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广东省深圳市民治中学教育集团2025-2026学年九年级（下）第一次月考数学试卷
1．如图，这是某机器零件的设计图纸.下列长度（L）的零件合格的是（　　）
A．39.2mm B．39.6mm C．39.9mm D．40.5mm
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
最短长度为：40-0.2=39.8
最长长度为：40+0.2=40.2
∵39.2<39.6<39.8>39.9<40.2<40.5
故答案为：C
【分析】根据有理数的加减求出长度范围，再逐项进行判断即可求出答案.
2．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．下列等式成立的是（　　）
A． B．x2 x5=x10
C．（x2）3+（x3）2=2x6 D．（-c）4÷（-c）2=-c2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：x2 x5=x7，错误，不符合题意；
C：（x2）3+（x3）2=2x6，正确，符合题意；
D：（-c）4÷（-c）2=c2，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据负整数指数幂，同底数幂的乘法，除法，合并同类项法则，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4． 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=140°，∠CDF=160°，则∠BGD的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为 AB 平行于主光轴 PQ，∠ABE=140°，
所以 BE 与 PQ 的夹角为 180° 140°=40°；
因为 CD 平行于主光轴 PQ，∠CDF=160°，
所以 DF 与 PQ 的夹角为 180° 160°=20°；
在由 BE、DF 和 PQ 围成的△BGD 中，∠BGD=40°+20°=60°。
故答案为：A。
【分析】本题结合平行线性质与三角形内角和定理进行角度计算，核心是利用 “平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点” 的物理特性，转化为几何中平行线与三角形的角度关系，通过邻补角求出折射光线与主光轴的夹角，再在三角形中计算目标角。
5．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点A'作A'C⊥AB于点C
在Rt△OCA'中
∵
∴A'C=A'Osin
∵栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米
∴A'O=AO=4
∴A'C=4sinα
故答案为：B
【分析】过点A'作A'C⊥AB于点C，解直角三角形，结合旋转性质即可求出答案.
6．一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计红球出现的频率如图，则红球的个数最可能是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线图可得，随着实验次数的增加，红球出现的频率稳定在0.6附近
∴红球出现的概率为0.6
∵总数为15
∴红球的个数最可能是15×0.6=9
故答案为：C
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
7． 如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由网格的直角特性可知∠AOB = 90°。因为∠ACB 和∠AOB 同对弧 AB，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠ACB = × 90° = 45°。
故答案为：B。
【分析】 本题考查圆周角定理的应用，核心是先确定圆心角∠AOB 的度数，再利用 “同弧所对的圆周角等于圆心角的一半” 这一性质求出∠ACB。解题关键是通过网格的直角特征，判断出∠AOB 为 90°。
8．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0且b2-4ac＞0）的函数叫做“绝对值“函数.小明同学画出了“绝对值”函数y=|x2-4x-5|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（-1，0），（5，0）和（0，5）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x=2；
③当-1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；
④当x≤-1或x≥5时，函数的最小值是9；
⑤当y=x+b与y=|x2-4x-5|的图象恰好有3个公共点时b=1或
其中结论正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵（-1，0)，（5，0）和（0，5）满足函数y=|x2-4x-5|，结论①正确
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为直线，结论②正确
∵函数与x轴的两个交点坐标为（-1，0)，（5，0)，且对称轴为直线x=2
∴当-1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x值的增大而增大，结论③不正确；
∵当x=-1或5时，y=0，
∴当x≤-1或x≥5时，函数的最小值是0，结论④不正确；
∵函数y=|x2-4x-5|与x轴的两个交点为（-1，0)，（5，0）
又∵y=x+b与y=x平行
∴当y=x+b与y=|x2-4x-5|的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①y=x+b经过点（-1，0)，此时b=1
②当y=x+b与函数y=-（x2-4x+5）只有一个交点时，则方程x+b=-（x2-4x+5）有两个相等的实数根
整理得：x2-3x+b-5=0
∴判别式△=（-3)2-4(b-5)=0
解得：，结论⑤正确
综上所述：正确的结论是①②⑤
故答案为：B
【分析】将点（-1，0），（5，0）和（0，5）代入解析式可判断①；根据函数图象的对称性可判断②；结合函数图象可判断③④；再根据一次函数与二次函数图象公共点分类讨论：①y=x+b经过点（-1，0)，此时b=1，②当y=x+b与函数y=-（x2-4x+5）只有一个交点时，则方程x+b=-（x2-4x+5）有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
9． 已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是　 　.
