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湖南省岳阳市第九中学2024年九年级下学期数学入学考试试卷
一、选择题（单选题，每小题3分，共30分）
1．下列选项中，是相似图形的本质属性的是（　　）
A．大小不同 B．大小相同 C．形状相同 D．形状不同
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：相似图形的本质属性是形状相同，
故答案为：D，
【分析】根据形状相同的两个图形相似解答即可.
2．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.
故答案为：A
【分析】利用黄金分割的定义，可得答案.
3．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵点（-2，3）在图象上，
∴k=-2×3=-6，
∴反比例函数的解析式为.
当x=-3，，
当x=1，，
当x=2，，
∴y2＜y3＜y1.
故答案为：C.
【分析】用待定系数法，将点（-2，3）代入，求出反比例函数的解析式；再根据解析式分别求出y1、y2、y3的值，再比较即可.
4．抛物线 与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，=-4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，-4），
当y=0时，-x2+4x-4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点.
故答案为：C
【分析】抛物线与y轴的交点个数由来判断，另外抛物线与y轴还有一个交点。
5．计算的结果为（　　）
A．2 B．-2 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】带入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
6．二次函数是由二次函数怎样平移得到的（　　）
A．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度
C．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度
D．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数 的图象向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到二次函数 的图象.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可答.
7．如图，△ABC中，D为AC中点，AF∥DE，S△ABF：S梯形AFED=1∶3，则=（　　）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：1
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： ∵AF∥DE，
∴△CDE∽△CAF，
∵D为AC中点，
∴CD： CA=1： 2，
∴S△CDE： S梯形AFED=1： 3，
又∵S△ABF： S梯形AFED=1： 3，
∴S△ABF： S△CDE=1： 1.
故答案为：D.
【分析】根据平行线得到△CDE∽△CAF，即可得到然后根据题意求出△ABF与△CDE的面积比解答即可.
8．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG= GC D．EG=2GC
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴ ．
故答案为：B
【分析】根据平行线分线段成比例即可得出答案。
9．某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2=0.002、s乙2=0.03，则（　　）
A．甲比乙的产量稳定
B．乙比甲的产量稳定
C．甲、乙的产量一样稳定
D．无法确定哪一品种的产量更稳定
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵s甲2=0.002、s乙2=0.03，
∴s甲2＜s乙2，
∴甲比乙的产量稳定．
故选A．
【分析】由s甲2=0.002、s乙2=0.03，可得到s甲2＜s乙2，根据方差的意义得到甲的波动小，比较稳定．
10．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵四边形为正方形，
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠ACO=∠BDO=90°，∠CAO=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△AOC=S△OBD==，
∴n=-3.
故答案为：A.
【分析】连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，利用AAS证明△AOC≌△OBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=S△OBD==，据此可得n的值.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知，则=　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据 结合 即可得出 的值.
12．如图，△OAB与△OA'B'位似，其中A，B的对应点A'，B'均在图中正方形网格格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为　 　.
【答案】(2m，2n)
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题图知，点 A 的坐标为(1，2)，点 A'的坐标为(2，4).
∵线段AB上有一点 P(m，n)，
∴点 P 在线段A'B'上的对应点 P'的坐标为(2m，2n).
故答案为：C.
【分析】根据位似比为k的两个图形的对应点的横、纵坐标同时乘以k解答即可.
13．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为　 　．
【答案】（22﹣x）（17﹣x）=300
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）=300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
14．在函数中，y随x的增大而减小，则x的取值范围是　 　.
【答案】x<-1
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
∴二次函数开口向上，且对称轴为x=-1，
∴当x<-1时，y随x增大而减小，
故答案为：x<-1.
【分析】由条件可知二次函数的对称轴为x=-1，且开口向上，可得出答案.
15．已知m、n是方程的两个根，则代数式的值为　 　.
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵m、n 是方程 的一个根，
∴将m代入等式成立，即
，
由韦达定理可得， ，
∵，
，
故答案为：5.
【分析】根据题意可得，，然后把代数式化为，然后整体代入解答即可.
16．坡比常用来反映斜坡的倾斜程度，如图所示，斜坡AB的坡比i=　 　.
【答案】1：2
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：
∴斜坡AB的坡比为
故答案为：1：2.
【分析】先根据勾股定理求出AC长，然后根据坡比的定义解答即可.
