资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数综合问题（特殊四边形问题） 典型考点专题练
2026年数学中考二轮复习备考
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为中心，作正方形，轴，点的横坐标为1．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边所在的直线的最短距离；
(3)当正方形内部的抛物线对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，求的取值范围；
(4)当抛物线与正方形的某条边或一组邻边只有2个交点，且交点的纵坐标之和为时，直接写出的值．
2．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m．
①当四边形为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点．
(1)求a，b的值．
(2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E，
①当直线经过点D时，求的长；
②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上．
(1)求b的值；
(2)若一次函数与一次函数交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对应的二次函数表达式；
(3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标．
6．如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过，，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标；
(3)M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点C作x轴的垂线交直线于点D，当，求此时C点的坐标；
(3)将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点E为点B的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
9．【问题探究】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的最大值，并求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若是抛物线的对称轴上的一动点，是抛物线上的一动点，是否存点点、，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值
(3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D
①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值．
②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积．
(3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上，
(1)求抛物线的解析式；
(2)矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线，
①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？
②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标；
(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A．
(1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标；
(3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围．
参考答案
1．(1)
(2)8
(3)或或
(4)
【分析】本题考查二次函数的综合题，用待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特点，运用了方程和分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由顶点式可得出抛物线的顶点坐标；再根据正方形的性质可分别得出正方形四个顶点的坐标，进而可得出结论；
（3）分情况讨论：当时，当时，当时，分别分情况讨论即可；
（4）分两类，抛物线与正方形的某一条边只有两个公共点，抛物线与一组邻边只有两个公共点，然后利用这两个公共点的纵坐标之和为建立方程，求出m的值．
【详解】（1）解：经过点，其对称轴为直线，
，
，；
抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
轴，即轴，点的横坐标为1，
点到轴的距离为1，
由正方形的性质可得，正方形的边长为2，
若点的坐标为，则，，，如图所示：
抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边所在的直线的最短距离为．
（3）当或时，抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小；当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而增大，
的取值范围是或或．
（4）点与顶点重合时，．此时、的纵坐标都为．以下分三种情况讨论．
第一种情况：点在第四象限，当时，正方形变小，交点、的纵坐标都小于，相加不会等于，此种情况不合题意．
第二种情况：当且与交于、时，，
，
，
到的距离和到的距离相等，都是，
，
（舍掉）或，
．
第三种情况：，，两个交点的纵坐标的和不可能为，此种情况不符合题意．
综上，．
2．(1)抛物线的函数表达式为；
(2)存在，点的坐标为或或．
【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解；
（）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解；
本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在点，理由如下，
∵，，
∴设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵点在直线上，
∴设，
∵点为直线右侧抛物线上一点，
设，
由抛物线的函数表达式为，
∴，
∴当时，，
∴，
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点，此时与点重合；
综上可知：点的坐标为或或．
3．(1)；
(2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或．
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围．
（1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式；
（2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可；
②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点坐标为，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，
，
，，
当四边形为正方形时，，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
或者，
解得，（不符合题意，舍去），
的值为1或0；
②根据①可知：当或时，，
当时，，
，
当或时，，
当时，的取值范围为或．
4．(1)
(2)①；②
【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题；
（2）①根据抛物线得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而推出点的坐标，即可解题；
②设点P的坐标为，进而得到点的坐标为，结合正方形性质得到点的坐标为，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得；
（2）解：①由（1）知，抛物线解析式为，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
轴，
当直线经过点D时，
有，则，
；
②设点P的坐标为，
轴，
点的坐标为，
，
在的左侧作正方形，且点F在抛物线上，
，
点的坐标为，
且，
整理得，
解得或，
动点P不与点O，B重合，
，
点P的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方形性质，二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
5．(1)；
(2)；
(3)或；
【分析】此题考查二次函数和一次函数综合题，准确求出二次函数表达式是解题的关键．
（1）由一次函数与轴交于点，得，则，再把点代入求出值；
（2）通过由两个一次函数组成方程组求出点的坐标，再由对称知识求出点的坐标，后将、、三点坐标代入即可；
（3）求出直线、的解析式，再联立解得点的坐标．
【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上，
点坐标为，
点坐标为，
点在一次函数的图象上，
，
；
（2）解：由方程组，解得，
点坐标为，
又点为点关于原点的对称点，
点坐标为，
一次函数与轴交于点，
点坐标为，
设二次函数对应的函数表达式为，
把，，三点的坐标分别代入，得，解得，
二次函数对应的函数表达式为；
（3）当四边形为菱形时，，
直线对应的函数表达式为，
直线对应的函数表达式为．
联立方程组．
解得或，
点坐标为或；
6．(1)
(2)
(3)N点坐标为或或或
【分析】本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的性质等知识，难度较大，解题关键是综合运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题．
（1）利用待定系数法解二次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法解得直线的函数解析式为，过P点作轴交于点Q，设，则，可得，利用二次函数的图像与性质即可获得答案；
（3）分为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线，分别作出图形求解即可．
【详解】（1）解：将，，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
过P点作轴交于点Q，
设，则，
，
，
当时，的面积最大，此时；
（3）设，，
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，（舍）或，，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，或，，
或；
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，（舍）或，，
；
综上所述：N点坐标为或或或．
7．(1)该抛物线的函数表达式为
(2)存在这样的点，此时点的坐标为
(3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32
【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）根据题意可知点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
（2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标；
（3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）解： 抛物线与轴的负半轴交于点，且，
．
把，，代入中，
得解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图，
