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第3章 《一次函数》提升卷——湘教版数学八（下）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为 ycm，腰长为 xcm，y与x的函数关系式为y=20-2x，那么自变量x 的取值范围是(　　)
A．x>0 B．02．若y=（m-3）x+1是关于x的一次函数，则 （　　）
A．m=3 B．m=-3 C．m≠3 D．m≠-3
3． 若正比例函数y= kx的图象经过点(1，-3)，则k的值为(　　)
A． B． C．3 D．-3
4． 已知一次函数的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是（　　）
A． B． C． D．
5．已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
6． 关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象经过（1，0）
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、三、四象限
D．当时，
7．以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
9．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（　　）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
10．周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从处骑行至处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发分钟．小李骑行分钟后，小张以原速的继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达地，小李一直保持原速前往地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程（单位：米）与小李骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为米/分钟；②小张出发分钟追上小李；③两地相距米；④小李比小张晚分钟到达地．其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的过程，在该变化过程中因变量是　 　．
12．已知函数是关于的一次函数，则的值为　 　．
13．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　．
14．若点 在一次函数 （ 为常数）的图象上，则 的大小关系是　 　．
15．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，　 　L．
16．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解是　 　．
17．在平面直角坐标系中，已知直线l：过点，且与坐标轴交于点，则当的面积为2，且直线与轴不平行时，直线的表达式为　 　．
18．如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，将绕着点B顺时针旋转得到，点A，D的对应点是点E，F，交于点G，连接交于点H，连接．则的长　 　．
三、解答题（共8题，共66分）
19．已知关于的函数．
（1）若这个函数的图象平行于直线，求的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围．
20．已知y与x+3成正比例，且当x=1，时，y=8
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当-2≤x≤8时，求y的取值范围.
21．根据要求解决问题：
（1）在同一平面直角坐标系中画出和的函数图象；
（2）直线和直线有什么共同点；
（3）请写出将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式．
22．在 2026 年春晚舞台，宇树科技的G1 与 H2 两款机器人表演《武 BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相.某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务，决定购买机器人来代替部分人工服务.已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元.
（1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元
（2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大
23．如图1，A，B两地与图书馆位于一直线上且位于图书馆两侧.甲，乙两位同学分别从A，B两地出发，相约到图书馆学习.已知甲步行先出发，几分钟后乙从B地以100米/分钟的速度慢跑出发，并且比甲先到达图书馆.下图2是表示两人之间的距离s（米）和甲离开A地的时间t（分钟）的关系图.
（1）B地到图书馆的路程是　 　米；
（2）求甲的步行速度；
（3）求两人何时相距2300米
24．已知甲、乙两地相距，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段、线段分别表示小宁、小波离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）小宁行驶的速度为_____．
（2）求小波离开甲地的路程与时间的函数表达式；
（3）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距．
25．设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。
（1）若该函数的图象过点（（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。
（2）已知点A（a，y1）和点都在该一次函数的图象上，求k的值。
（3）若k+b<0，点Q（5，m）（m>0）在该一次函数图象上，求证：
26．定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”．
【问题探究】
【概念初探】
（1）已知函数与函数具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”；
【模型构建】
（2）如图①，将直线向下平移个单位长度得到直线．若直线与的“对偶值”为，求与满足的关系式；
【深度探索】
（3）如图②，直线与轴、轴相交于A、B两点，直线与轴相交于点，直线上是否存在一个点，使得，且的面积等于3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得0<20-2x<2x，由20-2x>0，解得x<10，由20-2x<2x，解得x>5，则5故答案为： D.
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解.
2．【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：因为y=(m-3)x+1是关于x的一次函数，所以m-3≠0，解得m≠3.
故选 C.
【分析】根据一次函数的定义可得m-3≠0，求出m的取值范围即可.
3．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵点 A ( 1 ， 3 ) 在函数 y = k x 的图象上，
∴将 x = 1 ， y = 3 代入方程y = k x ，得
3 = k × 1
解得 k = 3
故答案为： 3.
【分析】 通过代入点A的坐标到函数解析式中，建立方程求解 k 的值.