【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
5×2-m=8，解得：m=2
故答案为：2
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
10．下表给出了二次函数y=ax2+bx+c中x，y的部分对应值：
x … 0.25 0.5 0.75 1 …
y … -1.69 -0.25 1.31 3 …
估计方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是　 　 .
【答案】0.5＜x＜0.75
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由题意可得：当x=0.5时，y=-0.25<0
当x=0.75时，y=1.31>0
∴方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是0.5＜x＜0.75
故答案为：0.5＜x＜0.75
【分析】根据题意估算方程的解即可求出答案.
11．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB=8m，拱高CD=2m，则拱桥的半径为　 　 m.
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：延长CD，取拱桥的圆心O，连接OA
∵AB=8，CD=2
∴
设OA=r，则OD=r-2
由勾股定理可得OA2=AD2+OD2
即r2=42+(r-2)2
解得：r=5
故答案为：5
【分析】延长CD，取拱桥的圆心O，连接OA，根据垂径定理可得AD，设OA=r，则OD=r-2，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．如图，直线y=-x-2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y=（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD：S△AOB=1：4，则k的值为　 　．
【答案】-6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵直线y=-x-2的图象与x、y轴交于B、A两点
∴点A（0，-2），B（-4，0）
∴OA=2，OB=4
∵CD⊥x轴
∴CD∥OA
∴△AOB∽△CDB
∵S△BCD：S△AOB=1：4
∴
∴CD=1，BD=2
∴OD=OB+BD=6
∴点C的坐标为（-6，1）
∵反比例函数y=（x＜0）的图象过点C
∴K=-6×1=-6
故答案为：-6
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得点A（0，-2），B（-4，0），根据两点间距离可得A=2，OB=4，根据直线平行判定定理可得CD∥OA，再根据相似三角形判定定理可得△AOB∽△CDB，则，代值计算可得CD=1，BD=2，根据边之间的关系可得OD，根据点的坐标可得点C的坐标为（-6，1），再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BF，如图所示：
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=
∴BH= ，
则BF= ，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF=
【分析】连接BF，由线段中点的定义可得BE=BC，用勾股定理可求得AE的长；用面积法可求得BH的长，由折叠的性质可得BF=2BH，听我FE=BE=EC，由等边对等角可得∠FBE=∠BFE，∠FCE=∠CFE，用三角形内角和定理可求得∠BEC=，在直角三角形BCF中，用勾股定理可求得CF的长。
14．解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来.
【答案】解：
解不等式①可得：x>-1
解不等式②可得：x≤5
∴不等式组的解集为：-1将解集在数轴上表示如下
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可.
15．某校团委会开展“科技改变未来”为主题的科技活动日，拟安排五场科技专题报告，每场专题报告时长均为90分钟，具体内容为：A.数学与生活；B.人工智能；C.科技与创新；D.AI与生活；E.理化前沿.为全面了解学生的参与意向（每个学生有且只能参与一场活动），团委会委托数学项目式学习小组对全校学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且都有效，并根据调查数据绘制成如图1、图2的两幅不完整的统计图.
请结合统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数和该学校的学生总人数；
（2）请在图1中补全条形统计图；
（3）学校团委会打算将专题报告的地点安排在多媒体教室和录播教室，相关信息如“活动日安排表”所示，其中A和C两场报告时间与场地已经确定.在确保听报告的每个同学都有座位的情况下，请你帮助项目组将B，D，E三场报告的场地合理安排在“活动日程表”中的①，②，③处（写出一种方案即可），并说明理由.
“科技改变未来”科技活动日安排表
地点时间 多功能厅（200座） 录播教室（100座）
8：00-9：30 C 设备检修
10：00-11：30 ①　 　 A
14：00-15：30 ②　 　 ③　 　
【答案】（1）解：E场报告占的百分比为1-10%-15%-25%-30%=20%
∴圆心角为：360°×20%=72°
∴学生总数为：120÷20%=600(人），
答：扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数为72°，该学校的学生总人数为600人；
（2）解 选A的人数为600×10%=60（人），
选B的人数为600×15%=90（人），
选C的人数为600×25%=150(人），
选D的人数为600×30%=180（人），
补全条形统计图如下：
（3）D；E；B
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（3） ①，②，③处分别为D，E，B
理由：参加B，D，E三场报告的学生人数分别为90人，180人，120人
∵180>120>90，多功能厅（200座），录播教室（100座）
∴B只能安排在录播教室，D，E安排在多功能厅（顺序可以交换）
∴安排方式分别为D，E，B
故答案为：D；E；B
【分析】（1）求出E场的百分比，再乘360°可得圆心角，再乘以E场的人数可得总人数.
