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第3章 《一次函数》基础卷——湘教版数学八（下）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个选项中，不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解： A：y = 2x - 7 为一次函数，每个 x 对应唯一的 y，是函数，A不符合题意。B：y =为反比例函数（x 0），每个 x 对应唯一的 y，是函数，B不符合题意。
C：y = x2 为二次函数，每个 x 对应唯一的 y，是函数，C不符合题意。
D：y =表示对于每个 x（x0），y 有两个值（正负平方根）与之对应，不满足函数定义中“唯一确定”的要求，因此 y 不是 x 的函数，D符合题意。
故选：D．
【分析】本题考查函数的基本概念，核心在于理解对于自变量的每一个确定的值，因变量有且只有一个值与之对应。
2．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞3 D．x≥3
【答案】D
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选D．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
3．太原市第 37 中学校 A 同学在新冠疫情期间，妈妈每天为其测量体温，为了较直观地了 解这位同学这个月的日期和每天体温的变化趋势，可选择的比较好的方法是（　　）
A．表格法 B．图象法
C．关系式法 D．以上三种方法均可
【答案】B
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：妈妈为了较直观地了解这位同学这个月的日期和每天体温的变化趋势，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况，
故答案为：B．
【分析】表格法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；关系式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
4．若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：m＝ 1．
故选：C．
【分析】本题考查实数、无理数及平方根的定义，需依据定义对每个选项进行辨析。选项A，根据平方根的定义，若，则x的值为±3，因此9的平方根是±3，而非仅3；选项B，π是无限不循环小数，符合无理数的定义，该说法正确；选项C，实数的分类包括正实数、0和负实数，原说法遗漏了0，表述不完整；选项D，，2是整数，属于有理数，并非无理数，因此该选项错误。
5．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：∵树现在高，每月长高，
∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度，
即：。
故答案为：A
【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系式，核心是分析变量之间的变化规律。树的高度由初始高度和增长高度两部分组成，初始高度是固定不变的50cm，增长高度与时间x相关，每月增长2cm，x个月的增长高度即为2x cm。解题时只需将初始高度与增长高度相加，即可得到y与x的关系式，即总高度y等于初始高度50cm加上x个月的增长高度2x cm。
6．关于一次函数y=-3x+5，下列说法正确的是（　　）
A．图象过点(3，0)
B．y随着x的增大而增大
C．其图象可由 y=3x的图象向上平移5个单位长度得到
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： A.当x=3时， y=-3×3+5=-4≠0， ∴图象不过点(3，0)，A错误，不符合题意；
B. k=-3<0， ∴y随x的增大而减小， B错误，不符合题意；
C. y=3x的图象向上平移5个单位长度得到y=3x+5，不是y=-3x+5， C错误，不符合题意；
D. k=-3<0， b=5>0， ∴图象经过第一、二、四象限，D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、增减性、图象平移规律和图象所在象限逐项判断解答即可.
7．将直线向右平移1个单位后，正好经过点，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设将直线向右平移1个单位长度后的解析式为，
将代入，
可得，
解得：，
故选D．
【分析】设将直线向右平移1个单位长度后的解析式为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
8．已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像的交点坐标为：，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的内在联系，其核心关系是：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标。因为两个一次函数的解析式分别对应方程组中的两个方程，联立方程组求解的过程，本质上就是求两个函数图象交点的横、纵坐标，题目中已给出方程组的解为，所以这个解对应的横、纵坐标就是两个一次函数图象交点的坐标。
9．学校组织甲、乙两队预备共青团员步行前往距离学校的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交通拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发．已知乙队始终以的速度匀速前进，甲队匀速前进后速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了
【答案】D
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A选项：由图象可得，乙队所用的时间为：（），
所以乙队比甲队晚出发：（），故选项A正确，A不符合题意；
B选项：设甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，即甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，故选项B正确，B不符合题意；
C选项：甲队开始减速时，乙队前进的路程为：（），故选项C正确，C不符合题意；
D选项：当甲队某同学在甲队前进了时掉队，甲队前进的路程为：（），
乙队前进用的时间为：（），
（），即甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
当甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，
此时乙队前进的路程为：（）
设乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，即乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，设当甲队某同学在甲队前进了时掉队（甲队减速后），甲队前进的路程为：（），
此时乙队前进的路程为：（），
则，解得，
即甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
故选项D错误，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，解题关键在于正确理解函数图象所表示的实际意义。通过分析题目中给出的函数图象和相关数据，可以逐一验证各选项结论的正确性，进而得出最终答案。具体分析如下：需要明确图象中横纵坐标代表的实际量，根据图象特征（如斜率、截距等）建立对应的函数关系，将题目条件代入函数关系进行验证计算，对各个选项进行逐一判断。注意：在分析过程中要特别注意图象转折点、交点等关键位置的实际意义，这些往往是解题的突破口。
10．两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意；
D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象判断b的正负解题即可．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0．
∴y=3x+2即可，
故答案为：y=3x+2.