4．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小
∴
∴当时，
故满足题意．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的增减性可得k<0，再把代入求出y的取值范围解答即可．
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数为
一次函数的图象与直线平行，
所以一次函数为
由可得函数与轴的交点为：
与函数的图象交y轴于同一点，
所以一次函数的解析式为：
故选A．
【分析】设一次函数为，根据直线平行性质可得一次函数为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当x=1时y=-2+4=2≠0，图象不过(1，0)，故A错误；
∵k=-2<0，y随x的增大而减小，故B错误；
∵k=-2<0，b=4>0，∴函数图象经过一、二、四象限，故C错误；
∵直线过(1，2)且y随x的增大而减小，∴ 当时， ，故D正确，
故选：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质逐项判断解答即可.
7．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴点，故在第一象限；
故答案为：A．
【分析】将已知二元一次方程和函数解析式联立方程组，解方程组可求出点P的坐标，同时可得到点P所在的象限.
8．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】由图可得，
甲无人机的速度为
乙无人机的速度为，
∴时，甲无人机所在的位置距离地面的高度为米，
乙无人机所在的位置距离地面的高度，
∴时，两架无人机的高度差为，
故选：C．
【分析】本题考查一次函数在实际问题中的应用，通过函数图象获取数据计算速度和高度差。由图象可知，甲无人机5s内上升了40m，根据速度=路程÷时间，可得甲的速度为；乙无人机从20m开始，5s后上升至40m，上升的路程为，因此乙的速度为。当时，甲的高度为速度乘以时间，即；乙的高度为初始高度加上上升的路程，即，两者高度差为。
9．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数图象与x轴交于点B
将代入得，，点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
OC即为AB边上的高h，即
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
即点的坐标为，
．
故选：A．
【分析】本题主要对一次函数图象上点的坐标特征进行考查，根据一次函数与x，y轴分别交于A、B两点．可求出点A和点B的坐标分别为点A的坐标为，点B的坐标为，再求出的长，利用面积法求出边上的高h=2.4，由意义中可以得出，过点D作的垂线，垂足为H，证明，可得出，设，则，在中有，解方程计算出。
10．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①、由函数图象可知，小李分钟骑行了米，
∴小李的速度为米/分钟，故①正确；
②、设小张一开始的速度为米/分钟，
则，
解得，
提速后小张的速度为米/分钟，
则小张提速后追上小李的时间为分钟，
∴小张出发分钟追上小李，故②错误；
③、由函数图象可知，小张从地到地共骑行了分钟，
∴两地的距离为：米，故③错误；
④、当小张到达地时，小李距离的路程为：，
∴小李比小张晚分钟到达地，故④正确；
综上，正确的结论为①④，
故答案为：．
【分析】
根据函数图象可知小李分钟骑行了米可判断①；设小张一开始的速度为米/分钟，列出方程求出的值，可得提速后小张的速度，再求出小张提速后追上小李的时间，得到小张出发追上小李的时间可判断②；观察图像横轴可得小张从地到地共骑行的时间，求出两地的距离为可判断③；再求出小张到达地时，小李距离的路程可判断④，逐一判断即可解答．
11．【答案】冰的厚度
【知识点】自变量、因变量
【解析】【解答】解： 冰的厚度随时间变化而变化， 在该变化过程中 时间是自变量，冰的厚度是因变量。
故答案为：冰的厚度。
【分析】根据自变量和因变量的定义进行选择即可。
12．【答案】-1
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：根据题意，得且，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解.
13．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设张白纸粘合后的总长度为，
∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为，
可得
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了根据实际问题列一次函数，运用方程求一次函数的解析式的运用，解答此题时求出函数的解析式是关键.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵-3<0，
∴又随x的增大而减小，
又∵3＞-2，
∴，
故答案为：.
【分析】根据一次函数的增减性解题即可.
15．【答案】38
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设当时的直线方程为
、在直线上，
∴，
∴．
直线解析式为，
∴当时，．
故答案为：38．
【分析】用待定系数法求出时的函数关系式，然后将代入即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线与相交于点，
∴当x=3时，n=-2×3+4=-2，
∴点A（3，-2），
∴关于x，y的方程组的解是，
故答案为：.