（2）分别求出每一场的人数，再补全图形即可.
（3）根据题意分析判断即可求出答案.
16．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA=60°，；当摆球运动至点C时， ∠COA=37°，CE⊥OA.（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求DE的长.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：在Rt△BOD中，∠BOD=60°，
∴
在Rt△BOD中，
∴
∴OC=OB=10
在Rt△COE中，∠COE=37°，
∴
∴DE=OE-OD=3
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】解直角三角形即可求出答案.
17．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种滑动变阻器用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种滑动变阻器的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种滑动变阻器单价贵6元.
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？
【答案】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，
根据题意得：×1.5，
解得：x=48，
经检验，x=48是所列方程的根，且符合题意．
∴x+6=54，
答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元
（2）解：设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100-m）个，
根据题意得：48m+54（100-m）≤5000，
解得：m≥66，
答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100-m）个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．如图1，AB是⊙O的直径，点C在直线AB上，CD切⊙O于点D.
（1）若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明.（使用部分条件且求解正确酌情给分，使用全部条件且求解正确得满分）
（2）如图2，请用尺规作出过点C的另一条⊙O的切线l.
【答案】（1）解：求OD的长
如图，连接OD
∵AB为直径
∴∠AOB=90°
∴
∴
（2）解：如图，直线l即为所求
【知识点】勾股定理；切线长定理；圆周角定理的推论；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理的推论可得∠AOB=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据切线长定理作CD=CF交圆O与点F，连接CF即可.
19．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x2中，当x=1时，y=1，则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究.
探究1
（1）对一次函数y=kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论：
①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是；
③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点.
以上结论中，你认为正确的是　 　（填写正确结论的序号）.
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件.
（3）探究2
对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答.若抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式.
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12-x）件，获得利润y元.请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请求出不动点坐标.
【答案】（1）③
（2）解：∵一次函数y=x+b(k≠0)是“不动点函数”
∴代入点（m，m），
得m=mk+b
整理得(1-k)m=b
∴当1-k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数
当1-k=0即k=1时，b=0
（3）解：由抛物线y=x2-2bx+c=(x-b)2+c-b2得顶点坐标为(b，c-b2)
∵抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点
b=c-b2
（4）解： 该函数是“不动点函数”，理由如下：
根据题意得，y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72
∴令x=-x2+18x-72
整理得x2-17x+72=0
解得x1=8，x2=9
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）①对于y=x+2
由于m≠m+2
所以y=x+2不是“不动点函数”，原说法错误
②对于y=-3x+2，代入点(m，m），得m=-3m+2
解得m=
所以y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是
③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确
故答案为：③
【分析】（1）根据不动点函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据不动点函数的定义将点(m，m)代入解析式，化简，再分类讨论即可求出答案.
（3）将解析式转换为顶点式，再根据不动点函数的定义即可求出答案.
（4）根据题意得，y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72，根据不动点函数的定义建立方程，解方程即可求出答案.
20．【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴.
【概念理解】
（1）下列图形一定是对称四边形的是　 　 ；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（5，1），C（1，3），D组成的四边形为对称四边形，则满足点D的个数为　 　 ；
（3）【性质探究】
如图2，对称四边形ABCD关于直线AC对称，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E，若AE=EO=OC=2，求对称四边形ABCD的面积.
（4）【拓展应用】
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一点，△AED沿边AE折叠得到△AEF，延长AE交射线DC于G，则当A，B，E，F组成的四边形为对称四边形时，求的值. （作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
【答案】（1）①③④
（2）3
（3）解：∵ 四边形ABCD关于AC对称，∴ AC垂直平分BD，即，。
已知，则，。
设，在中，。
由，，即。
由，得，故，。
在中，，。
代入面积等式：，解得。
。
故面积为。
（4）解：如图2-1，因为△AED沿边AE折叠得到△AEF，所以AF=AD，∠FAE=∠DAE，因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AC=AD=CD，∠ADC=∠ABC =60°，△ACD和△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠DAC=60°，AC=AD，当筝形ABFE是对称四边形时，此时点F在点C处，∠CAE=∠DAE=30°，四边形ABEF是对称四边形，故DG=CG，=1，
如图2-2，，当筝形AFBE是对称四边形时，此时BF=AF=AD=AB，AE=BE=CE.