【分析】根据一次函数的定义解答，一次函数的定义：一次函数y=kx+b中：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1.
12．如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是　 　；
【答案】1
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可得，点C是函数的图象的最低点，
∴当时，函数在有最小值，最小值为1，
故答案为1．
【分析】本题主要对函数的图象进行考查，根据函数的图象可看出C点的纵坐标即为函数的最小值，所以最小值为-1.
13．已知 是关于x的正比例函数，当x=-4时，y的值为　 　.
【答案】24
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题可得 且k-3≠0，解得k=-3，所以y=-6x.当x=-4时，y=-6×(-4)=24.
故答案为：24.
【分析】根据正比例函数关系式：y=kx(k≠0)，得出 -9=0，且k-3≠0，得出k=-3，然后把k=-3，代入函数解析式 中，得到解析式y=-6x，代入x的值，即可解答.
14．如果一次函数y=kx-3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　 　。（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：把x=1，y=0代入y=kx 3，
得到0=k×1 3，
即k 3=0，
解得k=3，
k=3>0，
∴y的值随x的增大而增大。
故答案为：增大
【分析】首先利用一次函数图象上点的坐标特征，将已知点(1，0)代入一次函数y=kx 3中，求出k的值。然后依据一次函数y=kx+b（k≠0）中k的正负与函数增减性的关系（当k>0时，y的值随x的增大而增大；当k<0时，y的值随x的增大而减小），判断出y随x的变化情况。
15．已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入，
可得，，
方程组的解为：，
一次函数和的图象的交点坐标为：
故答案为：。
【分析】利用“二元一次方程组的解就是对应一次函数图象的交点坐标”这一核心关系。先将已知的 代入 ，求出 ，得到方程组的完整解 。该解即为两个一次函数 和 图象的交点坐标 。
16．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人的身高为时，指距为．篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是　 　cm．（结果精确到）
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设与的函数关系式为．
由题意可得，
解得，
与之间的函数关系式；
当时，，
解得：
故答案为：．
【分析】
根据数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，将代入解析式，求出指距即可解答．
17．如图，平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其中是四个格点，随（为任意常数）的变化，动点会经过的点是　 　．
【答案】A
【知识点】函数解析式；一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，
∴，
即，
∴点P的轨迹是直线：，
∴由图可知只有点A符合．
故答案为：A．
【分析】利用点坐标的定义可得，再将点A、B、C、D的坐标分别代入判断即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，将线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，连接，形成等腰直角，其中．连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图1，过点B作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴点，
∴点B在直线上运动，
如图3，作关于直线的对称点，
由三角形三边关系可得，
∴当、B、A共线时，取得最小值=，
，
故答案为：．
【分析】过点B作于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，设点的坐标为，点的坐标为，则，，即点B在直线上运动，作关于直线的对称点，根据三角形三边关系可得，当、B、A共线时，取得最小值=，根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（共8题，共66分）
19．已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
【答案】（1）解：由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数；
（2）解：由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
【知识点】函数值；一次函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义，明确一次函数中自变量的次数为1且一次项系数不为0这两个条件，建立关于m的方程和不等式来求解m的值；
（2）先根据（1）中求得的m值确定一次函数的具体表达式，再将y的值代入函数表达式，通过解方程求出对应的x值。
20．已知一次函数，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（2）根据函数图象回答：当　 　时，．
【答案】（1）画图如下：
（2）
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】（1）将x=0，y=0分别代入，
得到一次函数与x轴，y轴的交点，
连接即可画出图象。
（2）根据所画图象，
一次函数与x轴的交点为（-3，0），
当<-3时，.