【分析】根据两直线相交求出点A的坐标，再求方程组的解即可。
17．【答案】或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入得，解得，
，
当时，
如图，当直线l：与x轴相交于点B时，
当时，，得
则，
的面积为2，，
，
解得，
∴直线的表达式为，
如图，当直线l：与y轴相交于点B时，
当时，得，
则，
的面积为2，，
，
解得，
∴直线的表达式为，
当时，直线l：，
的面积为2，，
，
解得，
∴直线的表达式为，
综上所述，直线的表达式为或或．
故答案为：或或．
【分析】
由直线上点的坐标特征可把代入得，从而得到直线的表达式，当时可直接得到直线的解析式，当时再分两种情况，即直线交x轴于点B时或直线交y轴于点B时，再利用三角形的面积公式结合直线与坐标轴的交点特征分别计算即可．
18．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示，以点B为原点，所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
在中，，
由旋转的性质可得，
∴；
设，
∴，
∴或（舍去），
∴，
同理可得直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】以点B为原点，所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，则，设直线解析式为，根据待定系数法将点B，D坐标代入解析式可得直线解析式为，同理可得直线解析式为，根据勾股定理可得BD，再根据旋转性质可得，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，同理可得直线解析式为，将x=4代入直线BG解析式可得，同理可得直线的解析式为，联立两直线解析式，解方程组可得，再根据两点间距离即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵函数y=(3m-1)x+m+3的图象平行于直线y=2x-3，
∴3m-1=2，
解得：m=1.
（2）解：∵函数y=(3m-1)x+m+3的图象经过第一、二、四象限，
∴，
解得：.
∴的取值范围为：．
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（）根据两一次函数图象平行的性质“当函数y1=k1x+b1，与y2=k2x+b2平行时，k1=k2”可得关于m的方程，解方程即可求解；
（）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解.
（1）由题意得：，
解得：，
∴的值为；
（2）由题意得：，
解得：，
∴的取值范围是．
20．【答案】（1）解：设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴y随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设，把 x=1，y=8 代入求出k的值解答即可
（2）根据（1）所求函数解析式可知y随x的增大而增大，然后代入时和求出函数值解答即可．
21．【答案】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
画图如下：
（2）解：由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限．
（3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）解：将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得 直线过点 ， 直线过点 ，再根据描点法作出函数图象即可.
（2）根据函数图象即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
画图如下：
（2）由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限．
（3）将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：．
22．【答案】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6-m)台.
依题意，得 解得2≤m≤4.
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则w=200m+150(6-m)=50m+900.
∵50>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=4时，w取得最大值，此时w=50×4+900=1 100，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“ 购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元 ”列方程组解答即可；
(2)设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6-m)台，根据题意求出m的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，即可得到w关于m的一次函数，根据函数的增减性解答即可.
23．【答案】（1）2000
（2）解：（5000-2000）÷50=60（米/分钟）
答：甲的步行速度为60米/分钟.
（3）解：当t=5分钟时，甲步行路程是300米，∴M（5，4700）.
当t=25分钟时，甲步行路程是1500米，乙慢跑的路程是2000米，
∴N（25，1500）.
∵图象过点M（5，4700），N（25，1500），
∴当y=2300时，x=20（分钟）.
答：甲出发20分钟时，两人相距2300米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： (1) ∵乙从B地出发到图书馆用时25-5=20分钟，速度为100米/分钟，
∴B地到图书馆的路程为100×20=2000米．
故答案为：2000.