四边形为菱形，，
，且，
，即点的纵坐标为．
由，得，（不合题意，舍去），
故存在这样的点，此时点的坐标为．
（3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图，
设点的坐标为．
，，，
，，，，
，
当时，，
此时点的坐标为，
即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32．
8．(1)
(2)或
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出直线的解析式，设 则点即可得到，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式得：；当或为对角线时，列方程求出值解题．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：设直线AB的解析式为，
则，解得，
∴直线的表达式为：
设则点
∴，
解得：
则点或
（3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位向上平移个单位，则，
∴点对应的点，
设点， 点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则，
即点；
当或为对角线时，
同理可得： 或，
解得：或，
即点或；
综上， 或或．
9．(1)
(2)最大值为，
(3)存在，或或
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，线段最值问题，平行四边形的性质．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点M的坐标是，则点，表示，然后利用二次函数的配方法求最值即可；
（3）分是对角线、是对角线和是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题．
【详解】（1）由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：，
（2）设点M的坐标是，则点，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，
这时点；
（3）存在，理由如下：
由（1）（2）抛物线的对称轴是直线，点，
设点，，
分三种情况讨论：
①当是对角线时，，解得：，
∴
∴点；
②当是对角线时，，解得：，
∴，
∴点；
③当是对角线时，，解得：，
∴，
∴点；
综上所述，存或或，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
10．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解；
（2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解；
（3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解；
【详解】（1）解：由得，
∴；
∵点B的横坐标为2．
∴；
∴；
将、代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式：
（2）解：∵点是线段上的动点．
∴，；
由题意得：
∴；
∵，
∴当时，线段有最大值，且最大值为；
（3）解：由（2）可知：；
∵ 轴，且两点均为整点，
∴线段的长为整数；
∴或；
若，则，解得（不符合题意）；
若，则，解得；
故或
当为边时，有且；
则，
∵，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的纵坐标为或；
即：整点R的坐标为或；
当为对角线时，设，
则，解得：；
或，解得：；
即：整点R的坐标为或；
综上所述：整点R的坐标或或或；
11．(1)
(2)①； ②存在；或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，两点间距离公式，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①求出直线表达式为，设，则，，由得到，再转化为二次函数求最值；
②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：①当，
∴
设直线表达式为：，
∴，
解得：，
∴设直线表达式为，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，面积最大值为，
∴此时；
②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，
此时，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
12．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案；
（2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案；
（3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则．
∴
∵，
∴
．
在和中，
∵，
，
，
，
点．
把点代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）由，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将点代入，
得，
解得，
直线的解析式为．
设直线和轴的交点为，
当时，，解得
∴点的坐标为，
，
．
（3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴
，
点．
过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．
过点作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
点．
当时，，
当时，，
∴两点都在抛物线上，
在抛物线上存在两点，使四边形为正方形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．(1)
(2)①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间
②存在或使得直线平分矩形面积，理由见详解
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，矩形的性质，平移的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，二次函数图象的性质得到，顶点的坐标为，运用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意得到，由二次函数图象平移的性质，图形结合分析即可求解；
②由题意得到平移后的抛物线的顶点在抛物线上，再求出它与的交点，由数形结合思想可得将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积，从而得解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点的坐标为，点在轴上，且位于第一象限，
∴，
∵抛物线的顶点在线段上，
∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为，
∴设抛物线，
把点代入得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①由题意可得，抛物线的顶点坐标为，，
∴，
∵矩形与矩形关于原点对称，
∴，如图所示，
∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即，
线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即，
∴，
∴当抛物线向左平移个单位得到，再向下平移个单位得到，
抛物线向下平移个单位得到，使得平移后抛物线经过点，
设抛物线，把点代入得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为，顶点坐标，
∴向下平移的范围是之间，
∴若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间；
②存在，理由如下，
∵，
∴，
当抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴得到解析式为：，
∴，
∴平移后的抛物线的顶点为，
令
则平移后的抛物线的顶点在抛物线上，
令，解得，，
∴，，
则，是靠近其端点的两个四等分点，
因此，只需将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积，
如图所示，
∵，，原抛物线的顶点是
∴当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置；
当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置；
∴或
∴存在或使得直线平分矩形面积．
14．(1)
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）由抛物线与轴交于两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：如图，当为矩形边时，当为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可．
（3）作的垂直平分线，垂足为，交于点，作于点，作点关于点的对称点符合条件，根据题意分别画图求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，
设，则，
当为矩形边时，可得或，
当时，则，即，
解得：，
则；
当时，则，即，
解得：，
则；
如图，当为矩形对角线时，
，四边形是矩形，
，
则，即，
解得：或，
则或；
综上：或或或．
（3）解：设直线的解析式为，则，解得：，
故直线的解析式为，
设，
作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示．
根据题意可得，
当时，，，故符合条件．
此时，，
解得：，
∴点的坐标为．
作于点，作点关于点的对称点．如图所示．
此时，则，故点符合条件．
根据题意，
∴，
∵，
∴，
过点作于H，
则，
∴，
∵点关于点N对称，
即点为线段的中点，
∴点的坐标为．
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论的方法解题是关键．
15．(1)，，，
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可；
(2) 过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可．
(3) 当点P、M重合时，则，确定，①当点M在点P的下方时和②当点M在点P的上方时，两种情况解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴，，
∵B、C在上，
∴，
解得，
∴，
当时，
解得，，
∴．
（2）解：过点P作轴交直线于点D，
设点，则，
则，
∴，
∵，
∴开口向下，函数有最大值，
且当时，有最大值为，
∴．
（3）解：当点P、M重合时，则，
∴，
①当点M在点P的下方时，即，
由题意得：，
当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象，
当时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即．
②当点M在点P的上方时，即或，
当点Q在对称轴左侧时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而增大，
当点P离开顶点时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小，
即，
综上，或．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的增减性，最值，矩形的性质，求不等式的解集，熟练掌握矩形的性质，抛物线的性质计算是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