【分析】(1)先分别计算出一次函数与x轴，y轴的交点，连接交点即可画出图象。
（2）根据图象以及一次函数性质，当<-3时，函数位于x轴下面，所以当<-3时，.
21．已知正比例函数．
（1）若它的图象经过第二、四象限，求的取值范围；
（2）若点在它的图象上，求它的解析式．
【答案】（1）解：∵函数图象经过第二、四象限∴，
解得：，
即的取值范围是。
（2）解：将点代入函数解析式中，
得：，解得：，
∴正比例函数解析式为．
【知识点】正比例函数的概念；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象经过第二、四象限，可以判断出函数的图象，进一步确定，然后即可求解；
（2）将点代入函数解析式中，利用待定系数法列出解析式，然后求解即可。
（1）解：∵函数图象经过第二、四象限
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（2）将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为．
22．已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由．
【答案】（1）解：∵与成正比例
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：
在中，当时，，
∴点是上述函数图象上的点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）形如“y=kx(k≠0)”的函数就是正比例函数，根据可设，然后将x=2与y=-1代入计算可求出k的值，从而即可求出y关于x的函数关系式；
（2）将x=-1代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值，即可判断得出答案.
（1）解：设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：
在中，当时，，
∴点是上述函数图象上的点．
23．如图，在平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号两架无人机在队形变换中飞行的高度 （米）与飞行时间x（秒）的函数图象，其中，线段与相交于点轴于点轴于点C，点D的横坐标为30．
根据图象回答下列问题：
（1）图中点B的坐标为_______．
（2）求线段对应的函数表达式，并求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，，．设线段对应的函数表达式为（为常数，且）．
将坐标，分别代入得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为，
联立解得，
∴点P的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
（1）解：当时，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
（1）由于BD垂直x轴，即B、D两点横坐标相向，则可利用直线上点的坐标特征代入点B的横坐标即可；
（2）由于BC垂直y轴，即点B、C两点纵坐标相同，即点C坐标可求，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，再联立AB的解析式可得方程组并求解即可．
（1）解：当时，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：根据题意，，．
设线段对应的函数表达式为（为常数，且）．
将坐标，分别代入得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为，
联立解得，
∴点P的坐标为．
24．为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．
（1）求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）可设A种冰箱贴的单价是a元，则B种冰箱贴的单价是元，再根据等量关系“用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同”列分式方程并求解即可；
（2）设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个，再根据不等关系“A种的数量至少比B种的数量多27个”列不等式求出x的范围，再设购买两种冰箱贴的总费用为W元，可得出W是关于x的一次函数，最后根据一次函数的增减性求解即可.
（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．
根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
25．经测试，在使用快速充电器和普通充电器对某款手机充电时，其电量y(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象分别为图中的折线段OA—AB，OC—CD.根据以上信息，回答下列问题.
（1）求线段OA 对应的函数表达式.
（2）用充电器给电量仅剩20%的手机充满电，快速充电器比普通充电器少用几小时
【答案】（1）解：由图可设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，当时，线段对应的函数，
解得；
当时，对应的点，即快速充电器充满电需要小时；
设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
当时，，
解得；
当时，对应的点，即普通充电器充满电需要小时；
小时；
∴快速充电器比普通充电器少用小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）先分别根据函数解析式求出快速充电器和普通充电器需要的时间，然后求差解答即可．
26．如图，已知直线与坐标轴交于，两点，点是轴负半轴上一点，点，点是线段上一动点（不与端点重合），过点作轴，交于．
（1）求所在直线的解析式；
（2）若轴于点，点的坐标为，请用含的代数式表示的长；
（3）在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由直线中，令可得，令可求得，
∴，，
∵，
设直线解析式为，代入得：
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，点在直线图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，在直线图象上，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为，
当，时，如图，作于点，则，
设，的纵坐标为，
则，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，设直线解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得点的坐标为，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得点的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，时，设，则，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案；当，时，设，则，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案；当，时，作于点，则，设，的纵坐标为，则，，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由直线中，令可得，令可求得，
∴，，
∵，
设直线解析式为，代入得：
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，点在直线图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，在直线图象上，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为，
当，时，如图，作于点，则，
设，的纵坐标为，
则，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
1 / 1第3章 《一次函数》基础卷——湘教版数学八（下）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个选项中，不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞3 D．x≥3
3．太原市第 37 中学校 A 同学在新冠疫情期间，妈妈每天为其测量体温，为了较直观地了 解这位同学这个月的日期和每天体温的变化趋势，可选择的比较好的方法是（　　）
A．表格法 B．图象法
C．关系式法 D．以上三种方法均可
4．若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
5．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(　　)
A． B． C． D．
6．关于一次函数y=-3x+5，下列说法正确的是（　　）
A．图象过点(3，0)
B．y随着x的增大而增大
C．其图象可由 y=3x的图象向上平移5个单位长度得到
D．图象经过第一、二、四象限
7．将直线向右平移1个单位后，正好经过点，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．学校组织甲、乙两队预备共青团员步行前往距离学校的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交通拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发．已知乙队始终以的速度匀速前进，甲队匀速前进后速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了
10．两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是　 　.