17．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是则铅球推出的距离OA=　 　m.
【答案】10
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】令y=0，则
解得x=10或x=-4(不合题意，舍去)，
10m.
故答案为：10.
【分析】令y=0，求出x的值，然后求出点A的坐标解答即可.
18．已知抛物线经过两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是　 　.
【答案】-1【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=
∴抛物线开口向上.
∴若点 A 在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
由题意，得不等式组无解；
若点B 在对称轴x=1的左侧，点A在对称轴x=1的右侧，
由题意，得
解得-1∴n的取值范围为-1故答案为：-1【分析】得到抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，根据题意分为两种，列不等式求出n的取值范围即可.
三、解答题（共66分）
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，用配方法解方程.
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
∴-4K(K-6)>0，
∴K>-
（2）当时，原方程为：x-6x-5=0
配方，得x-6x+3-3-5=0，
∴（x-3）=14，
∴x-3=或x-3=-，
∴x=3+，x=3-.
【知识点】配方法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据方程根的情况得到Δ>0，代入求出k的取值范围解答即可；
（2）当k=1时，得到原方程，然后利用配方法解方程即可.
20．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且AC=AD.
（1）求证：DE=AF；
（2）若∠ABC=∠CDE，求证：
【答案】（1）证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠ACF.
又∵AD=AC，∠ADE=∠FAC，
∴△DEA≌△AFC(ASA)，
∴DE=AF；
（2）证明：由（1）得：△DEA≌△AFC，
∴∠DEA=∠AFC，
∴∠DEC=∠AFB，
又∠CDE=∠ABC，
∴ΔABF∽ΔCDE，
∴=，
由（1）得：DE=AF
∴=
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF，再根据ASA可得△DAE≌△ACF，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA，从而可得∠AFB =∠CED，再根据相似三角形的判定可得△ABF∽△CDE，然后根据相似三角形的性质即可得证.
21．党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线.确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”.为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：
请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是　 　吨；
（2） 2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是　 　，平均数是　 　；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨
【答案】（1）10
（2）160吨；174吨
（3），
（吨．
即2023年该粮食大户的粮食总产量是312.5吨．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；有理数混合运算的实际应用；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）(吨)
故答案为： 10.
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量从小到大排列如下：120， 140， 160， 200， 250，
∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；
(120+140+160+200+250)÷5=174(吨)
故答案为： 160吨， 174吨；
【分析】(1)用2022年总量乘以早稻所占的百分比求解即可；
(2)根据中位数和平均数的概念求解即可；
(3)首先求出年增长率，进而求解即可.
22．如图，点A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'.
（1）反比例函数的图象经过点C'，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A'两点，求该一次函数的表达式.
【答案】（1）解：点的坐标是，点的坐标是，点为中点，
，，
，
将绕着点逆时针旋转得到△，
，
反比例函数的图象经过点，
，
该反比例函数的表达式为
（2）作轴于．
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，
该一次函数的表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；旋转对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先求出BC的长，然后根据旋转的性质得到点C'的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可；
（2）作轴于．然后根据AAS得到△AOB≌△BHA'，即可得到BH=3，A'H=4，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可.
23．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是多少 （结果精确到0.1cm，参考数据）
【答案】解：过点作于，过点作于，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即与尺上沿的交点在尺上的读数是．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于，过点作于，先根据等边对等角得到CE=BD=2cm，根据正切的定义求出OE长解答即可.
24．某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润 最大利润是多少
【答案】解：上涨x元的利润为y元，
设根据题意得：y=(10+x)(180-10x)
时，售价为30+4=34时，y有最大值，最大值为1960元，
所以，销售单价为34元，才能在一月内获得最大利润1960元.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据销售利润=销售量×单件利润即可确定函数的解析式；将函数解析式配方成顶点式后，根据函数的顶点坐标得到最大利润即可.
25．
（1）（问题情境）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；
（2）（类比探究）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）（拓展提升）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为多少.