【分析】(1)先根据乙的速度和跑步时间（25-5=20分钟），计算出B地到图书馆的路程为100×20=2000米；
(2)先算出A地到图书馆的路程为5000-2000=3000米，再除以甲的总用时50分钟，得到甲的步行速度为60米/分钟；
(3)先根据图象上两点M(5，4700)，N(25，1500)求出两人距离的函数解析式yMN=-160t+5500，再令y=2300解方程，得到符合条件的时间t=20分钟．
24．【答案】（1）
（2）解：设线段的函数表达式为，
把点代入，得，
解得，
∴小波离开甲地的路程与时间的函数表达式为；
（3）解：设线段的函数表达式为，
把和代入得，，
解得，
∴线段的函数表达式为，
相遇前两人恰好相距，则，
解得；
相遇后两人恰好相距，则，
解得；
当或时，都在行驶中的两人恰好相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由图可得，小宁行驶的速度为，
故答案为：；
【分析】（1）由图象可得小波从甲地出发一个小时候，小宁从甲地出发去乙地，然后在小波出发三小时后小宁到达了乙地，故小宁行驶的时间是3-1=2小时，所走的总路程为120km，从而根据路程、速度、时间三者的关系求解即可；
（）利用待定系数法解答即可求解；
（）利用待定系数法求出线段DE的函数表达式，分类讨论：①相遇前两人恰好相距20km时，小波距离甲地的距离减去小宁距离甲地的距离=20km，据此建立方程，求解即可；②相遇后两人恰好相距20km，小宁距离甲地的距离减去小波距离甲地的距离=20km，据此建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
（1）解：由图可得，小宁行驶的速度为，
故答案为：；
（2）解：设线段的函数表达式为，把点代入，得，
解得，
∴小波离开甲地的路程与时间的函数表达式为；
（3）解：设线段的函数表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴线段的函数表达式为，
相遇前两人恰好相距，则，
解得；
相遇后两人恰好相距，则，
解得；
当或时，都在行驶中的两人恰好相距．
25．【答案】（1）解：∵函数图象过点(-1，2)，
把点( 1，2)代入y=kx+b-3可得：
2=-k+b-3，
解得b=k+5。
当x=4时，
y=4k+b-3=4k+(k+5)-3=5k+2，
与点P的纵坐标一致，所以点P在函数图象上。
（2）解：∵点A(a，y1)、B(a-2，y1+2)在函数图象上，
∴y1=ak+b-3①，y1+2=(a-2)k+b-3②。
用②式减去①式可得：2=-2k，
解得k=-1。
（3）解：∵k+b<0，
∴b<-k；
又∵点Q(5，m)在函数上且m>0，
∴m=5k+b-3>0，
即b>3-5k。
∴3-5k即3-5k<-k，
3<4k，
解得k>。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】（1）先将已知点( 1，2)代入函数y=kx+b 3，求出b关于k的表达式，进而得到完整的函数表达式，再将点P的横坐标代入函数表达式，看得到的纵坐标是否与点P的纵坐标相等；
（2）因为点A(a，y1)和点B(a 2，y1+2)都在函数图象上，将这两点分别代入函数表达式，得到两个关于a、y1、k、b的等式，然后通过两式相减消去a、y1、b，从而求出k的值；
（3）先根据点Q(5，m)在函数图象上得到m关于k、b的表达式，再结合0m>0得到b关于k的一个不等式；然后由k+b<0得到b关于k的另一个不等式；最后通过这两个不等式得到关于k的不等式，进而求出k的取值范围。
26．【答案】解：（1）设点在函数的图象上，
函数与函数具有“对偶关系”，
点关于轴的对称点在函数的图象上，
，
又，
，解得，
当时，，
它们的“对偶值”为；
（2）直线向下平移个单位长度得到直线，
直线的解析式为，
直线与的“对偶值”为，
设点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上，
，，
，解得，
，
则与满足的关系式为；
（3）点在直线上，
设，
直线与轴相交于点，
，则，
第一种情况，如图②，在直线上取点，连接，
，
，
则直线的解析式为，
，
，解得，
的面积等于3，
，解得，
，
；
第二种情况，
如备用图，在直线上取点，连接，并延长交于点，
直线与轴、轴相交于A、B两点，
当时，，当时，，即，
，，
，，
，
，
，，
，
，
则，即是的中点，
，即，
设直线的解析式为，
，解得，
，则，
，解得，
的面积等于3，
，解得，
，
；
综上：存在，的值为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设点在函数的图象上，根据“对偶关系”的定义，得出点关于轴的对称点在函数的图象上，列方程，解方程计算即可解答．
（2）根据平移的性质得直线的解析式为，再根据“直线与的“对偶值”为”，可得，，联立方程组消去x得到，解答即可；
（3）设，根据直线与轴相交于点表示出，分两种情况：一，根据同位角相等两直线平行判定，根据平行线得性质得到直线的解析式为，可表示出，建立方程得，从而表示出，根据的面积等于3，列式为，解方程可得m的值；二，在直线上取点，连接，并延长交于点，根据直线与轴、轴相交于A、B两点，写出，，根据角度关系可判定得到，从而判定得出是的中点，根据中点坐标公式写出，根据直线的解析式为，表示出，建立方程得，表示出，根据的面积等于3，列式为，解方程可得m的值；解答即可．
1 / 1第3章 《一次函数》提升卷——湘教版数学八（下）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为 ycm，腰长为 xcm，y与x的函数关系式为y=20-2x，那么自变量x 的取值范围是(　　)
A．x>0 B．0【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得0<20-2x<2x，由20-2x>0，解得x<10，由20-2x<2x，解得x>5，则5故答案为： D.
