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广东省广州市华南师大附中增城中学2025年中考数学三模试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．下列四个图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念，结合Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图形，得A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念，结合Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图形，得A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，B选项中的图形可以，即可得答案.
2．年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒帧，每帧画面仅用时大约，使得画面效果更加震撼，数据可用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的定义得：.
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法知识把表示为科学记数法即可.
3．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：点表示的数是，点距离点有4个单位，
点表示的数是，
故选：C．
【分析】根据数轴上两点间距离即可求出答案.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故答案为：C。
【分析】根据合并同类数、同底数幂的乘除法、积的乘方及单项式乘单项式运算法则，然后再对各个选项逐一进行解答即可判断。
5．下列运用等式性质变化错误的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A. 若 ，在等式 的两边同时加上3，等式仍成立，则 ，正确，此选项不符合题意；
B. 若 ，在等式 的两边同时÷（-3），等式仍成立，则 ，正确，此选项不符合题意；
C. 若 ，在等式 的两边同时加上2，等式仍成立，则 ，正确，此选项不符合题意；
D. 若 ， ，此选项符合题意
故答案为：D
【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决
6．由6个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图是：
故答案为：C．
【分析】主视图是从正面看到的正投影，该正方体搭成的几何体主视图共两层，底层共4个小正方形，第二层从左至右第二行有一个小正方形，据此解答即可．
7．下列说法正确的是（　　）
A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3
B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件
C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查）
D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故A错误；
“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故B错误；
了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故C错误；
由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故D正确．
故答案为：D．
【分析】（1）利用众数、中位数的定义求解；
（2）利用必然事件的概念求解；
（3）利用调查方式的选择求解；
（4）利用方差的意义求解．
8．如图，在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据垂径定理，再根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
9．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设竿长尺，绳索长尺，根据“ 如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，”可得出方程组，即可得出答案。
10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　）
A．当时，
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解∶由图1知：当时，，故A正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，故B正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故C错误，符合题意；
由图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故D正确，但不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）
11．抛物线顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴顶点坐标为，
故答案为．
【分析】根据抛物线顶点式即可求出答案.
12．若点与点关于原点对称，则　 　 ．
【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴，解得：，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据关于原点对称的点坐标符号相反，即可得，进一步计算即可得的值.
13．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-6≥0，
∴x≥6，
故答案为：x≥6.
【分析】根据二次根式有意义的条件先求出x-6≥0，再求解即可。
14．如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为　 　．
【答案】5
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得：，
故答案为：5.
【分析】本题考查了圆锥的计算，根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用弧长公式、圆周长公式即可列出关于r的方程，解方程求出r的值即可.
15．如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；切线的性质
【解析】【解答】解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得，再根据切线性质可得轴，再根据三角形的面积即可求出答案.
16．如图，在中，，点分别是边和上的两点，连结，将沿折叠，点恰好落在的中点处，与交于点．下列四个结论：①；②；③；④，其中错误的是 　 　 ．（写出错误结论的序号）
【答案】①③
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质得：，故②正确.
∴是的垂直平分线，
假设，则四边形为菱形，
∴，即：平分，
∵，是的中点，
∴不是 的平分线，
∴假设错误，故①错误，
∵不是 的平分线，
∴，
∴，
∴，故③错误，
设，则：，
由勾股定理得：，
∴，
在中，，即：，整理得：，
∴，故④正确.
综上所述，只有①③错误.
故答案为：①③．
【分析】根据折叠的性质得：相等，相等，故②正确，四边形为菱形，平分，由等于，等于，根据是的中点，得出不是的平分线，即可判断①错误，根据不是的平分线，可得等于加不等于，在 中，加等于加不等于，可判断③错误，设，根据勾股定理，求出的长度，进一步得，即可求得：，再根据锐角三角函数的定义即可判断④正确.
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：．
【答案】证明：如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据四边形为正方形，结合正方形性质得都等于，根据垂直得等于，即可得，，进一步得相等，即可证明相似.
18．解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求出两个不等式的解集，利用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分解答即可．
19．已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：．
【答案】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，
∴，，
∴，
∴
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次函数图象与坐标轴的交点问题；实数的绝对值
【解析】【分析】根据二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，得，，进一步得，在结合二次根式的性质化简即可得答案.