【答案】（1）解：DG=BE，理由：
∵正方形ABCD，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∵正方形ECGF，
∴CG=CE，∠ECG=90°，
∴∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCE，
在△DCG和△BCE中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG=BE；
（2）解：，DG⊥BE．理由如下：
延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD，
∴∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCE，
∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，
∴CD：CB=CG：CE，
∵∠DCG=∠BCE，
∴△DCG∽△BCE，
∴，∠BEC=∠DGC，
∴
∵矩形ECGF
∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°
∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，
∴∠H=∠F=90°
∴DG⊥BE
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．
则∠ENC=∠ECG=∠GMC，
∴∠NEC+∠ECN=∠GCM+∠ECN=90°，
∴∠NEC=∠GCM
△ECN∽△CGM，
∴，
∵EN=AB=2，
∴CM=1，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G'，连接BG'交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值=BG'
由（2）知，
∴BE=2DG
∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）
∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
∵BG'=，
∴2BG+BE的最小值为4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）通过证明△BEC≌△DGC，即可求证；
（2）通过证明△BEC∽△DGC，可得 延长BE、GD相交于点 H.因为矩形ECGF，即可得到以∠FEC=∠FGC=90°，进而得到哦啊∠HEF+∠BEC=90°， ∠FGH+∠DGC=90°，证明∠H=∠F=90°，即可得到结论；
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于 M. 得到△ECN∽△CGM，根据对应边成比例得到CM=1，证明点G的运动轨迹是线段GM，将2BG+BE的最小值转化为求2(BG+DG)的最小值解答即可.
26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D.O为坐标原点，
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标.
【答案】（1）解：，，
，即的坐标为，
二次函数的图象与轴交于，两点且过的坐标，
设二次函数的解析式为，代入得：
，
解得：，
二次函数的解析式为
（2），
顶点的坐标为，
过作于，作于，
四边形的面积
.
（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，
，则，
，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
，
的坐标为，
所以过、的直线的解析式为，
令，
解得，或，
所以直线与抛物线的两个交点为，
即所求的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；已知正切值求边长；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先根据正切的定义求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）把二次函数配方得到顶点坐标，过作于，作于，根据四边形的面积计算即可；
（3）连接，过作交于，过作于，根据正切的定义求出CE长，再根据△EFC是 等腰直角三角形，求出FC=FE=1，即可得到点E的坐标，然后求出直线BE的解析式，联立两解析式求出交点的坐标解答即可.
1 / 1湖南省岳阳市第九中学2024年九年级下学期数学入学考试试卷
一、选择题（单选题，每小题3分，共30分）
1．下列选项中，是相似图形的本质属性的是（　　）
A．大小不同 B．大小相同 C．形状相同 D．形状不同
2．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
3．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
4．抛物线 与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．计算的结果为（　　）
A．2 B．-2 C．-1 D．1
6．二次函数是由二次函数怎样平移得到的（　　）
A．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度
C．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度
D．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度
7．如图，△ABC中，D为AC中点，AF∥DE，S△ABF：S梯形AFED=1∶3，则=（　　）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：1
8．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG= GC D．EG=2GC
9．某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2=0.002、s乙2=0.03，则（　　）
A．甲比乙的产量稳定
B．乙比甲的产量稳定
C．甲、乙的产量一样稳定
D．无法确定哪一品种的产量更稳定
10．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．3
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知，则=　 　.
12．如图，△OAB与△OA'B'位似，其中A，B的对应点A'，B'均在图中正方形网格格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为　 　.
13．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为　 　．
14．在函数中，y随x的增大而减小，则x的取值范围是　 　.
15．已知m、n是方程的两个根，则代数式的值为　 　.
16．坡比常用来反映斜坡的倾斜程度，如图所示，斜坡AB的坡比i=　 　.
17．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是则铅球推出的距离OA=　 　m.
18．已知抛物线经过两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是　 　.
三、解答题（共66分）
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，用配方法解方程.
20．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且AC=AD.
（1）求证：DE=AF；
（2）若∠ABC=∠CDE，求证：
21．党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线.确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”.为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：
请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是　 　吨；
（2） 2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是　 　，平均数是　 　；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨
22．如图，点A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'.
（1）反比例函数的图象经过点C'，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A'两点，求该一次函数的表达式.
23．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是多少 （结果精确到0.1cm，参考数据）
24．某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润 最大利润是多少
25．
（1）（问题情境）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；
（2）（类比探究）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）（拓展提升）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为多少.
26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D.O为坐标原点，
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：相似图形的本质属性是形状相同，
故答案为：D，
【分析】根据形状相同的两个图形相似解答即可.
2．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.