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解.
2．若y=（m-3）x+1是关于x的一次函数，则 （　　）
A．m=3 B．m=-3 C．m≠3 D．m≠-3
【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：因为y=(m-3)x+1是关于x的一次函数，所以m-3≠0，解得m≠3.
故选 C.
【分析】根据一次函数的定义可得m-3≠0，求出m的取值范围即可.
3． 若正比例函数y= kx的图象经过点(1，-3)，则k的值为(　　)
A． B． C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵点 A ( 1 ， 3 ) 在函数 y = k x 的图象上，
∴将 x = 1 ， y = 3 代入方程y = k x ，得
3 = k × 1
解得 k = 3
故答案为： 3.
【分析】 通过代入点A的坐标到函数解析式中，建立方程求解 k 的值.
4． 已知一次函数的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小
∴
∴当时，
故满足题意．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的增减性可得k<0，再把代入求出y的取值范围解答即可．
5．已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数为
一次函数的图象与直线平行，
所以一次函数为
由可得函数与轴的交点为：
与函数的图象交y轴于同一点，
所以一次函数的解析式为：
故选A．
【分析】设一次函数为，根据直线平行性质可得一次函数为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
6． 关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象经过（1，0）
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、三、四象限
D．当时，
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当x=1时y=-2+4=2≠0，图象不过(1，0)，故A错误；
∵k=-2<0，y随x的增大而减小，故B错误；
∵k=-2<0，b=4>0，∴函数图象经过一、二、四象限，故C错误；
∵直线过(1，2)且y随x的增大而减小，∴ 当时， ，故D正确，
故选：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质逐项判断解答即可.
7．以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴点，故在第一象限；
故答案为：A．
【分析】将已知二元一次方程和函数解析式联立方程组，解方程组可求出点P的坐标，同时可得到点P所在的象限.
8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】由图可得，
甲无人机的速度为
乙无人机的速度为，
∴时，甲无人机所在的位置距离地面的高度为米，
乙无人机所在的位置距离地面的高度，
∴时，两架无人机的高度差为，
故选：C．
【分析】本题考查一次函数在实际问题中的应用，通过函数图象获取数据计算速度和高度差。由图象可知，甲无人机5s内上升了40m，根据速度=路程÷时间，可得甲的速度为；乙无人机从20m开始，5s后上升至40m，上升的路程为，因此乙的速度为。当时，甲的高度为速度乘以时间，即；乙的高度为初始高度加上上升的路程，即，两者高度差为。
9．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（　　）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数图象与x轴交于点B
将代入得，，点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
OC即为AB边上的高h，即
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
即点的坐标为，
．
故选：A．
【分析】本题主要对一次函数图象上点的坐标特征进行考查，根据一次函数与x，y轴分别交于A、B两点．可求出点A和点B的坐标分别为点A的坐标为，点B的坐标为，再求出的长，利用面积法求出边上的高h=2.4，由意义中可以得出，过点D作的垂线，垂足为H，证明，可得出，设，则，在中有，解方程计算出。
10．周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从处骑行至处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发分钟．小李骑行分钟后，小张以原速的继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达地，小李一直保持原速前往地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程（单位：米）与小李骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为米/分钟；②小张出发分钟追上小李；③两地相距米；④小李比小张晚分钟到达地．其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①、由函数图象可知，小李分钟骑行了米，
∴小李的速度为米/分钟，故①正确；
②、设小张一开始的速度为米/分钟，
则，
解得，
提速后小张的速度为米/分钟，
则小张提速后追上小李的时间为分钟，
∴小张出发分钟追上小李，故②错误；
③、由函数图象可知，小张从地到地共骑行了分钟，
∴两地的距离为：米，故③错误；
④、当小张到达地时，小李距离的路程为：，
∴小李比小张晚分钟到达地，故④正确；
综上，正确的结论为①④，
故答案为：．
【分析】
根据函数图象可知小李分钟骑行了米可判断①；设小张一开始的速度为米/分钟，列出方程求出的值，可得提速后小张的速度，再求出小张提速后追上小李的时间，得到小张出发追上小李的时间可判断②；观察图像横轴可得小张从地到地共骑行的时间，求出两地的距离为可判断③；再求出小张到达地时，小李距离的路程可判断④，逐一判断即可解答．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的过程，在该变化过程中因变量是　 　．
【答案】冰的厚度
【知识点】自变量、因变量
【解析】【解答】解： 冰的厚度随时间变化而变化， 在该变化过程中 时间是自变量，冰的厚度是因变量。
故答案为：冰的厚度。
【分析】根据自变量和因变量的定义进行选择即可。
12．已知函数是关于的一次函数，则的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：根据题意，得且，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解.
