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江西省景德镇市乐平市2023-2024学年七年级下学期数学期中试题
一、单项选择题（本大题共有6小题，每题3分，共18分．）
1．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5
C．a10÷a9=a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2
2．如图，下列结论正确的是（　　）
A．∠5与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠2与∠3是同旁内角 D．∠1与∠2是同旁内角
3．如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，下列判断错误的是（　　）
A．若∠1＝∠3，AD∥BC，则BD是∠ABC的平分线
B．若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3
C．若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC
D．若∠2＝∠3，则AD∥BC
5．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
6． 小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．）
7．若m、n满足，则　 　．
8．已知是完全平方式，则的值是　 　．
9．计算：　 　.
10．某颗粒物的直径是0.000000071，把0.000000071用科学记数法表示为　 　．
11．如图，，则　 　度．
12．已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家
②王强在体育场锻炼了
③王强吃早餐用了
④王强骑自行车的平均速度是
三、解答题．（本大题有5小题，每小题6分，共30分）
13．
（1）
（2）（用简便方法计算）
14．先化简，再求值：，其中.
15．已知某长方形的面积是，它的一边长为，求此长方形的周长.
16．如图，点 、 、 、 在一条直线上， 与 交于点 ， ， ，求证：
17． 草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把销售的草莓数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系写在了下列表格中：
销售数量x（kg） 1 2 3 4 …
销售总价y（元） 8.5 16.5 24.5 32.5 …
（1）请你写出草莓的销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系式；
（2）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
四、解答题．（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
18． 若a、b可以代表一个数或一个代数式，定义运算“◎”如下：
（1）化简：（2m）◎（3n）；
（2）若，求m．
19． 填写下面解题过程中的推理依据：如图，，平分，平分．
（1）吗？请说明理由．
解：，理由如下：
因为（已知），
所以（　 　）．
因为平分，平分（已知），
所以　 　（角平分线的定义），　 　（角平分线的定义），
所以（　 　）．
（2）与的位置关系如何？为什么？
20． 泰和工农兵大道安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
（1）根据上图，将表格补充完整．
立柱根数 1 2 3 4 5 ……
护栏总长度（米） 0.2 3.4 __ 9.8 __ ……
（2）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（3）设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？
（4）求护栏总长度为61米时立柱的根数？
五、解答题．（本大题有2小题，每小题9分，共18分）
21．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（结果不化简）.
方法1：　 　；方法2：　 　.
（2）观察图②，请写出，，三个式子之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值.
22． 如图1，以直线上一点O为端点作射线，使．将一个直角三角板的直角顶点O放在直线上的点O处，边放在射线上．
（1）　 　；
（2）如图2，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动，当射线恰好平分时，求的度数；
（3）如图3，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．
六、解答题．（本大题12分）
23． 求解下列各题
（1）如图（1），，点在外部，若，则　 　
（2）如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，故A错误；
B、（﹣a2）3=﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9=a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘除法和幂的乘方与积的乘方计算逐一进行判断即可。
2．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，
A、∠5与∠2+∠3是对顶角，故本选项错误；
B、∠1与∠3+∠4是同位角，故本选项错误；
C、∠2与∠3没有处在两条被截线之间，故本选项错误；
D、∠1与∠2是同旁内角；故本选项正确；
故选D．
【分析】同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角；对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线，这两个角是对顶角．
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴∠FEB=140°，
∴∠FEG=70°，
∵，
∴∠1=∠EFG=40°，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质结合题意即可得到∠FEG=70°，进而根据平行线的性质得到∠1=∠EFG=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，则BD是∠ABC的平分线；
B、∠2，∠3是直线AD和直线BC被直线BD所截形成的内错角，若AD∥BC，则∠2=∠3，∠1是直线AB和直线AD被直线BD所截形成的角，因此，若AD∥BC，不能证明∠1=∠2=∠3；
C、∠3+∠4+∠C=180°，即同旁内角 则AD∥BC；
D、内错角∠2=∠3，则AD∥BC．
故答案为：B．
【分析】根据直线平行的性质以及判定定理分别进行判断即可得到答案。
5．【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧
故答案为：D
【分析】根据尺规作图，作一个角等于已知角可知弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧.