故答案为：A
【分析】利用黄金分割的定义，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵点（-2，3）在图象上，
∴k=-2×3=-6，
∴反比例函数的解析式为.
当x=-3，，
当x=1，，
当x=2，，
∴y2＜y3＜y1.
故答案为：C.
【分析】用待定系数法，将点（-2，3）代入，求出反比例函数的解析式；再根据解析式分别求出y1、y2、y3的值，再比较即可.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，=-4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，-4），
当y=0时，-x2+4x-4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点.
故答案为：C
【分析】抛物线与y轴的交点个数由来判断，另外抛物线与y轴还有一个交点。
5．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】带入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数 的图象向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到二次函数 的图象.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可答.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： ∵AF∥DE，
∴△CDE∽△CAF，
∵D为AC中点，
∴CD： CA=1： 2，
∴S△CDE： S梯形AFED=1： 3，
又∵S△ABF： S梯形AFED=1： 3，
∴S△ABF： S△CDE=1： 1.
故答案为：D.
【分析】根据平行线得到△CDE∽△CAF，即可得到然后根据题意求出△ABF与△CDE的面积比解答即可.
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴ ．
故答案为：B
【分析】根据平行线分线段成比例即可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵s甲2=0.002、s乙2=0.03，
∴s甲2＜s乙2，
∴甲比乙的产量稳定．
故选A．
【分析】由s甲2=0.002、s乙2=0.03，可得到s甲2＜s乙2，根据方差的意义得到甲的波动小，比较稳定．
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵四边形为正方形，
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠ACO=∠BDO=90°，∠CAO=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△AOC=S△OBD==，
∴n=-3.
故答案为：A.
【分析】连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，利用AAS证明△AOC≌△OBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=S△OBD==，据此可得n的值.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据 结合 即可得出 的值.
12．【答案】(2m，2n)
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题图知，点 A 的坐标为(1，2)，点 A'的坐标为(2，4).
∵线段AB上有一点 P(m，n)，
∴点 P 在线段A'B'上的对应点 P'的坐标为(2m，2n).
故答案为：C.
【分析】根据位似比为k的两个图形的对应点的横、纵坐标同时乘以k解答即可.
13．【答案】（22﹣x）（17﹣x）=300
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）=300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
14．【答案】x<-1
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
∴二次函数开口向上，且对称轴为x=-1，
∴当x<-1时，y随x增大而减小，
故答案为：x<-1.
【分析】由条件可知二次函数的对称轴为x=-1，且开口向上，可得出答案.
15．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵m、n 是方程 的一个根，
∴将m代入等式成立，即
，
由韦达定理可得， ，
∵，
，
故答案为：5.
【分析】根据题意可得，，然后把代数式化为，然后整体代入解答即可.
16．【答案】1：2
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：
∴斜坡AB的坡比为
故答案为：1：2.
【分析】先根据勾股定理求出AC长，然后根据坡比的定义解答即可.
17．【答案】10
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】令y=0，则
解得x=10或x=-4(不合题意，舍去)，
10m.
故答案为：10.
【分析】令y=0，求出x的值，然后求出点A的坐标解答即可.
18．【答案】-1【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=
∴抛物线开口向上.
∴若点 A 在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
由题意，得不等式组无解；
若点B 在对称轴x=1的左侧，点A在对称轴x=1的右侧，
由题意，得
解得-1∴n的取值范围为-1故答案为：-1【分析】得到抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，根据题意分为两种，列不等式求出n的取值范围即可.
19．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
∴-4K(K-6)>0，
∴K>-
（2）当时，原方程为：x-6x-5=0
配方，得x-6x+3-3-5=0，
∴（x-3）=14，
∴x-3=或x-3=-，
∴x=3+，x=3-.
【知识点】配方法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据方程根的情况得到Δ>0，代入求出k的取值范围解答即可；
（2）当k=1时，得到原方程，然后利用配方法解方程即可.
20．【答案】（1）证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠ACF.
又∵AD=AC，∠ADE=∠FAC，
∴△DEA≌△AFC(ASA)，
∴DE=AF；
（2）证明：由（1）得：△DEA≌△AFC，
∴∠DEA=∠AFC，
∴∠DEC=∠AFB，
又∠CDE=∠ABC，
∴ΔABF∽ΔCDE，
∴=，
由（1）得：DE=AF
∴=
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF，再根据ASA可得△DAE≌△ACF，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA，从而可得∠AFB =∠CED，再根据相似三角形的判定可得△ABF∽△CDE，然后根据相似三角形的性质即可得证.