13．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设张白纸粘合后的总长度为，
∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为，
可得
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了根据实际问题列一次函数，运用方程求一次函数的解析式的运用，解答此题时求出函数的解析式是关键.
14．若点 在一次函数 （ 为常数）的图象上，则 的大小关系是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵-3<0，
∴又随x的增大而减小，
又∵3＞-2，
∴，
故答案为：.
【分析】根据一次函数的增减性解题即可.
15．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，　 　L．
【答案】38
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设当时的直线方程为
、在直线上，
∴，
∴．
直线解析式为，
∴当时，．
故答案为：38．
【分析】用待定系数法求出时的函数关系式，然后将代入即可得出答案.
16．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线与相交于点，
∴当x=3时，n=-2×3+4=-2，
∴点A（3，-2），
∴关于x，y的方程组的解是，
故答案为：.
【分析】根据两直线相交求出点A的坐标，再求方程组的解即可。
17．在平面直角坐标系中，已知直线l：过点，且与坐标轴交于点，则当的面积为2，且直线与轴不平行时，直线的表达式为　 　．
【答案】或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入得，解得，
，
当时，
如图，当直线l：与x轴相交于点B时，
当时，，得
则，
的面积为2，，
，
解得，
∴直线的表达式为，
如图，当直线l：与y轴相交于点B时，
当时，得，
则，
的面积为2，，
，
解得，
∴直线的表达式为，
当时，直线l：，
的面积为2，，
，
解得，
∴直线的表达式为，
综上所述，直线的表达式为或或．
故答案为：或或．
【分析】
由直线上点的坐标特征可把代入得，从而得到直线的表达式，当时可直接得到直线的解析式，当时再分两种情况，即直线交x轴于点B时或直线交y轴于点B时，再利用三角形的面积公式结合直线与坐标轴的交点特征分别计算即可．
18．如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，将绕着点B顺时针旋转得到，点A，D的对应点是点E，F，交于点G，连接交于点H，连接．则的长　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示，以点B为原点，所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
在中，，
由旋转的性质可得，
∴；
设，
∴，
∴或（舍去），
∴，
同理可得直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】以点B为原点，所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，则，设直线解析式为，根据待定系数法将点B，D坐标代入解析式可得直线解析式为，同理可得直线解析式为，根据勾股定理可得BD，再根据旋转性质可得，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，同理可得直线解析式为，将x=4代入直线BG解析式可得，同理可得直线的解析式为，联立两直线解析式，解方程组可得，再根据两点间距离即可求出答案.
三、解答题（共8题，共66分）
19．已知关于的函数．
（1）若这个函数的图象平行于直线，求的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数y=(3m-1)x+m+3的图象平行于直线y=2x-3，
∴3m-1=2，
解得：m=1.
（2）解：∵函数y=(3m-1)x+m+3的图象经过第一、二、四象限，
∴，
解得：.
∴的取值范围为：．
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（）根据两一次函数图象平行的性质“当函数y1=k1x+b1，与y2=k2x+b2平行时，k1=k2”可得关于m的方程，解方程即可求解；
（）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解.
（1）由题意得：，
解得：，
∴的值为；
（2）由题意得：，
解得：，
∴的取值范围是．
20．已知y与x+3成正比例，且当x=1，时，y=8
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当-2≤x≤8时，求y的取值范围.