所以△ABF是等边三角形，点E是△ABE的中心，所以∠BAF=60°，∠BAE=30°，所以AE⊥AF，∠DAE=∠FAE=90°，所以D、A、F共线，因为∠ADC =60°，所以DG=2AD=2CD，=2，
如图2-3，，当等腰梯形ABFE是对称四边形时，此时AB=AD=AF=BE，DE=DG，因为DG=DE=BD-BE=CD-CD=(-1)CD。
所以GC=CD-DG=(2-)CD，=+1，
如图2-4，，当等腰梯形AEBF是对称四边形时，此时AD=DE=AB=EF，因为AB//CD，所以△ABE∽△GDE，所以，因为BE=BD-DE=AD-DE=DE-DE，
所以，所以。
综上， 的值为或或或。
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）①矩形沿对边中点连线或对角线所在直线折叠后重合，是轴对称图形；
②平行四边形一般无法沿直线折叠后重合，不是轴对称图形；
③等腰梯形沿上下底中点连线折叠后重合，是轴对称图形；
④筝形沿对角线AC折叠后，AB与AD、BC与CD分别重合，是轴对称图形。
所以一定是对称四边形的是 ①③④。
故答案为：①③④；
（2）已知A(1，1)、B(5，1)、C(1，3)，要使四边形ABCD为对称四边形：
以AB的垂直平分线为对称轴，得；
以AC的垂直平分线为对称轴，得（与B重合，舍去）、；
以BC的垂直平分线为对称轴，得、；
去重后共3个不同的点D，
故答案为：3。
【分析】(1)根据轴对称图形定义，逐一判断各图形是否为轴对称图形。
(2)根据对称四边形的轴对称性质，分三类对称轴讨论点D的位置。
(3) 利用对称四边形的轴对称性质，结合勾股定理与面积法求解。
(4)根据菱形与折叠性质，分四种轴对称情况讨论与的比值。
1 / 1广东省深圳市民治中学教育集团2025-2026学年九年级（下）第一次月考数学试卷
1．如图，这是某机器零件的设计图纸.下列长度（L）的零件合格的是（　　）
A．39.2mm B．39.6mm C．39.9mm D．40.5mm
2．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列等式成立的是（　　）
A． B．x2 x5=x10
C．（x2）3+（x3）2=2x6 D．（-c）4÷（-c）2=-c2
4． 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=140°，∠CDF=160°，则∠BGD的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
5．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
6．一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计红球出现的频率如图，则红球的个数最可能是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
7． 如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0且b2-4ac＞0）的函数叫做“绝对值“函数.小明同学画出了“绝对值”函数y=|x2-4x-5|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（-1，0），（5，0）和（0，5）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x=2；
③当-1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；
④当x≤-1或x≥5时，函数的最小值是9；
⑤当y=x+b与y=|x2-4x-5|的图象恰好有3个公共点时b=1或
其中结论正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9． 已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是　 　.
10．下表给出了二次函数y=ax2+bx+c中x，y的部分对应值：
x … 0.25 0.5 0.75 1 …
y … -1.69 -0.25 1.31 3 …
估计方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是　 　 .
11．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB=8m，拱高CD=2m，则拱桥的半径为　 　 m.
12．如图，直线y=-x-2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y=（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD：S△AOB=1：4，则k的值为　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为　 　．
14．解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来.
15．某校团委会开展“科技改变未来”为主题的科技活动日，拟安排五场科技专题报告，每场专题报告时长均为90分钟，具体内容为：A.数学与生活；B.人工智能；C.科技与创新；D.AI与生活；E.理化前沿.为全面了解学生的参与意向（每个学生有且只能参与一场活动），团委会委托数学项目式学习小组对全校学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且都有效，并根据调查数据绘制成如图1、图2的两幅不完整的统计图.
请结合统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数和该学校的学生总人数；
（2）请在图1中补全条形统计图；
（3）学校团委会打算将专题报告的地点安排在多媒体教室和录播教室，相关信息如“活动日安排表”所示，其中A和C两场报告时间与场地已经确定.在确保听报告的每个同学都有座位的情况下，请你帮助项目组将B，D，E三场报告的场地合理安排在“活动日程表”中的①，②，③处（写出一种方案即可），并说明理由.
