中，O为其外接球的球心，，将棱BC延长到点E，使得，连接DE，，M为上靠近的三等分点．
(1)求证：平面.
(2)（i）求平面与球O的截面的面积；
（ii）若点P是OE与球面O的交点，求平面AMP与平面夹角的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

展开更多......

收起↑