6．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意可知父亲离家的距离在这个过程中分为段，先远离后不变最后到家，并且先到达车站；儿子离家的路程也分为段，先离家越来越近，再停止，最后到家．
故选A．
【分析】根据实际情况与函数图象的对比，即可求得.
7．【答案】16
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：16
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法结合题意即可求解。
8．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴-m=，
∴=，
故答案为：
【分析】根据完全平方式的定义即可求解。
9．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：原式=1+1-4=-2.
故答案为：-2.
【分析】首先根据有理数的乘方，零整数指数幂，负整数指数幂进行化简，然后再进行有理数的加减即可。
10．【答案】7.1×10-8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000071 = 7.1×10-8 ；
故填： 7.1×10-8 .
【分析】科学记数法的表示形式为 a x 10n的形式，其中1≤| a |<10， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时， n 是正整数；当原数的绝对值<1时， n 是负整数.
11．【答案】100°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵AB//CD，∠B=80°
∴∠B=∠C=80°，
∵BC//ED，
∴∠D=180°-∠C=180°-80°=100°，
故答案为：100°。
【分析】利用平行线的性质求解即可。
12．【答案】①③④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：体育场离张强家，①符合题意；
王强在体育场锻炼了，②不符合题意；
王强吃早餐用了，③符合题意；
王强骑自行车的平均速度是，④符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】利用图象获取信息，逐项判断分析即可。
13．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方和公式和多项式与多项式的相乘法则计算，再合并同类项即可求得；
（2）根据平方差公式计算，即可求得.
14．【答案】解：10
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）原式=a2-2a+3a-6-a2+a
=2a-6；
把a=8，代入原式，得：原式=2×8-6=10.
【分析】首先根据整式的运算法则进行化简得出结果为2a-6，然后把a=8，代入原式，求代数式的值即可。
15．【答案】解：长方形的另一边长为，
故长方形的周长为
【知识点】平行四边形的面积
【解析】【分析】首先根据面积计算公式求得长方形的另一边长，然后再根据周长计算公式求得长方形的周长即可。
16．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∵CE//DF，
∴ .
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用同位角相等，两直线平行，可得到AE∥BF，再利用平行线的性质可证得∠E=∠2，∠F=∠2，由此可证得结论.
17．【答案】（1）解：设草莓销售数量x（kg）与销售总价y（元）满足y=kx+b，根据表格代入有：
解得：
则草莓销售数量x与销售总价y的关系式为：y=8x+0.5．
（2）解：把x＝6.5代入（1）中所求关系式y＝8x+0.5中，
得y＝8×6.5+0.5＝52.5（元）．
丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付52.5元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数的解析式，即可求得；
（2）将x=6.5代入（1）中的解析式求出对应的y值即可.
18．【答案】（1）解：，
＝，
，
＝24mn；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴m＝－6.
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，列出代数式，再根据完全平方公式计算，即可求得；
（2）根据定义的新运算，列出代数式，化简求解即可.
19．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；；；等量代换
（2）解：，理由如下：
由（1）可知．
∵平分，平分（已知），
∴（角平分线的定义），（角平分线的定义），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）∵ AB∥CD，
∴ ∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵ BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴ ∠1=∠ABC，∠2=∠BCD，
∴ ∠1=∠2（等量代换）.
故答案为：（1）两直线平行，内错角相等；ABC；BCD；等量代换；
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD，根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠BCD，再根据等量代换即可求得∠1=∠2；
（2）根据（1）可知∠ABC=∠BCD，再根据角平分线可和等量代换可得，再根据平行线的判定即可求得.
20．【答案】（1）6.6，13；
（2）解：在这个变化过程中，护栏总长度随立柱根数的变化而变化，
∴自变量是立柱根数，因变量是护栏总长度，
（3）解：设y=kx+b，
解得，
∴ y=3.2x-3．
（4）解：当y=61时，3.2x-3=61，
解得x=20，
答：护栏总长度为61米时立柱的根数为20．
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）立柱根数=3时，护栏总长度=3.4+3+0.2=6.6；
立柱根数=5时，护栏总长度=9.8+3+0.2=13；
【分析】（1）分别计算出立柱数为3和5时的护栏总长度即可；
（2）根据自变量和因变量的定义即可求得；
（3）根据待定系数法求一次函数的解析式即可；
（4）将y=61代入（3）中的解析式，求出x的值，即为立柱数的根数.