12．如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是　 　；
13．已知 是关于x的正比例函数，当x=-4时，y的值为　 　.
14．如果一次函数y=kx-3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　 　。（填“增大”或“减小”）
15．已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为　 　．
16．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人的身高为时，指距为．篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是　 　cm．（结果精确到）
17．如图，平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其中是四个格点，随（为任意常数）的变化，动点会经过的点是　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，将线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，连接，形成等腰直角，其中．连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（共8题，共66分）
19．已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
20．已知一次函数，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（2）根据函数图象回答：当　 　时，．
21．已知正比例函数．
（1）若它的图象经过第二、四象限，求的取值范围；
（2）若点在它的图象上，求它的解析式．
22．已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号两架无人机在队形变换中飞行的高度 （米）与飞行时间x（秒）的函数图象，其中，线段与相交于点轴于点轴于点C，点D的横坐标为30．
根据图象回答下列问题：
（1）图中点B的坐标为_______．
（2）求线段对应的函数表达式，并求出点P的坐标．
24．为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．
（1）求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．
25．经测试，在使用快速充电器和普通充电器对某款手机充电时，其电量y(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象分别为图中的折线段OA—AB，OC—CD.根据以上信息，回答下列问题.
（1）求线段OA 对应的函数表达式.
（2）用充电器给电量仅剩20%的手机充满电，快速充电器比普通充电器少用几小时
26．如图，已知直线与坐标轴交于，两点，点是轴负半轴上一点，点，点是线段上一动点（不与端点重合），过点作轴，交于．
（1）求所在直线的解析式；
（2）若轴于点，点的坐标为，请用含的代数式表示的长；
（3）在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解： A：y = 2x - 7 为一次函数，每个 x 对应唯一的 y，是函数，A不符合题意。B：y =为反比例函数（x 0），每个 x 对应唯一的 y，是函数，B不符合题意。
C：y = x2 为二次函数，每个 x 对应唯一的 y，是函数，C不符合题意。
D：y =表示对于每个 x（x0），y 有两个值（正负平方根）与之对应，不满足函数定义中“唯一确定”的要求，因此 y 不是 x 的函数，D符合题意。
故选：D．
【分析】本题考查函数的基本概念，核心在于理解对于自变量的每一个确定的值，因变量有且只有一个值与之对应。
2．【答案】D
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选D．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
3．【答案】B
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：妈妈为了较直观地了解这位同学这个月的日期和每天体温的变化趋势，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况，
故答案为：B．
【分析】表格法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；关系式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
4．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：m＝ 1．
故选：C．
【分析】本题考查实数、无理数及平方根的定义，需依据定义对每个选项进行辨析。选项A，根据平方根的定义，若，则x的值为±3，因此9的平方根是±3，而非仅3；选项B，π是无限不循环小数，符合无理数的定义，该说法正确；选项C，实数的分类包括正实数、0和负实数，原说法遗漏了0，表述不完整；选项D，，2是整数，属于有理数，并非无理数，因此该选项错误。
5．【答案】A
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：∵树现在高，每月长高，
∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度，
即：。
故答案为：A
【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系式，核心是分析变量之间的变化规律。树的高度由初始高度和增长高度两部分组成，初始高度是固定不变的50cm，增长高度与时间x相关，每月增长2cm，x个月的增长高度即为2x cm。解题时只需将初始高度与增长高度相加，即可得到y与x的关系式，即总高度y等于初始高度50cm加上x个月的增长高度2x cm。
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： A.当x=3时， y=-3×3+5=-4≠0， ∴图象不过点(3，0)，A错误，不符合题意；
