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二次函数综合问题（相似三角形问题） 典型考点专题练
2026年数学中考二轮复习备考
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点．
(1)求点的坐标；
(2)已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标．
2．已知，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，
（ⅰ）如图1，求证：是直角三角形；
（ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
3．已知，关于的二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象顶点为，连接、、．
(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：
A ；B ；C ；D ；
(2)作出点关于对称轴的对称点，连接、、，若和相似，求a的值；
(3)若，直接写出a的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标；
(3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标．
5．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接．
(1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式；
(2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标．
(3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标．
6．如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点．
(1)填空：写出下列点的坐标______；______；______；
(2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值；
(3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．
(1)求k的值及抛物线的解析式．
(2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标；
(3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
8．综合应用
如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、．
(1)求b、c的值及的度数；
(2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、．
①当时，求点F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值．
9．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
11．如图所示，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式，点C及顶点M的坐标．
(2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)直线交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标；
(3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值；
(4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)如图1，连结，，求的面积的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)或
【分析】（1）先将点代入直线中，求出，再求出抛物线的对称轴为，将代入直线中，即可求出点的坐标；
（2）根据题意得：，，若与相似，分和两种情况讨论即可；
【详解】（1）解：将点代入直线中，则，
解得：，
∵抛物线的对称轴为，
将代入直线中，则，
∴点的坐标为；
（2）解：根据题意得：，，
如图，当时，
此时，，
由（1）知，
∴；
如图，当时，
此时，，
∴，
设，
令中，则，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键．
2．(1)
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或
【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可；
（2）①利用勾股定理的逆定理证明即可；
②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
，
解得
抛物线的函数表达式为；
（2）解：（ⅰ），
当时，，
点坐标为，
当时，，
解得或，
点A在点的左侧，
点A坐标为，点坐标为，
，，，
，，
，
是直角三角形；
（ⅱ），
抛物线的对称轴是直线，
点坐标为，设点坐标为，
分两种情况：①当时，，
即，
解得，
此时点的坐标为或；
②当时，，即，
解得，
此时点的坐标为或；
综上，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用．
3．(1)
(2)见解析，
(3)
【分析】（1）把、分别代入函数解析式可求出、、坐标，再求出抛物线的对称轴即可求出的坐标；
（2）根据对称性可得，，再根据和相似得，即可得，解方程即可求解；
（3）设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，2为半径画圆，连接，可知当点在上或内时，，得，即得，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，，
，
把代入得，，
，
，
解得，，
，，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得，，
顶点为，
故答案为：；；；；
（2）解：如图1，点、关于对称轴对称，，点在对称轴上，
，，
，
和相似，
，
，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
；
（3）解：设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，2为半径画圆，连接，如图2，
当点在上或内时，，
，
即，
解得，
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，顶点坐标，相似三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，根据题意，正确画出图形和作出辅助线是解题的关键．
4．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)点E的横坐标为2或
【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析数，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到；
（3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
设在上的高为，在上的高为，
∵与的面积相等，
∴，
，
点的纵坐标为，
当时，即，
解得（舍去），，
；
（3）解：设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当时，
则，
，
解得或，
且，
，
当时，
则，
，
解得或不合题意舍去，
点的横坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．
5．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）设抛物线的表达式为：，将代入得，，可求，进而可得抛物线的表达式；
（2）由题意知，，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可；
（3）由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，由，可得的垂直平分线过原点，且平分第一、三象限，进而可得表达式为：，联立，计算求解，进而可得点E坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
将代入得，，
解得，，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：由题意知，，
当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解；
当时，，即，
解得，，
∴；
当时，，即，
解得，，
∴；
综上所述，点D的坐标为或；
（3）解：由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，
∵，
∴的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限，
∴表达式为：，
联立，
解得，，，
∴点E或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式是解题的关键．
6．(1)，，；
(2)最大值为；
(3)点坐标为或．
【分析】（）当时，解出的值，即可知道点坐标； 当时，解出的值，即可知道点坐标；
（）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设 ，求出长度，再转化的面积，得到 ，进而可求出面积最大值；
（）通过计算可得，进而可知只可能存在和 两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可；
本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线 与轴交于两点，且与轴交于点，