21．【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：29
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图①知：长方形的面积=2m×2n=4mn；
由图②知：阴影部分的面积=（m-n）2或（m+n）2-4mn；
故第1空答案为：（m-n）2；第2空答案为：（m+n）2-4mn；
（3）由（2）知： ，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=72-4×5=29.
【分析】（1）根据正方形面积计算公式可得阴影部分的面积为（m-n）2；又可以根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积求得阴影部分的面积；
（2）根据图形各部分之间的关系可得出 ：；
（3）利用（2）的结论，直接可求得的值.
22．【答案】（1）15°
（2）解：∵OC平分∠BOE，∠BOC=75°
∴∠EOB=2∠EOC=150°，
∴∠EOC=75°
∵∠DOE=90°
∴∠COD=∠DOE-∠EOC=90°-75°=15°．
（3）解：∠COE-∠BOD=15°，理由如下：
如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=75°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠DOE-∠BOC
=90°-75°
=15°，
即∠COE-∠BOD=15°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠DOE=90°，∠BOC=75°，
∴ ∠COE=∠DOE-∠BOC=15°；
故答案为：15°或15度；
【分析】（1）根据∠BOC和∠COE互余，即可求得；
（2）根据角平分线的定义可得∠EOC=75°，再根据∠COD与∠EOC互余，即可求得；
（3）根据位置关系可得∠BOD+∠COD=∠BOC=75°，∠COE+∠COD=90°，再求差，即可求得∠DOE-∠BOC=15°.
23．【答案】（1）25
（2）解：．理由如下：
过点作，
，
，
，
．
（3）解：过点作交于，过点作，
，
，
，
，，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1），
，
∵，
∴．
故答案为：25；
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BOD，再根据三角形的外角的性质可得∠P=∠BOD-∠D，即可求得；
（2）过点作，根据平行公理的推论可得PE∥CD，再根据平行线的性质可得BPD=∠1+∠2，即可求得；
（3）过点作交于，过点作，根据平行线的性质可得∠B=∠BPG，D=∠DPF，∠GPF=∠BMD=40°，根据各角的位置关系即可求得.
1 / 1江西省景德镇市乐平市2023-2024学年七年级下学期数学期中试题
一、单项选择题（本大题共有6小题，每题3分，共18分．）
1．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5
C．a10÷a9=a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，故A错误；
B、（﹣a2）3=﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9=a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘除法和幂的乘方与积的乘方计算逐一进行判断即可。
2．如图，下列结论正确的是（　　）
A．∠5与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠2与∠3是同旁内角 D．∠1与∠2是同旁内角
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，
A、∠5与∠2+∠3是对顶角，故本选项错误；
B、∠1与∠3+∠4是同位角，故本选项错误；
C、∠2与∠3没有处在两条被截线之间，故本选项错误；
D、∠1与∠2是同旁内角；故本选项正确；
故选D．
【分析】同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角；对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线，这两个角是对顶角．
3．如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴∠FEB=140°，
∴∠FEG=70°，
∵，
∴∠1=∠EFG=40°，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质结合题意即可得到∠FEG=70°，进而根据平行线的性质得到∠1=∠EFG=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。
4．如图所示，下列判断错误的是（　　）
A．若∠1＝∠3，AD∥BC，则BD是∠ABC的平分线
B．若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3
C．若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC
D．若∠2＝∠3，则AD∥BC
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，则BD是∠ABC的平分线；
B、∠2，∠3是直线AD和直线BC被直线BD所截形成的内错角，若AD∥BC，则∠2=∠3，∠1是直线AB和直线AD被直线BD所截形成的角，因此，若AD∥BC，不能证明∠1=∠2=∠3；
C、∠3+∠4+∠C=180°，即同旁内角 则AD∥BC；
D、内错角∠2=∠3，则AD∥BC．
故答案为：B．
【分析】根据直线平行的性质以及判定定理分别进行判断即可得到答案。
5．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧
故答案为：D
【分析】根据尺规作图，作一个角等于已知角可知弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧.
