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圆--圆与解三角形、相似综合（解答题） 典型考点专题练
2026年数学中考二轮复习备考
1．如图，是的直径，内接于，取的中点，连接、，过点作，交的延长线于点，且，．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的值．
2．如图，内接于，是的直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
3．如图，四边形内接于，为的直径，点D为的中点，过点D的直线l交的延长线于点M，交的延长线于点N，且．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
4．如图，是的直径，点E，F是上的点且位于直径的两侧（点E位于左侧），连接，，过点B作的切线分别交，的延长线于点C，D，若．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
5．如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心、为半径作弧，点在上，且与、两点均不重合，点在上，且，过点作，交于点，连接、．
(1)求证：是弧所在的切线；
(2)当时，求的长．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB＝6，AE＝3，求：阴影部分面积．
7．如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，．
(1)求的长度；
(2)过点作圆的切线交线段的延长线于点，求证：
8．如图1，以的边为直径作，交于点，交于点，连接，，，．
(1)判断的形状，并证明；
(2)如图2，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，求的长．
9．在中，，延长至点D，以为直径的交的延长线于点E，过点E作的切线交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
10．如图，在四边形中，，平分，与相切于点，以为直径作交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
11．如图，内接于，直径，点在上．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，连接，．
(1)求证：；
(2)如图，连接，已知，为了求，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求．
小明的研究思路 小丽的研究思路
连接并延长交于点，连接，求出即可． 记交于点，连接，求出即可．
12．如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
13．如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点，与相交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若正方形的边长为，求弦的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一动点，过点作交于点．当时，求的长．
参考答案
1．(1)是的切线，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂径定理以及求锐角的余弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接，证明，即可得出结论；
（2）连接，设交于点，由（1）可得四边形是矩形，则，证明得出得出，证明得出，证明得出，进而得出，设，则，求得，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】（1）解：是的切线，理由如下，
如图，连接，

∵点是的中点
∴，
∵是的直径，
∴
∴
∵，
∴
∴，
又∵是圆的半径，
∴是的切线，
（2）解：如图，连接，设交于点

由（1）可得
则四边形是矩形，
∴，
∵
∴
又∵点是的中点
∴
∴
∴
∴
∵，．
∴
即，
又∵
∴
∴，即
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴，设，则
∴，
∵，设，则
∴，，
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明；
（2）根据圆周角定理得出，证明，得出，证明，即可得，求出，，，，证明，得出，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
，
弧弧，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
，
，
．
【点睛】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
3．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接交于点H，如图．证明，可得．证明，进一步解答即可；
（2）连接交于点H，连接，如图，证明．求解，．证明．可得．，．设，则，再进一步解答即可．
【详解】（1）证明：连接交于点H，如图．
∵点D为的中点，
∴．
∴，
∴．
∵为圆O的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
又是圆O的半径，
∴是圆O的切线．
（2）解：连接交于点H，连接，如图，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵点D为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴，．
设，则．
解得（不符合题意的根舍去）．
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，，可得，进而导角可得，即可得证；
（2）证，得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
又，
，
与所对的弧是同弧，
，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
又，
，
，
，
，
在中，
设：，，则：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）过点作于点，则，由，得到，由，得到 ，因此，从而，进而证得，得到，得证结论；
（2）由求出，在中， ，．证明，得到，求出，根据勾股定理在中即可求解．
【详解】（1）证明：过点作于点，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是所在圆的切线．
（2）解：∵，，
∴在中， ，
∴．
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴在中，．
6．（1）见解析 （2）
【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；
（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2．
∵DA平分∠BDE，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴OA∥DE．
∴∠OAE+∠AED=180°，
∵AE⊥CD，
∴
∴∠OAE＝90°，
即OA⊥AE．
又∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°．
∵∠AED＝90°，
∴∠BAD＝∠AED，
又∵∠2＝∠3，
∴．
∴
∵BA＝6，AE＝3，
∴BD＝2AD，
∴∠ABD＝30°，
由
∴BD＝，
延长AO交BC于H，
则四边形AHCE是矩形，
∴∠AHC＝90°，CH＝AE＝3，
∴BC＝2CH＝6，
∴cos∠CBD＝
∴∠CBD＝30°，
∴∠COD＝∠AOD＝60°，
由阴影部分面积＝
∴阴影部分面积＝
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．(1)
(2)见解析
【分析】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的判定相似三角形的判定和性质．
（1）连接，，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度，
（2）根据相似三角形的判定得出，再由其性质证明即可．
【详解】（1）解：连接，，
垂直平分，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
．
（2）是的直径，
，
，
是的切线，
于点，
，
，
，
，
．
8．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（ 1）根据，得出，根据圆周角定理得出，，证出，即可得，即是等腰三角形．
（ 2）由（ 1）得是等腰三角形，，利用勾股定理求得，证明，求得，，再证明，利用相似三角形的性质列式计算，即可求解．
【详解】（1）解：是等腰三角形，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即是等腰三角形；
（2）解：由（ 1）得是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，垂径定理，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）连接，根据，可得，由得，由切线的性质和垂直的定义可得，，故可得，从而可证明；
（2）连接，，由勾股定理得出，证明，求出，得；设，即，在和中，有，，即，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
又，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∴，
∴；
（2）解：连接，，如图，
∵是直径，
∴，
∵
∴，，
由勾股定理得，,
∵，
∴，
∴，即,
∴，
∴，
设，即，
在中，有，
在中，有，
∴
即，
解得：，
∴．
10．(1)详见解析
(2)的半径为
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由切线的性质证明，进一步即可得到结论；
（2）连接，得到，进而得出，得到，根据勾股定理得到，即可得到答案．
【详解】（1）证明：平分，
，
为的切线，
，
，
中，，
∴，
，
．
（2）解：连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为.
【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角函数的定义，正确的作辅助线是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弦的定义等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据圆周角定理得出；
（2）小明的研究思路：在中，求出，根据圆周角定理得出，即可求解；
小丽的研究思路：由（1）可得，根据垂径定理得出．在中，求出，根据等边对等角、三角形的外角的性质以及圆周角定理可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
根据作图可知：，
∴，
∴；
（2）解∶①选择小明的研究思路，如图2，
是直径，
．
在中，．
，
．
②选择小丽的研究思路，如图3，
由（1）可得，
．
在中，．
，
．
12．(1)见解析
(2)塑像的高约为
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证；
（2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
则．
∵，
∴．
（2）解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：塑像的高约为．
13．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连结，过作，垂足为，根据切线的性质，根据正方形的性质和等边对等角可求出，进而求出，根据等角对等边得出，则可得出四边形为正方形，得出，然后根据切线的判断即可得证；
（2）延长交于点，证明，可求出，根据等角对等边和垂径定理可得出，根据勾股定理求出，令，则，解方程，即可求解；
（3）连结，证明，可求出，即可求解．
【详解】（1）证明：连结，过作，垂足为，
与相切于点，
，
正方形，
，，
，
，
，
四边形为正方形，
，
与相切；
（2）解：延长交于点，
正方形，
，
，
，
，
，
在中，，
令，
，
，
；
（3）解：连结，
为直径，
，，
，
，
又，
在与中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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