20．我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．
志愿服务时间(小时) 频数
请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
（1）表中_____；扇形统计图中“”部分所占百分比为_____，若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为_____人；
（2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率．
【答案】（1）；，
（2）解：设三个路口分别为，，，画树状图如下：
共有种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有种．
所以，
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：总人数为人，
∴，
扇形统计图中“”部分所占百分比为
若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为
故答案为：；，．
【分析】（1）根据B的频数与占比可得总人数，再减去其他部分的人数可得a值，根据频数÷总数可得C部分的占比，再根据3000乘以志愿服务时间多于小时的教职工人数占比即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出李老师和王老师在同一路口的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：总人数为人，
∴，
扇形统计图中“”部分所占百分比为
若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为
故答案为：；，．
（2）设三个路口分别为，，，画树状图如下：
共有种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有种．
所以，
21．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆与边相切于点D．
（1）尺规作图：作交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接并延长交于点F．若，求的长．
【答案】（1）解：根据平行线尺规作图的方法作交于点E如下图：
（2）解：如图，
连接，
∵以点O为圆心，长为半径的圆与边相切于点D，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行线尺规作图的方法，在的上方作等于，即可.
（2）连接，根据切线的性质，结合题目条件可得垂直，等于，则根据勾股定理得，相等，等于，根据相等，相等可证明相似，根据相似性质得，即可求出的值即可．
（1）解：如图，在AB的上方作∠BAE＝∠B，交⊙O于点E，
则即为所求．
（2）解：连接，
∵以点O为圆心，长为半径的圆与边相切于点D，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
22．学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共人将参加研学活动，计划租用辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表：
甲型号大客车 乙型号大客车
满座载客量（人辆）
租车费用（元辆）
（1）若租用的辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？
（2）设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得：
，解得，
∴租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆.
（2）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得：
，解得，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，值最小，为，
∴当租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（）设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得列出方程组，解方程即可租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆.
（）设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得列出不等式，解出可得，根据条件得，再根据得随的增大而增大，即可得当时，值最小，最少费用是元．
（1）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
答：租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆；
（2）解：租用乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
∴，
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，值最小，为，
答：当租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．
23．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据：，，，）
（1）求点到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离．
【答案】（1）解：作于点B，延长交于点A．
∴．
∵，
∴．
由题意得：，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：点P到地面的高度约为；
（2）解：∵，∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：Q点到N点的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点B，延长交于点A．即可得到是矩形．则，然后根据正弦的定义求出PM长，再根据线段的和差解答即可；
（2）根据勾股定理求出AM长，然后根据同角的余角相等得到．根据正切求出QB长，利用线段的和差解题．
（1）解：作于点B，延长交于点A．
∴．
∵，
∴．
由题意得：，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：点P到地面的高度约为；
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：Q点到N点的距离约为．
24．如图1，已知，在射线上分别截取点B、C，使．
（1）求证：；
（2）如图2，以为直径在的上方作一个半圆，点D为半圆上的一个动点，连接交于点E．
①当时，求的长．
②在线段上取一点F，连接交于点G，若，当点D在半圆上从点B运动到点C时，求点G经过的路径长．
【答案】（1）证明：如图1，
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：①如图2，
连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
∴的长为.
②如图，
当，时，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在的垂直平分线上运动，当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径即是的的边的高线，
∴，
∴此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径长.
II、如图，
当，时，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在过A、B、G的圆弧上运动，
设圆弧的圆心为O，过O作，则，
∴，，
∴，
∴长为，
故此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径是半径为，圆心角为的，长为，
综上所述：当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径长为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等于，等于即可得是等边三角形，根据等边三角形性质得相等.
（2）①连接，根据为直径，得出等于，再根据是等边三角形，得等于，根据垂直，得等于，进一步得，计算得ＢＤ等于，再根据勾股定理得的长为.
②当，时，再根据，可证明相等，根据全等性质得相等，进一步得，即可得点G在的垂直平分线上运动，当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径即是的的边的高线，即可得等于，进一步计算得等于，即得点G经过的路径长，同理得当，时，点G经过的路径是半径为，圆心角为的，长为即可.