B. k=-3<0， ∴y随x的增大而减小， B错误，不符合题意；
C. y=3x的图象向上平移5个单位长度得到y=3x+5，不是y=-3x+5， C错误，不符合题意；
D. k=-3<0， b=5>0， ∴图象经过第一、二、四象限，D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、增减性、图象平移规律和图象所在象限逐项判断解答即可.
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设将直线向右平移1个单位长度后的解析式为，
将代入，
可得，
解得：，
故选D．
【分析】设将直线向右平移1个单位长度后的解析式为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像的交点坐标为：，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的内在联系，其核心关系是：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标。因为两个一次函数的解析式分别对应方程组中的两个方程，联立方程组求解的过程，本质上就是求两个函数图象交点的横、纵坐标，题目中已给出方程组的解为，所以这个解对应的横、纵坐标就是两个一次函数图象交点的坐标。
9．【答案】D
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A选项：由图象可得，乙队所用的时间为：（），
所以乙队比甲队晚出发：（），故选项A正确，A不符合题意；
B选项：设甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，即甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，故选项B正确，B不符合题意；
C选项：甲队开始减速时，乙队前进的路程为：（），故选项C正确，C不符合题意；
D选项：当甲队某同学在甲队前进了时掉队，甲队前进的路程为：（），
乙队前进用的时间为：（），
（），即甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
当甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，
此时乙队前进的路程为：（）
设乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，即乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，设当甲队某同学在甲队前进了时掉队（甲队减速后），甲队前进的路程为：（），
此时乙队前进的路程为：（），
则，解得，
即甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
故选项D错误，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，解题关键在于正确理解函数图象所表示的实际意义。通过分析题目中给出的函数图象和相关数据，可以逐一验证各选项结论的正确性，进而得出最终答案。具体分析如下：需要明确图象中横纵坐标代表的实际量，根据图象特征（如斜率、截距等）建立对应的函数关系，将题目条件代入函数关系进行验证计算，对各个选项进行逐一判断。注意：在分析过程中要特别注意图象转折点、交点等关键位置的实际意义，这些往往是解题的突破口。
10．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意；
D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象判断b的正负解题即可．
11．【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0．
∴y=3x+2即可，
故答案为：y=3x+2.
【分析】根据一次函数的定义解答，一次函数的定义：一次函数y=kx+b中：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1.
12．【答案】1
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可得，点C是函数的图象的最低点，
∴当时，函数在有最小值，最小值为1，
故答案为1．
【分析】本题主要对函数的图象进行考查，根据函数的图象可看出C点的纵坐标即为函数的最小值，所以最小值为-1.
13．【答案】24
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题可得 且k-3≠0，解得k=-3，所以y=-6x.当x=-4时，y=-6×(-4)=24.
故答案为：24.
【分析】根据正比例函数关系式：y=kx(k≠0)，得出 -9=0，且k-3≠0，得出k=-3，然后把k=-3，代入函数解析式 中，得到解析式y=-6x，代入x的值，即可解答.
14．【答案】增大
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：把x=1，y=0代入y=kx 3，
得到0=k×1 3，
即k 3=0，
解得k=3，
k=3>0，
∴y的值随x的增大而增大。
故答案为：增大
【分析】首先利用一次函数图象上点的坐标特征，将已知点(1，0)代入一次函数y=kx 3中，求出k的值。然后依据一次函数y=kx+b（k≠0）中k的正负与函数增减性的关系（当k>0时，y的值随x的增大而增大；当k<0时，y的值随x的增大而减小），判断出y随x的变化情况。
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入，
可得，，
方程组的解为：，
一次函数和的图象的交点坐标为：
故答案为：。
【分析】利用“二元一次方程组的解就是对应一次函数图象的交点坐标”这一核心关系。先将已知的 代入 ，求出 ，得到方程组的完整解 。该解即为两个一次函数 和 图象的交点坐标 。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设与的函数关系式为．
由题意可得，
解得，
与之间的函数关系式；
当时，，
解得：
故答案为：．
【分析】
根据数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，将代入解析式，求出指距即可解答．
17．【答案】A
【知识点】函数解析式；一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，
∴，
即，
∴点P的轨迹是直线：，
∴由图可知只有点A符合．
故答案为：A．
【分析】利用点坐标的定义可得，再将点A、B、C、D的坐标分别代入判断即可.