【答案】（1）解：设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴y随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设，把 x=1，y=8 代入求出k的值解答即可
（2）根据（1）所求函数解析式可知y随x的增大而增大，然后代入时和求出函数值解答即可．
21．根据要求解决问题：
（1）在同一平面直角坐标系中画出和的函数图象；
（2）直线和直线有什么共同点；
（3）请写出将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式．
【答案】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
画图如下：
（2）解：由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限．
（3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）解：将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得 直线过点 ， 直线过点 ，再根据描点法作出函数图象即可.
（2）根据函数图象即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
画图如下：
（2）由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限．
（3）将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：．
22．在 2026 年春晚舞台，宇树科技的G1 与 H2 两款机器人表演《武 BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相.某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务，决定购买机器人来代替部分人工服务.已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元.
（1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元
（2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大
【答案】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6-m)台.
依题意，得 解得2≤m≤4.
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则w=200m+150(6-m)=50m+900.
∵50>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=4时，w取得最大值，此时w=50×4+900=1 100，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“ 购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元 ”列方程组解答即可；
(2)设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6-m)台，根据题意求出m的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，即可得到w关于m的一次函数，根据函数的增减性解答即可.
23．如图1，A，B两地与图书馆位于一直线上且位于图书馆两侧.甲，乙两位同学分别从A，B两地出发，相约到图书馆学习.已知甲步行先出发，几分钟后乙从B地以100米/分钟的速度慢跑出发，并且比甲先到达图书馆.下图2是表示两人之间的距离s（米）和甲离开A地的时间t（分钟）的关系图.
（1）B地到图书馆的路程是　 　米；
（2）求甲的步行速度；
（3）求两人何时相距2300米
【答案】（1）2000
（2）解：（5000-2000）÷50=60（米/分钟）
答：甲的步行速度为60米/分钟.
（3）解：当t=5分钟时，甲步行路程是300米，∴M（5，4700）.
当t=25分钟时，甲步行路程是1500米，乙慢跑的路程是2000米，
∴N（25，1500）.
∵图象过点M（5，4700），N（25，1500），
∴当y=2300时，x=20（分钟）.
答：甲出发20分钟时，两人相距2300米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： (1) ∵乙从B地出发到图书馆用时25-5=20分钟，速度为100米/分钟，
∴B地到图书馆的路程为100×20=2000米．
故答案为：2000.
【分析】(1)先根据乙的速度和跑步时间（25-5=20分钟），计算出B地到图书馆的路程为100×20=2000米；
(2)先算出A地到图书馆的路程为5000-2000=3000米，再除以甲的总用时50分钟，得到甲的步行速度为60米/分钟；
(3)先根据图象上两点M(5，4700)，N(25，1500)求出两人距离的函数解析式yMN=-160t+5500，再令y=2300解方程，得到符合条件的时间t=20分钟．
24．已知甲、乙两地相距，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段、线段分别表示小宁、小波离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）小宁行驶的速度为_____．
（2）求小波离开甲地的路程与时间的函数表达式；
（3）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距．
【答案】（1）
（2）解：设线段的函数表达式为，
把点代入，得，
解得，
∴小波离开甲地的路程与时间的函数表达式为；
（3）解：设线段的函数表达式为，