（1）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
如图2，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∴
②有两种不同位置情况，
I、当，时，如图3-1：
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在的垂直平分线上运动，当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径即是的的边的高线，
，
故此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径长，
II、当，时，如图3-2：
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在过A、B、G的圆弧上运动，
设圆弧的圆心为O，过O作，则，
∴，，
，
∴长为，
故此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径是半径为，圆心角为的，长为，
综上所述：当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径长为或．
25．已知抛物线 （a，c为常数， ）经过点 ，顶点为D．
（Ⅰ）当 时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当 时，点 ，若 ，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当 时，点 ，过点C作直线l平行于x轴， 是x轴上的动点， 是直线l上的动点．当a为何值时， 的最小值为 ，并求此时点M，N的坐标．
【答案】（Ⅰ）当 时，抛物线的解析式为 ．
∵抛物线经过点
∴
解得：
∴抛物线的解析式为
∵
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（Ⅱ）当 时，由抛物线 经过点 ，可知
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为：
当 时，
∴抛物线的顶点D的坐标为 ；
过点D作 轴于点G
在 中， ， ，
∴
在 中， ， ，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为 或 ．
（Ⅲ）当 时，将点 向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得 ．
作点F关于x轴的对称点 ，得点 的坐标为
当满足条件的点M落在线段 上时， 最小，
此时， ．
过点 作 轴于点H
在 中， ， ，
∴ ．
又 ，即 ．
解得： ， （舍）
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
∴直线 的解析式为 ．
当 时， ．
∴ ，
∴点M的坐标为 ，点N的坐标为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（Ⅰ） 将a=1，C (0，-1)代入抛物线解析式中，可求出，即得顶点坐标； （Ⅱ） 先求出抛物线的解析式为 ， 可得顶点D的坐标为 ，过点D作 轴于点G ， 由于 及勾股定理可得，求出a值，即得结论；
（Ⅲ）当 时，将点 向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得 ．作点F关于x轴的对称点 ，得点 的坐标为 当满足条件的点M落在线段 上时， 最小，此时， ，过点 作 轴于点H，利用勾股定理建立方程，求出a值，即得 、 的坐标， 求出直线 的解析式为 ，将M的坐标代入可求出m值，即得点M、N的坐标.
1 / 1广东省广州市华南师大附中增城中学2025年中考数学三模试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．下列四个图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒帧，每帧画面仅用时大约，使得画面效果更加震撼，数据可用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运用等式性质变化错误的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．由6个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（　　）
A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3
B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件
C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查）
D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
8．如图，在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　）
A．当时，
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）
11．抛物线顶点坐标是　 　．
12．若点与点关于原点对称，则　 　 ．
13．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
14．如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为　 　．
15．如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则的面积为　 　．
16．如图，在中，，点分别是边和上的两点，连结，将沿折叠，点恰好落在的中点处，与交于点．下列四个结论：①；②；③；④，其中错误的是 　 　 ．（写出错误结论的序号）
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：．
18．解不等式组：．
19．已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：．
20．我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．
志愿服务时间(小时) 频数
请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
（1）表中_____；扇形统计图中“”部分所占百分比为_____，若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为_____人；
（2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率．
21．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆与边相切于点D．
（1）尺规作图：作交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接并延长交于点F．若，求的长．
22．学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共人将参加研学活动，计划租用辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表：
甲型号大客车 乙型号大客车
满座载客量（人辆）
租车费用（元辆）
（1）若租用的辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？
（2）设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？
23．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据：，，，）
（1）求点到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离．
24．如图1，已知，在射线上分别截取点B、C，使．
（1）求证：；
（2）如图2，以为直径在的上方作一个半圆，点D为半圆上的一个动点，连接交于点E．
①当时，求的长．
②在线段上取一点F，连接交于点G，若，当点D在半圆上从点B运动到点C时，求点G经过的路径长．
25．已知抛物线 （a，c为常数， ）经过点 ，顶点为D．
（Ⅰ）当 时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当 时，点 ，若 ，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当 时，点 ，过点C作直线l平行于x轴， 是x轴上的动点， 是直线l上的动点．当a为何值时， 的最小值为 ，并求此时点M，N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念，结合Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图形，得A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念，结合Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图形，得A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，B选项中的图形可以，即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的定义得：.
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法知识把表示为科学记数法即可.