21．【答案】（1）10
（2）160吨；174吨
（3），
（吨．
即2023年该粮食大户的粮食总产量是312.5吨．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；有理数混合运算的实际应用；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）(吨)
故答案为： 10.
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量从小到大排列如下：120， 140， 160， 200， 250，
∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；
(120+140+160+200+250)÷5=174(吨)
故答案为： 160吨， 174吨；
【分析】(1)用2022年总量乘以早稻所占的百分比求解即可；
(2)根据中位数和平均数的概念求解即可；
(3)首先求出年增长率，进而求解即可.
22．【答案】（1）解：点的坐标是，点的坐标是，点为中点，
，，
，
将绕着点逆时针旋转得到△，
，
反比例函数的图象经过点，
，
该反比例函数的表达式为
（2）作轴于．
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，
该一次函数的表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；旋转对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先求出BC的长，然后根据旋转的性质得到点C'的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可；
（2）作轴于．然后根据AAS得到△AOB≌△BHA'，即可得到BH=3，A'H=4，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可.
23．【答案】解：过点作于，过点作于，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即与尺上沿的交点在尺上的读数是．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于，过点作于，先根据等边对等角得到CE=BD=2cm，根据正切的定义求出OE长解答即可.
24．【答案】解：上涨x元的利润为y元，
设根据题意得：y=(10+x)(180-10x)
时，售价为30+4=34时，y有最大值，最大值为1960元，
所以，销售单价为34元，才能在一月内获得最大利润1960元.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据销售利润=销售量×单件利润即可确定函数的解析式；将函数解析式配方成顶点式后，根据函数的顶点坐标得到最大利润即可.
25．【答案】（1）解：DG=BE，理由：
∵正方形ABCD，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∵正方形ECGF，
∴CG=CE，∠ECG=90°，
∴∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCE，
在△DCG和△BCE中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG=BE；
（2）解：，DG⊥BE．理由如下：
延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD，
∴∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCE，
∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，
∴CD：CB=CG：CE，
∵∠DCG=∠BCE，
∴△DCG∽△BCE，
∴，∠BEC=∠DGC，
∴
∵矩形ECGF
∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°
∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，
∴∠H=∠F=90°
∴DG⊥BE
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．
则∠ENC=∠ECG=∠GMC，
∴∠NEC+∠ECN=∠GCM+∠ECN=90°，
∴∠NEC=∠GCM
△ECN∽△CGM，
∴，
∵EN=AB=2，
∴CM=1，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G'，连接BG'交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值=BG'
由（2）知，
∴BE=2DG
∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）
∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
∵BG'=，
∴2BG+BE的最小值为4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）通过证明△BEC≌△DGC，即可求证；
（2）通过证明△BEC∽△DGC，可得 延长BE、GD相交于点 H.因为矩形ECGF，即可得到以∠FEC=∠FGC=90°，进而得到哦啊∠HEF+∠BEC=90°， ∠FGH+∠DGC=90°，证明∠H=∠F=90°，即可得到结论；
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于 M. 得到△ECN∽△CGM，根据对应边成比例得到CM=1，证明点G的运动轨迹是线段GM，将2BG+BE的最小值转化为求2(BG+DG)的最小值解答即可.
26．【答案】（1）解：，，
，即的坐标为，
二次函数的图象与轴交于，两点且过的坐标，
设二次函数的解析式为，代入得：
，
解得：，
二次函数的解析式为
（2），
顶点的坐标为，
过作于，作于，
四边形的面积
.
（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，
，则，
，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
，
的坐标为，
所以过、的直线的解析式为，
令，
解得，或，
所以直线与抛物线的两个交点为，
即所求的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；已知正切值求边长；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先根据正切的定义求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）把二次函数配方得到顶点坐标，过作于，作于，根据四边形的面积计算即可；
（3）连接，过作交于，过作于，根据正切的定义求出CE长，再根据△EFC是 等腰直角三角形，求出FC=FE=1，即可得到点E的坐标，然后求出直线BE的解析式，联立两解析式求出交点的坐标解答即可.
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