“科技改变未来”科技活动日安排表
地点时间 多功能厅（200座） 录播教室（100座）
8：00-9：30 C 设备检修
10：00-11：30 ①　 　 A
14：00-15：30 ②　 　 ③　 　
16．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA=60°，；当摆球运动至点C时， ∠COA=37°，CE⊥OA.（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求DE的长.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种滑动变阻器用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种滑动变阻器的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种滑动变阻器单价贵6元.
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？
18．如图1，AB是⊙O的直径，点C在直线AB上，CD切⊙O于点D.
（1）若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明.（使用部分条件且求解正确酌情给分，使用全部条件且求解正确得满分）
（2）如图2，请用尺规作出过点C的另一条⊙O的切线l.
19．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x2中，当x=1时，y=1，则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究.
探究1
（1）对一次函数y=kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论：
①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是；
③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点.
以上结论中，你认为正确的是　 　（填写正确结论的序号）.
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件.
（3）探究2
对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答.若抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式.
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12-x）件，获得利润y元.请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请求出不动点坐标.
20．【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴.
【概念理解】
（1）下列图形一定是对称四边形的是　 　 ；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（5，1），C（1，3），D组成的四边形为对称四边形，则满足点D的个数为　 　 ；
（3）【性质探究】
如图2，对称四边形ABCD关于直线AC对称，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E，若AE=EO=OC=2，求对称四边形ABCD的面积.
（4）【拓展应用】
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一点，△AED沿边AE折叠得到△AEF，延长AE交射线DC于G，则当A，B，E，F组成的四边形为对称四边形时，求的值. （作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
最短长度为：40-0.2=39.8
最长长度为：40+0.2=40.2
∵39.2<39.6<39.8>39.9<40.2<40.5
故答案为：C
【分析】根据有理数的加减求出长度范围，再逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：x2 x5=x7，错误，不符合题意；
C：（x2）3+（x3）2=2x6，正确，符合题意；
D：（-c）4÷（-c）2=c2，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据负整数指数幂，同底数幂的乘法，除法，合并同类项法则，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为 AB 平行于主光轴 PQ，∠ABE=140°，
所以 BE 与 PQ 的夹角为 180° 140°=40°；
因为 CD 平行于主光轴 PQ，∠CDF=160°，
所以 DF 与 PQ 的夹角为 180° 160°=20°；
在由 BE、DF 和 PQ 围成的△BGD 中，∠BGD=40°+20°=60°。
故答案为：A。
【分析】本题结合平行线性质与三角形内角和定理进行角度计算，核心是利用 “平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点” 的物理特性，转化为几何中平行线与三角形的角度关系，通过邻补角求出折射光线与主光轴的夹角，再在三角形中计算目标角。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点A'作A'C⊥AB于点C
在Rt△OCA'中
∵
∴A'C=A'Osin
∵栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米
∴A'O=AO=4
∴A'C=4sinα
故答案为：B
【分析】过点A'作A'C⊥AB于点C，解直角三角形，结合旋转性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线图可得，随着实验次数的增加，红球出现的频率稳定在0.6附近
∴红球出现的概率为0.6
∵总数为15
∴红球的个数最可能是15×0.6=9
故答案为：C
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由网格的直角特性可知∠AOB = 90°。因为∠ACB 和∠AOB 同对弧 AB，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠ACB = × 90° = 45°。
故答案为：B。
【分析】 本题考查圆周角定理的应用，核心是先确定圆心角∠AOB 的度数，再利用 “同弧所对的圆周角等于圆心角的一半” 这一性质求出∠ACB。解题关键是通过网格的直角特征，判断出∠AOB 为 90°。
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵（-1，0)，（5，0）和（0，5）满足函数y=|x2-4x-5|，结论①正确
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为直线，结论②正确
∵函数与x轴的两个交点坐标为（-1，0)，（5，0)，且对称轴为直线x=2
∴当-1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x值的增大而增大，结论③不正确；
∵当x=-1或5时，y=0，
∴当x≤-1或x≥5时，函数的最小值是0，结论④不正确；
∵函数y=|x2-4x-5|与x轴的两个交点为（-1，0)，（5，0）
又∵y=x+b与y=x平行
∴当y=x+b与y=|x2-4x-5|的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①y=x+b经过点（-1，0)，此时b=1
②当y=x+b与函数y=-（x2-4x+5）只有一个交点时，则方程x+b=-（x2-4x+5）有两个相等的实数根
整理得：x2-3x+b-5=0
∴判别式△=（-3)2-4(b-5)=0
解得：，结论⑤正确
综上所述：正确的结论是①②⑤
故答案为：B
【分析】将点（-1，0），（5，0）和（0，5）代入解析式可判断①；根据函数图象的对称性可判断②；结合函数图象可判断③④；再根据一次函数与二次函数图象公共点分类讨论：①y=x+b经过点（-1，0)，此时b=1，②当y=x+b与函数y=-（x2-4x+5）只有一个交点时，则方程x+b=-（x2-4x+5）有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
9．【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
5×2-m=8，解得：m=2
故答案为：2
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】0.5＜x＜0.75
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由题意可得：当x=0.5时，y=-0.25<0
当x=0.75时，y=1.31>0
∴方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是0.5＜x＜0.75
故答案为：0.5＜x＜0.75
【分析】根据题意估算方程的解即可求出答案.