3．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：点表示的数是，点距离点有4个单位，
点表示的数是，
故选：C．
【分析】根据数轴上两点间距离即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故答案为：C。
【分析】根据合并同类数、同底数幂的乘除法、积的乘方及单项式乘单项式运算法则，然后再对各个选项逐一进行解答即可判断。
5．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A. 若 ，在等式 的两边同时加上3，等式仍成立，则 ，正确，此选项不符合题意；
B. 若 ，在等式 的两边同时÷（-3），等式仍成立，则 ，正确，此选项不符合题意；
C. 若 ，在等式 的两边同时加上2，等式仍成立，则 ，正确，此选项不符合题意；
D. 若 ， ，此选项符合题意
故答案为：D
【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决
6．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图是：
故答案为：C．
【分析】主视图是从正面看到的正投影，该正方体搭成的几何体主视图共两层，底层共4个小正方形，第二层从左至右第二行有一个小正方形，据此解答即可．
7．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故A错误；
“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故B错误；
了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故C错误；
由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故D正确．
故答案为：D．
【分析】（1）利用众数、中位数的定义求解；
（2）利用必然事件的概念求解；
（3）利用调查方式的选择求解；
（4）利用方差的意义求解．
8．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据垂径定理，再根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设竿长尺，绳索长尺，根据“ 如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，”可得出方程组，即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解∶由图1知：当时，，故A正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，故B正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故C错误，符合题意；
由图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故D正确，但不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴顶点坐标为，
故答案为．
【分析】根据抛物线顶点式即可求出答案.
12．【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴，解得：，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据关于原点对称的点坐标符号相反，即可得，进一步计算即可得的值.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-6≥0，
∴x≥6，
故答案为：x≥6.
【分析】根据二次根式有意义的条件先求出x-6≥0，再求解即可。
14．【答案】5
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得：，
故答案为：5.
【分析】本题考查了圆锥的计算，根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用弧长公式、圆周长公式即可列出关于r的方程，解方程求出r的值即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；切线的性质
【解析】【解答】解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得，再根据切线性质可得轴，再根据三角形的面积即可求出答案.
16．【答案】①③
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质得：，故②正确.
∴是的垂直平分线，
假设，则四边形为菱形，
∴，即：平分，
∵，是的中点，
∴不是 的平分线，
∴假设错误，故①错误，
∵不是 的平分线，
∴，
∴，
∴，故③错误，
设，则：，
由勾股定理得：，
∴，
在中，，即：，整理得：，
∴，故④正确.
综上所述，只有①③错误.
故答案为：①③．
【分析】根据折叠的性质得：相等，相等，故②正确，四边形为菱形，平分，由等于，等于，根据是的中点，得出不是的平分线，即可判断①错误，根据不是的平分线，可得等于加不等于，在 中，加等于加不等于，可判断③错误，设，根据勾股定理，求出的长度，进一步得，即可求得：，再根据锐角三角函数的定义即可判断④正确.
17．【答案】证明：如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据四边形为正方形，结合正方形性质得都等于，根据垂直得等于，即可得，，进一步得相等，即可证明相似.
18．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求出两个不等式的解集，利用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分解答即可．
19．【答案】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，
∴，，
∴，
∴
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次函数图象与坐标轴的交点问题；实数的绝对值
【解析】【分析】根据二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，得，，进一步得，在结合二次根式的性质化简即可得答案.
20．【答案】（1）；，
（2）解：设三个路口分别为，，，画树状图如下：
共有种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有种．
所以，
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：总人数为人，
∴，
扇形统计图中“”部分所占百分比为
若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为
故答案为：；，．
【分析】（1）根据B的频数与占比可得总人数，再减去其他部分的人数可得a值，根据频数÷总数可得C部分的占比，再根据3000乘以志愿服务时间多于小时的教职工人数占比即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出李老师和王老师在同一路口的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：总人数为人，
∴，
扇形统计图中“”部分所占百分比为
若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为
故答案为：；，．
（2）设三个路口分别为，，，画树状图如下：
共有种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有种．
所以，
21．【答案】（1）解：根据平行线尺规作图的方法作交于点E如下图：
（2）解：如图，
连接，
∵以点O为圆心，长为半径的圆与边相切于点D，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行线尺规作图的方法，在的上方作等于，即可.