18．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图1，过点B作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴点，
∴点B在直线上运动，
如图3，作关于直线的对称点，
由三角形三边关系可得，
∴当、B、A共线时，取得最小值=，
，
故答案为：．
【分析】过点B作于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，设点的坐标为，点的坐标为，则，，即点B在直线上运动，作关于直线的对称点，根据三角形三边关系可得，当、B、A共线时，取得最小值=，根据勾股定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数；
（2）解：由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
【知识点】函数值；一次函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义，明确一次函数中自变量的次数为1且一次项系数不为0这两个条件，建立关于m的方程和不等式来求解m的值；
（2）先根据（1）中求得的m值确定一次函数的具体表达式，再将y的值代入函数表达式，通过解方程求出对应的x值。
20．【答案】（1）画图如下：
（2）
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】（1）将x=0，y=0分别代入，
得到一次函数与x轴，y轴的交点，
连接即可画出图象。
（2）根据所画图象，
一次函数与x轴的交点为（-3，0），
当<-3时，.
【分析】(1)先分别计算出一次函数与x轴，y轴的交点，连接交点即可画出图象。
（2）根据图象以及一次函数性质，当<-3时，函数位于x轴下面，所以当<-3时，.
21．【答案】（1）解：∵函数图象经过第二、四象限∴，
解得：，
即的取值范围是。
（2）解：将点代入函数解析式中，
得：，解得：，
∴正比例函数解析式为．
【知识点】正比例函数的概念；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象经过第二、四象限，可以判断出函数的图象，进一步确定，然后即可求解；
（2）将点代入函数解析式中，利用待定系数法列出解析式，然后求解即可。
（1）解：∵函数图象经过第二、四象限
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（2）将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为．
22．【答案】（1）解：∵与成正比例
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：
在中，当时，，
∴点是上述函数图象上的点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）形如“y=kx(k≠0)”的函数就是正比例函数，根据可设，然后将x=2与y=-1代入计算可求出k的值，从而即可求出y关于x的函数关系式；
（2）将x=-1代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值，即可判断得出答案.
（1）解：设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：
在中，当时，，
∴点是上述函数图象上的点．
23．【答案】（1）
（2）解：根据题意，，．设线段对应的函数表达式为（为常数，且）．
将坐标，分别代入得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为，
联立解得，
∴点P的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
（1）解：当时，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
（1）由于BD垂直x轴，即B、D两点横坐标相向，则可利用直线上点的坐标特征代入点B的横坐标即可；
（2）由于BC垂直y轴，即点B、C两点纵坐标相同，即点C坐标可求，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，再联立AB的解析式可得方程组并求解即可．
（1）解：当时，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：根据题意，，．
设线段对应的函数表达式为（为常数，且）．
将坐标，分别代入得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为，
联立解得，
∴点P的坐标为．
24．【答案】（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）可设A种冰箱贴的单价是a元，则B种冰箱贴的单价是元，再根据等量关系“用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同”列分式方程并求解即可；
（2）设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个，再根据不等关系“A种的数量至少比B种的数量多27个”列不等式求出x的范围，再设购买两种冰箱贴的总费用为W元，可得出W是关于x的一次函数，最后根据一次函数的增减性求解即可.
（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．
根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
25．【答案】（1）解：由图可设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，当时，线段对应的函数，
解得；
当时，对应的点，即快速充电器充满电需要小时；
设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
当时，，
解得；
当时，对应的点，即普通充电器充满电需要小时；
小时；
∴快速充电器比普通充电器少用小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）先分别根据函数解析式求出快速充电器和普通充电器需要的时间，然后求差解答即可．
26．【答案】（1）解：由直线中，令可得，令可求得，
∴，，
∵，
设直线解析式为，代入得：
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，点在直线图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，在直线图象上，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为，
当，时，如图，作于点，则，
设，的纵坐标为，
则，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，设直线解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得点的坐标为，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得点的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，时，设，则，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案；当，时，设，则，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案；当，时，作于点，则，设，的纵坐标为，则，，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由直线中，令可得，令可求得，
∴，，
∵，
设直线解析式为，代入得：
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，点在直线图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，在直线图象上，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为，
当，时，如图，作于点，则，
设，的纵坐标为，
则，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
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