11．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：延长CD，取拱桥的圆心O，连接OA
∵AB=8，CD=2
∴
设OA=r，则OD=r-2
由勾股定理可得OA2=AD2+OD2
即r2=42+(r-2)2
解得：r=5
故答案为：5
【分析】延长CD，取拱桥的圆心O，连接OA，根据垂径定理可得AD，设OA=r，则OD=r-2，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】-6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵直线y=-x-2的图象与x、y轴交于B、A两点
∴点A（0，-2），B（-4，0）
∴OA=2，OB=4
∵CD⊥x轴
∴CD∥OA
∴△AOB∽△CDB
∵S△BCD：S△AOB=1：4
∴
∴CD=1，BD=2
∴OD=OB+BD=6
∴点C的坐标为（-6，1）
∵反比例函数y=（x＜0）的图象过点C
∴K=-6×1=-6
故答案为：-6
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得点A（0，-2），B（-4，0），根据两点间距离可得A=2，OB=4，根据直线平行判定定理可得CD∥OA，再根据相似三角形判定定理可得△AOB∽△CDB，则，代值计算可得CD=1，BD=2，根据边之间的关系可得OD，根据点的坐标可得点C的坐标为（-6，1），再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BF，如图所示：
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=
∴BH= ，
则BF= ，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF=
【分析】连接BF，由线段中点的定义可得BE=BC，用勾股定理可求得AE的长；用面积法可求得BH的长，由折叠的性质可得BF=2BH，听我FE=BE=EC，由等边对等角可得∠FBE=∠BFE，∠FCE=∠CFE，用三角形内角和定理可求得∠BEC=，在直角三角形BCF中，用勾股定理可求得CF的长。
14．【答案】解：
解不等式①可得：x>-1
解不等式②可得：x≤5
∴不等式组的解集为：-1将解集在数轴上表示如下
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可.
15．【答案】（1）解：E场报告占的百分比为1-10%-15%-25%-30%=20%
∴圆心角为：360°×20%=72°
∴学生总数为：120÷20%=600(人），
答：扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数为72°，该学校的学生总人数为600人；
（2）解 选A的人数为600×10%=60（人），
选B的人数为600×15%=90（人），
选C的人数为600×25%=150(人），
选D的人数为600×30%=180（人），
补全条形统计图如下：
（3）D；E；B
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（3） ①，②，③处分别为D，E，B
理由：参加B，D，E三场报告的学生人数分别为90人，180人，120人
∵180>120>90，多功能厅（200座），录播教室（100座）
∴B只能安排在录播教室，D，E安排在多功能厅（顺序可以交换）
∴安排方式分别为D，E，B
故答案为：D；E；B
【分析】（1）求出E场的百分比，再乘360°可得圆心角，再乘以E场的人数可得总人数.
（2）分别求出每一场的人数，再补全图形即可.
（3）根据题意分析判断即可求出答案.