（2）连接，根据切线的性质，结合题目条件可得垂直，等于，则根据勾股定理得，相等，等于，根据相等，相等可证明相似，根据相似性质得，即可求出的值即可．
（1）解：如图，在AB的上方作∠BAE＝∠B，交⊙O于点E，
则即为所求．
（2）解：连接，
∵以点O为圆心，长为半径的圆与边相切于点D，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
22．【答案】（1）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得：
，解得，
∴租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆.
（2）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得：
，解得，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，值最小，为，
∴当租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（）设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得列出方程组，解方程即可租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆.
（）设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得列出不等式，解出可得，根据条件得，再根据得随的增大而增大，即可得当时，值最小，最少费用是元．
（1）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
答：租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆；
（2）解：租用乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
∴，
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，值最小，为，
答：当租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．
23．【答案】（1）解：作于点B，延长交于点A．
∴．
∵，
∴．
由题意得：，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：点P到地面的高度约为；
（2）解：∵，∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：Q点到N点的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点B，延长交于点A．即可得到是矩形．则，然后根据正弦的定义求出PM长，再根据线段的和差解答即可；
（2）根据勾股定理求出AM长，然后根据同角的余角相等得到．根据正切求出QB长，利用线段的和差解题．
（1）解：作于点B，延长交于点A．
∴．
∵，
∴．
由题意得：，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：点P到地面的高度约为；
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：Q点到N点的距离约为．
24．【答案】（1）证明：如图1，
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：①如图2，
连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
∴的长为.
②如图，
当，时，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在的垂直平分线上运动，当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径即是的的边的高线，
∴，
∴此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径长.
II、如图，
当，时，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在过A、B、G的圆弧上运动，
设圆弧的圆心为O，过O作，则，
∴，，
∴，
∴长为，
故此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径是半径为，圆心角为的，长为，
综上所述：当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径长为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等于，等于即可得是等边三角形，根据等边三角形性质得相等.
（2）①连接，根据为直径，得出等于，再根据是等边三角形，得等于，根据垂直，得等于，进一步得，计算得ＢＤ等于，再根据勾股定理得的长为.
②当，时，再根据，可证明相等，根据全等性质得相等，进一步得，即可得点G在的垂直平分线上运动，当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径即是的的边的高线，即可得等于，进一步计算得等于，即得点G经过的路径长，同理得当，时，点G经过的路径是半径为，圆心角为的，长为即可.
（1）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
如图2，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∴
②有两种不同位置情况，
I、当，时，如图3-1：
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在的垂直平分线上运动，当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径即是的的边的高线，
，
故此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径长，
II、当，时，如图3-2：
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在过A、B、G的圆弧上运动，
设圆弧的圆心为O，过O作，则，
∴，，
，
∴长为，
故此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径是半径为，圆心角为的，长为，
综上所述：当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径长为或．
25．【答案】（Ⅰ）当 时，抛物线的解析式为 ．
∵抛物线经过点
∴
解得：
∴抛物线的解析式为
∵
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（Ⅱ）当 时，由抛物线 经过点 ，可知
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为：
当 时，
∴抛物线的顶点D的坐标为 ；
过点D作 轴于点G
在 中， ， ，
∴
在 中， ， ，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为 或 ．
（Ⅲ）当 时，将点 向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得 ．
作点F关于x轴的对称点 ，得点 的坐标为
当满足条件的点M落在线段 上时， 最小，
此时， ．
过点 作 轴于点H
在 中， ， ，
∴ ．
又 ，即 ．
解得： ， （舍）
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
∴直线 的解析式为 ．
当 时， ．
∴ ，
∴点M的坐标为 ，点N的坐标为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（Ⅰ） 将a=1，C (0，-1)代入抛物线解析式中，可求出，即得顶点坐标； （Ⅱ） 先求出抛物线的解析式为 ， 可得顶点D的坐标为 ，过点D作 轴于点G ， 由于 及勾股定理可得，求出a值，即得结论；
（Ⅲ）当 时，将点 向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得 ．作点F关于x轴的对称点 ，得点 的坐标为 当满足条件的点M落在线段 上时， 最小，此时， ，过点 作 轴于点H，利用勾股定理建立方程，求出a值，即得 、 的坐标， 求出直线 的解析式为 ，将M的坐标代入可求出m值，即得点M、N的坐标.
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