6． 小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意可知父亲离家的距离在这个过程中分为段，先远离后不变最后到家，并且先到达车站；儿子离家的路程也分为段，先离家越来越近，再停止，最后到家．
故选A．
【分析】根据实际情况与函数图象的对比，即可求得.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．）
7．若m、n满足，则　 　．
【答案】16
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：16
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法结合题意即可求解。
8．已知是完全平方式，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴-m=，
∴=，
故答案为：
【分析】根据完全平方式的定义即可求解。
9．计算：　 　.
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：原式=1+1-4=-2.
故答案为：-2.
【分析】首先根据有理数的乘方，零整数指数幂，负整数指数幂进行化简，然后再进行有理数的加减即可。
10．某颗粒物的直径是0.000000071，把0.000000071用科学记数法表示为　 　．
【答案】7.1×10-8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000071 = 7.1×10-8 ；
故填： 7.1×10-8 .
【分析】科学记数法的表示形式为 a x 10n的形式，其中1≤| a |<10， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时， n 是正整数；当原数的绝对值<1时， n 是负整数.
11．如图，，则　 　度．
【答案】100°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵AB//CD，∠B=80°
∴∠B=∠C=80°，
∵BC//ED，
∴∠D=180°-∠C=180°-80°=100°，
故答案为：100°。
【分析】利用平行线的性质求解即可。
12．已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家
②王强在体育场锻炼了
③王强吃早餐用了
④王强骑自行车的平均速度是
【答案】①③④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：体育场离张强家，①符合题意；
王强在体育场锻炼了，②不符合题意；
王强吃早餐用了，③符合题意；
王强骑自行车的平均速度是，④符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】利用图象获取信息，逐项判断分析即可。
三、解答题．（本大题有5小题，每小题6分，共30分）
13．
（1）
（2）（用简便方法计算）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方和公式和多项式与多项式的相乘法则计算，再合并同类项即可求得；
（2）根据平方差公式计算，即可求得.
14．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：10
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）原式=a2-2a+3a-6-a2+a
=2a-6；
把a=8，代入原式，得：原式=2×8-6=10.
【分析】首先根据整式的运算法则进行化简得出结果为2a-6，然后把a=8，代入原式，求代数式的值即可。
15．已知某长方形的面积是，它的一边长为，求此长方形的周长.
【答案】解：长方形的另一边长为，
故长方形的周长为
【知识点】平行四边形的面积
【解析】【分析】首先根据面积计算公式求得长方形的另一边长，然后再根据周长计算公式求得长方形的周长即可。
16．如图，点 、 、 、 在一条直线上， 与 交于点 ， ， ，求证：
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∵CE//DF，
∴ .
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用同位角相等，两直线平行，可得到AE∥BF，再利用平行线的性质可证得∠E=∠2，∠F=∠2，由此可证得结论.
17． 草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把销售的草莓数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系写在了下列表格中：
销售数量x（kg） 1 2 3 4 …
销售总价y（元） 8.5 16.5 24.5 32.5 …
（1）请你写出草莓的销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系式；
（2）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
【答案】（1）解：设草莓销售数量x（kg）与销售总价y（元）满足y=kx+b，根据表格代入有：
解得：
则草莓销售数量x与销售总价y的关系式为：y=8x+0.5．
（2）解：把x＝6.5代入（1）中所求关系式y＝8x+0.5中，
得y＝8×6.5+0.5＝52.5（元）．
丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付52.5元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数的解析式，即可求得；
（2）将x=6.5代入（1）中的解析式求出对应的y值即可.
四、解答题．（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
18． 若a、b可以代表一个数或一个代数式，定义运算“◎”如下：
（1）化简：（2m）◎（3n）；
（2）若，求m．
【答案】（1）解：，
＝，
，
＝24mn；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴m＝－6.
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，列出代数式，再根据完全平方公式计算，即可求得；
（2）根据定义的新运算，列出代数式，化简求解即可.
19． 填写下面解题过程中的推理依据：如图，，平分，平分．
（1）吗？请说明理由．
解：，理由如下：
因为（已知），
所以（　 　）．
因为平分，平分（已知），
所以　 　（角平分线的定义），　 　（角平分线的定义），
所以（　 　）．
（2）与的位置关系如何？为什么？
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；；；等量代换
（2）解：，理由如下：
由（1）可知．
∵平分，平分（已知），
∴（角平分线的定义），（角平分线的定义），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）∵ AB∥CD，
∴ ∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵ BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴ ∠1=∠ABC，∠2=∠BCD，
∴ ∠1=∠2（等量代换）.