把和代入得，，
解得，
∴线段的函数表达式为，
相遇前两人恰好相距，则，
解得；
相遇后两人恰好相距，则，
解得；
当或时，都在行驶中的两人恰好相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由图可得，小宁行驶的速度为，
故答案为：；
【分析】（1）由图象可得小波从甲地出发一个小时候，小宁从甲地出发去乙地，然后在小波出发三小时后小宁到达了乙地，故小宁行驶的时间是3-1=2小时，所走的总路程为120km，从而根据路程、速度、时间三者的关系求解即可；
（）利用待定系数法解答即可求解；
（）利用待定系数法求出线段DE的函数表达式，分类讨论：①相遇前两人恰好相距20km时，小波距离甲地的距离减去小宁距离甲地的距离=20km，据此建立方程，求解即可；②相遇后两人恰好相距20km，小宁距离甲地的距离减去小波距离甲地的距离=20km，据此建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
（1）解：由图可得，小宁行驶的速度为，
故答案为：；
（2）解：设线段的函数表达式为，把点代入，得，
解得，
∴小波离开甲地的路程与时间的函数表达式为；
（3）解：设线段的函数表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴线段的函数表达式为，
相遇前两人恰好相距，则，
解得；
相遇后两人恰好相距，则，
解得；
当或时，都在行驶中的两人恰好相距．
25．设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。
（1）若该函数的图象过点（（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。
（2）已知点A（a，y1）和点都在该一次函数的图象上，求k的值。
（3）若k+b<0，点Q（5，m）（m>0）在该一次函数图象上，求证：
【答案】（1）解：∵函数图象过点(-1，2)，
把点( 1，2)代入y=kx+b-3可得：
2=-k+b-3，
解得b=k+5。
当x=4时，
y=4k+b-3=4k+(k+5)-3=5k+2，
与点P的纵坐标一致，所以点P在函数图象上。
（2）解：∵点A(a，y1)、B(a-2，y1+2)在函数图象上，
∴y1=ak+b-3①，y1+2=(a-2)k+b-3②。
用②式减去①式可得：2=-2k，
解得k=-1。
（3）解：∵k+b<0，
∴b<-k；
又∵点Q(5，m)在函数上且m>0，
∴m=5k+b-3>0，
即b>3-5k。
∴3-5k即3-5k<-k，
3<4k，
解得k>。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】（1）先将已知点( 1，2)代入函数y=kx+b 3，求出b关于k的表达式，进而得到完整的函数表达式，再将点P的横坐标代入函数表达式，看得到的纵坐标是否与点P的纵坐标相等；
（2）因为点A(a，y1)和点B(a 2，y1+2)都在函数图象上，将这两点分别代入函数表达式，得到两个关于a、y1、k、b的等式，然后通过两式相减消去a、y1、b，从而求出k的值；
（3）先根据点Q(5，m)在函数图象上得到m关于k、b的表达式，再结合0m>0得到b关于k的一个不等式；然后由k+b<0得到b关于k的另一个不等式；最后通过这两个不等式得到关于k的不等式，进而求出k的取值范围。
26．定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”．
【问题探究】
【概念初探】
（1）已知函数与函数具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”；
【模型构建】
（2）如图①，将直线向下平移个单位长度得到直线．若直线与的“对偶值”为，求与满足的关系式；
【深度探索】
（3）如图②，直线与轴、轴相交于A、B两点，直线与轴相交于点，直线上是否存在一个点，使得，且的面积等于3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）设点在函数的图象上，
函数与函数具有“对偶关系”，
点关于轴的对称点在函数的图象上，
，
又，
，解得，
当时，，
它们的“对偶值”为；
（2）直线向下平移个单位长度得到直线，
直线的解析式为，
直线与的“对偶值”为，
设点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上，
，，
，解得，
，
则与满足的关系式为；
（3）点在直线上，
设，
直线与轴相交于点，
，则，
第一种情况，如图②，在直线上取点，连接，
，
，
则直线的解析式为，
，
，解得，
的面积等于3，
，解得，
，
；
第二种情况，
如备用图，在直线上取点，连接，并延长交于点，
直线与轴、轴相交于A、B两点，
当时，，当时，，即，
，，
，，
，
，
，，
，
，
则，即是的中点，
，即，
设直线的解析式为，
，解得，
，则，
，解得，
的面积等于3，
，解得，
，
；
综上：存在，的值为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设点在函数的图象上，根据“对偶关系”的定义，得出点关于轴的对称点在函数的图象上，列方程，解方程计算即可解答．
（2）根据平移的性质得直线的解析式为，再根据“直线与的“对偶值”为”，可得，，联立方程组消去x得到，解答即可；
（3）设，根据直线与轴相交于点表示出，分两种情况：一，根据同位角相等两直线平行判定，根据平行线得性质得到直线的解析式为，可表示出，建立方程得，从而表示出，根据的面积等于3，列式为，解方程可得m的值；二，在直线上取点，连接，并延长交于点，根据直线与轴、轴相交于A、B两点，写出，，根据角度关系可判定得到，从而判定得出是的中点，根据中点坐标公式写出，根据直线的解析式为，表示出，建立方程得，表示出，根据的面积等于3，列式为，解方程可得m的值；解答即可．
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