16．【答案】解：在Rt△BOD中，∠BOD=60°，
∴
在Rt△BOD中，
∴
∴OC=OB=10
在Rt△COE中，∠COE=37°，
∴
∴DE=OE-OD=3
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】解直角三角形即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，
根据题意得：×1.5，
解得：x=48，
经检验，x=48是所列方程的根，且符合题意．
∴x+6=54，
答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元
（2）解：设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100-m）个，
根据题意得：48m+54（100-m）≤5000，
解得：m≥66，
答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100-m）个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：求OD的长
如图，连接OD
∵AB为直径
∴∠AOB=90°
∴
∴
（2）解：如图，直线l即为所求
【知识点】勾股定理；切线长定理；圆周角定理的推论；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理的推论可得∠AOB=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据切线长定理作CD=CF交圆O与点F，连接CF即可.
19．【答案】（1）③
（2）解：∵一次函数y=x+b(k≠0)是“不动点函数”
∴代入点（m，m），
得m=mk+b
整理得(1-k)m=b
∴当1-k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数
当1-k=0即k=1时，b=0
（3）解：由抛物线y=x2-2bx+c=(x-b)2+c-b2得顶点坐标为(b，c-b2)
∵抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点
b=c-b2
（4）解： 该函数是“不动点函数”，理由如下：
根据题意得，y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72
∴令x=-x2+18x-72
整理得x2-17x+72=0
解得x1=8，x2=9
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）①对于y=x+2
由于m≠m+2
所以y=x+2不是“不动点函数”，原说法错误
②对于y=-3x+2，代入点(m，m），得m=-3m+2
解得m=
所以y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是
③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确
故答案为：③
【分析】（1）根据不动点函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据不动点函数的定义将点(m，m)代入解析式，化简，再分类讨论即可求出答案.
（3）将解析式转换为顶点式，再根据不动点函数的定义即可求出答案.
（4）根据题意得，y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72，根据不动点函数的定义建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）①③④
（2）3
（3）解：∵ 四边形ABCD关于AC对称，∴ AC垂直平分BD，即，。
已知，则，。
设，在中，。
由，，即。
由，得，故，。
在中，，。
代入面积等式：，解得。
。
故面积为。
（4）解：如图2-1，因为△AED沿边AE折叠得到△AEF，所以AF=AD，∠FAE=∠DAE，因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AC=AD=CD，∠ADC=∠ABC =60°，△ACD和△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠DAC=60°，AC=AD，当筝形ABFE是对称四边形时，此时点F在点C处，∠CAE=∠DAE=30°，四边形ABEF是对称四边形，故DG=CG，=1，
如图2-2，，当筝形AFBE是对称四边形时，此时BF=AF=AD=AB，AE=BE=CE.
所以△ABF是等边三角形，点E是△ABE的中心，所以∠BAF=60°，∠BAE=30°，所以AE⊥AF，∠DAE=∠FAE=90°，所以D、A、F共线，因为∠ADC =60°，所以DG=2AD=2CD，=2，
如图2-3，，当等腰梯形ABFE是对称四边形时，此时AB=AD=AF=BE，DE=DG，因为DG=DE=BD-BE=CD-CD=(-1)CD。
所以GC=CD-DG=(2-)CD，=+1，
如图2-4，，当等腰梯形AEBF是对称四边形时，此时AD=DE=AB=EF，因为AB//CD，所以△ABE∽△GDE，所以，因为BE=BD-DE=AD-DE=DE-DE，
所以，所以。
综上， 的值为或或或。
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）①矩形沿对边中点连线或对角线所在直线折叠后重合，是轴对称图形；
②平行四边形一般无法沿直线折叠后重合，不是轴对称图形；
③等腰梯形沿上下底中点连线折叠后重合，是轴对称图形；
④筝形沿对角线AC折叠后，AB与AD、BC与CD分别重合，是轴对称图形。
所以一定是对称四边形的是 ①③④。
故答案为：①③④；
（2）已知A(1，1)、B(5，1)、C(1，3)，要使四边形ABCD为对称四边形：
以AB的垂直平分线为对称轴，得；
以AC的垂直平分线为对称轴，得（与B重合，舍去）、；
以BC的垂直平分线为对称轴，得、；
去重后共3个不同的点D，
故答案为：3。
【分析】(1)根据轴对称图形定义，逐一判断各图形是否为轴对称图形。
(2)根据对称四边形的轴对称性质，分三类对称轴讨论点D的位置。
(3) 利用对称四边形的轴对称性质，结合勾股定理与面积法求解。
(4)根据菱形与折叠性质，分四种轴对称情况讨论与的比值。
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