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郑州市 2026年高三第二次质量预测数学评分参考
一、选择题(每小题5分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C D C A
二、选择题(每小题6分,共18分)
题号 9 1O 1
答案 ABC BD ACD
三、填空题(每小题5分,共 15分)
12.O 13 14./3
四、解答题
15.解:;(1)因为BD=2DC,所以S△ABc=3S△4Dc,
3
则 AB·ACsin∠BAC= -AD.ACsin∠DAC,
2
即 AB·ACsin∠BAC=3AD·ACsin∠DAC, 3分
因为∠BAC+∠DAC=π,所以sin∠BAC=sin(π-∠D4C)=sin∠DAC,
所以AB=3AD,即.AB三3。AD 6分
(2)不妨令BD=2DC=2,则BC=3,CD=AC=1,设AD=x,则AB=3x
在△ACD中,由余弦定理得x2=AC2+CD2-2AC·CDcos∠ACD,
即 x2=2-2cos∠ACD.① 9分
在VABC中,由余弦定理得9x2=BC2+AC2-2BC·ACcos∠4CB,即
9x2=10-6cos∠ACD.② 11分
2
①②联立,解得cos∠ACD: 3 13分
16解:(1)设AC∩BD=0,在平面PAC内过点A作AH⊥PO,垂足为H
因为平面PAC⊥平面PBD,平面PAC∩平面PBD=PO,
所以AH⊥平面PBD, 2分
又BDC平面PBD,所以BD⊥AH, 3分
因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以BD⊥PA, 4分
因为BD⊥AH,PA∩AH=A,PAC平面PAC,AHC平面PAC,
所以BD⊥平面PAC, 5分
1
又因为PCC平面PAC,所以BD⊥PC 6分
(2)在△ABD中,由AB=V3,AD=1,AB⊥AD,可得BD=2,∠ABD
6
由(1)知BD⊥AC,则V。-aBcp: 1S4BCpXPA= -x2x ACx√3=2,3 2
解得 AC=2√3,∠BAO=L3 所以BC=√(√3)2+(2√3)2-3·2√3=3,AB⊥BC,
8分
因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以AP⊥AB,AP⊥AD,
以AP,AB,AD为Z,x,y轴建立如图所示空间直角坐标系,
所以P(0,0,√3),4(0,0,0),B(√3,0,0),D(0,10),C(√330), 9分
设平面PBC的一个法向量为π=(x,y,z),
BC=(0,3,0),BP=(-√3,0,√3)
[BC.n=3y=O
则{6P.7=_√3x+√3z=0’取π=(1.0.1), 11分
设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,z),
又PD=(0,1,-√3),PC=(√3,3,-/3)
[PD.m=y-√3z=0
则 取m= -2。√3,1) 13分
PC.m=√3x+3y-√3z=
n.m
所以cos(而,而)
元而 √2x√8 4
所以平面PAD与平面PCD的夹角的余弦值为 15分
2
17解:(1)当a=2时,J(x)=2x-xe,/(x)=2-(x+1)e^,设切点(o,2xo-xe”
则切线方程为y-(2xo-xe)=(2-(xo+1)e)(x-xo), 2分
把(0,m)代入得m-(2x-xoe°)=(2-(xo+1)e")(0-xo),整理得m=xoe”
因为过点(0,m)可以作曲线y=J(x)三条切线,所以m=xoe”有三个解 4 分
设g(x)=xe,g(x)=(x+2x)e,令g()>0,得x<-2或x>0,令g(x)<0,得-2所以g(x)在区间(-,-2)和(0,+oo)上单调递增,在(-2,0)上单调递减
4
g(-2)=az,g(0)=0,所以当0y=f(x)三条切线. /分
(2)J(x)≤a+b等价于b≥ax-xe°-a对任意xeR成立,令h(x)=(x-e°-aa>0,则
b2h(x)mx
n(x)=a-(x+1)e,h(x)=-(x+2)e,h(x)在(,-2)上单调递增,在(-2,+o)上单调递减
当x<-1时,1(x)>0,x→+0,H(x)<0,所以存在∈(-1,+0),h()=0,且当x∈(,)
h(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(xo,+o),h(x)<0,h(x)单调递减
h(x)ms=h(x)=axo-xe^,又因为h(xo)=a-(×o+1)e"=0,所以a=(xo+1)e^
h(x)max=xo(xo+1)e°-xoe°-(xo+1)e°=(xo-xo-1)e", 11分
存在a>0,即xo∈(-1,+o),使得b≥h(xo)即可,所以b≥h(xo)mm
令0(×)=(x°-x-1)e,x>-1,0(x)=(x2+x-2)e^=(x+2)(x-1)e°,所以g(x)在(-11)上单
调递减,在(1,+o)上单调递增,q(x)mm=0(1)=-e.所以b≥-e
综上,当b≥-e时,存在a∈R+,使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立 15分
bC
18.解:(1)因为焦点到一条渐近线的距离为1,即d=√a2+b2;=b=1,又点P(2,-1)在双
曲线上,所a2以 b22_=1,解得a2=2.所以双曲线的方程为之-y=1. 5分
3
(2)圆E:(x-5)2+y2=2的圆心E(5,0),半径为√2
因为T是圆E上的动点,直线ST与圆E相切,所以ST⊥TE,TE=√2
所以|ST|=√SE2-|Er2=√SE2-2
设S(xo,y0),因为点s是双曲线C上的动点,所以￥ y =1
x
所以|SE|=√(xo-5)2+y6= xo-1Oxo+25+
1O 乙
当xo= 时,|SE取得最小值,此时|SEn=
22 4/3
所以sT=√5 2= 1O分3
(3)由题意知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为v=1x+m
x y2=1
联立2 整理得(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0,
[y=koc+m
A=(-4/m)2-4(1-2k2)(-2m2-2)=8(m2+1-2k2)>0且1-2k2≠0,
4km -2m2-2
设A(z,M),B(xzsY2),则x+xz=1—2k2,xxz= 12分1-2k2
直线P4的方程为y+1=业土(x-2)
x一Z
令x=0,则y=-1-2M+2 目b
五_2
2y +2
同理可得,
x
1Ox +25
因为M,N关于原点对称, 13分
小值,此时SE
即_1_2(2a +m)+24{_13
x_2 3
的斜率存在,设直线AB的方程为y=1cc
整理得(2k+1)xx -(2k-
+(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0,
即(2k+1)(-m2-3) 2km(Zn T1_4m=O,
1-k2 1-k2
整理得m2+2km+2m+2k+1=0, 14分
4
(3)P(X=k)=P(x≤k)-P(X≤k-1)=<-,k=1,2n
随机变量X的期望E(X)=>k·P(X=k)
k=
=1.(5)+2.(2)-(2)+-+m1-("2)
=n-(2)-(2)- -(2a) 13分
设f(x)=x"+(1-x)",x∈(0,1),f°(x)=nx"-1-(1-x)
当n=1时,P(X=1)=1,E(X)=1×1=1,等号成立;
当n≥2时,当x∈|0,二时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当xe(了,1)时, (x)>0,f(x)单调递增;
所以f(x)=x"+(1-x)"≥f(5)=元 15分
设at=(2)+(2)+ +(222)+("21)
因为M=-("21)+("22)+ +(2)+(2)
所以2M≥(n-1)_2n,所以M≥
综上所述,E(x)≤n-2一1 17分
2
5

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