故答案为：（1）两直线平行，内错角相等；ABC；BCD；等量代换；
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD，根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠BCD，再根据等量代换即可求得∠1=∠2；
（2）根据（1）可知∠ABC=∠BCD，再根据角平分线可和等量代换可得，再根据平行线的判定即可求得.
20． 泰和工农兵大道安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
（1）根据上图，将表格补充完整．
立柱根数 1 2 3 4 5 ……
护栏总长度（米） 0.2 3.4 __ 9.8 __ ……
（2）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（3）设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？
（4）求护栏总长度为61米时立柱的根数？
【答案】（1）6.6，13；
（2）解：在这个变化过程中，护栏总长度随立柱根数的变化而变化，
∴自变量是立柱根数，因变量是护栏总长度，
（3）解：设y=kx+b，
解得，
∴ y=3.2x-3．
（4）解：当y=61时，3.2x-3=61，
解得x=20，
答：护栏总长度为61米时立柱的根数为20．
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）立柱根数=3时，护栏总长度=3.4+3+0.2=6.6；
立柱根数=5时，护栏总长度=9.8+3+0.2=13；
【分析】（1）分别计算出立柱数为3和5时的护栏总长度即可；
（2）根据自变量和因变量的定义即可求得；
（3）根据待定系数法求一次函数的解析式即可；
（4）将y=61代入（3）中的解析式，求出x的值，即为立柱数的根数.
五、解答题．（本大题有2小题，每小题9分，共18分）
21．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（结果不化简）.
方法1：　 　；方法2：　 　.
（2）观察图②，请写出，，三个式子之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值.
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：29
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图①知：长方形的面积=2m×2n=4mn；
由图②知：阴影部分的面积=（m-n）2或（m+n）2-4mn；
故第1空答案为：（m-n）2；第2空答案为：（m+n）2-4mn；
（3）由（2）知： ，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=72-4×5=29.
【分析】（1）根据正方形面积计算公式可得阴影部分的面积为（m-n）2；又可以根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积求得阴影部分的面积；
（2）根据图形各部分之间的关系可得出 ：；
（3）利用（2）的结论，直接可求得的值.
22． 如图1，以直线上一点O为端点作射线，使．将一个直角三角板的直角顶点O放在直线上的点O处，边放在射线上．
（1）　 　；
（2）如图2，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动，当射线恰好平分时，求的度数；
（3）如图3，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）15°
（2）解：∵OC平分∠BOE，∠BOC=75°
∴∠EOB=2∠EOC=150°，
∴∠EOC=75°
∵∠DOE=90°
∴∠COD=∠DOE-∠EOC=90°-75°=15°．
（3）解：∠COE-∠BOD=15°，理由如下：
如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=75°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠DOE-∠BOC
=90°-75°
=15°，
即∠COE-∠BOD=15°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠DOE=90°，∠BOC=75°，
∴ ∠COE=∠DOE-∠BOC=15°；
故答案为：15°或15度；
【分析】（1）根据∠BOC和∠COE互余，即可求得；
（2）根据角平分线的定义可得∠EOC=75°，再根据∠COD与∠EOC互余，即可求得；
（3）根据位置关系可得∠BOD+∠COD=∠BOC=75°，∠COE+∠COD=90°，再求差，即可求得∠DOE-∠BOC=15°.
六、解答题．（本大题12分）
23． 求解下列各题
（1）如图（1），，点在外部，若，则　 　
（2）如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．
【答案】（1）25
（2）解：．理由如下：
过点作，
，
，
，
．
（3）解：过点作交于，过点作，
，
，
，
，，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1），
，
∵，
∴．
故答案为：25；
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BOD，再根据三角形的外角的性质可得∠P=∠BOD-∠D，即可求得；
（2）过点作，根据平行公理的推论可得PE∥CD，再根据平行线的性质可得BPD=∠1+∠2，即可求得；
（3）过点作交于，过点作，根据平行线的性质可得∠B=∠BPG，D=∠DPF，∠GPF=∠BMD=40°，根据各角的位置关系即可求得.
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