∴当时，，解得，，
当时，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，
由题意得，
解得 或，
∴，
设，则，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴
∴当时，的面积的达到最大值，最大值为；
（3）如图，过点作 轴，垂足为点，
∵，，，，
∴，，，，
∴，，
又∵，
∴，，，
设，则，
∵，
∴只可能存在和 两种情况，
当时，
∴，即，
解得：；
当时，
∴，即，
解得，
综上点坐标为或．
7．(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可；
（3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将，点的坐标，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：连接，过点作轴的对称点，
对于，当，则，
解得：或，
∴，
则，
由对称得：，
当，，
∴，而由知，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴
∴，
∴，
设直线表达式为：，代入得：，
解得：，
∴,
∴设直线表达式为：，
代入得：，
解得：，
∴直线表达式为： ，
联立直线表达式和抛物线表达式，得：，
解得：或（舍），
∴；
（3）解：存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，过点作轴于点，
由上知，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则,
则，，
∴，
解得：或；
当时，则
令，
解得：或（舍）
即，
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
8．(1)，，
(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可；先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可；
（2）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可；
②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，解得；
则，∴，
当时，，则，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：①如图2，延长交x轴于G，
由题意，，，，
∴是等腰直角三角形，则，
∵轴，轴，
∴，，
∴，，
∴，
∵当时，，
∴，则，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，则，即，
解得，，
当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去，
∴；
②如图3，连接，，过N作轴于G，
由①知，，则，
∵,，
∴要使与相似，分两种情况：
当时，
∵，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴（不合题意，舍去）；
当时，则，又，
∴是等腰直角三角形，∴，,
∴，则，
此时，
∵，，
∴，
∴，又，
∴，
综上，当时，与相似．
【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
9．(1)抛物线的函数表达式为；
(2)在射线上存在点，其坐标为：或或．
【分析】本题考查二次函数的综合运用，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，则，设，则，则，求出的值，即可求解；当时及当时，同理可解．
【详解】（1）解：（1）把点，代入，得：
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）（2）令，解得或8，
，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
则直线的表达式为：，
为等腰直角三角形，
当时，，
；
①当时，则，
设，
则，
，
解得（舍去）或6．
；
②当时，则，
设，
则，
，
解得：（舍去）或．
；
③当时，则，，
此时的点与点关于对称，
．
综上，在射线上存在点，其坐标为：或或．
10．(1)
(2)或
(3)存在，点P的坐标为
【分析】（1）将代入得，，计算求解，进而可得抛物线的解析式；
（2）当时，，即，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，，由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可；
（3）如图，在上取点，使，连接，证明，则，由，可得，则，如图，作关于直线的对称点，连接，，则，，，可得，即当时，为直线与抛物线的交点，由（2）可知，是抛物线上的点，进而可知重合，然后作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，即，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，，，
由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解；
当时，，
∴，
解得，或（舍去）或（舍去），
∴；
当时，，
∴轴，
把代入，得，
∴，，
∴，成立；
综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或；
（3）解：如图，在上取点，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，作关于直线的对称点，连接，，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，为直线与抛物线的交点，
由（2）可知，是抛物线上的点，
∴重合，
∴存在点P，使得，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
11．(1)，，
(2)存在，或或
(3)存在，或
【分析】（1）利用交点式直接求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式求出点C和顶点M的坐标即可；
（2）先求出抛物线的对称轴为 ，设点 ，然后分三种情况：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时，利用中点公式，即可求解；
（3）先求出点 ，再求出直线的解析式，可得到，然后两种情况：当 时和当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点
∴，
∴顶点坐标为，
当时，，
点；
（2）解：存在，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
根据（1）可知：点 ，
设点 ，
∵，
当为对角线时，另一条对角线为，
∴ ，
解得： ，
∴此时点；
当为对角线时，另一条对角线为，
∴ ，
解得： ，
∴此时点；
当为对角线时，另一条对角线为，
∴，
解得：，
∴此时点；
综上所述，点G的坐标为或或；
（3）解：存在，理由如下：
如图，连接，，
∵，
∴点 ，
设直线的解析式为 ，
把点 ， ，代入得：
，
解得：，
∴直线CM的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∴，且，
∴，
∴，
设 ，
又∵点P在线段上，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，
即 ，
解得： ，
∴此时点 ；
当时， ，
即 ，
解得： ，
∴此时点 ，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是正确分类．
12．(1)
(2)；
(3)
(4)存在，或
【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案；
（3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案；
（4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到．
【详解】（1）把代入，得，
∴．
把代入得：，
∴，
将、代入得：，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）设与y 轴交于点E，如图，
当时，，
解得，
∴点A的坐标是，
∴
∵，，
∴，
∴
∴
设直线的解析式为，把，代入得，
解得
∴直线的解析式为，
联立得到，解得，，
∴点D的坐标是；
（3）作轴于点K，交于点F，如图，
设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为；
（4），
∴．
又∵、，
∴，．
∴，
∴．
∵，
∴．，
∴．
又∵，
∴．
∴当N的坐标为时，．
如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴，即，解得：．
∴，
∴．
综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似．
【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可；
（2）过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，表示出，利用二次函数的最值解答即可．
（3）根据点，点，得到，继而得到，分和两种情况解答，设，则列出比例式计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：过点P作轴，交直线于点E，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
设，则，则，
∴，
∴当，的面积最大，且最大值为．
故当，的面积取得最大值，且最大值为．
（3）点、、为顶点的三角形与相似，且或．
理由如下：
当时，
得，
∴，
∵点，，
∴点是抛物线上的一对对称点，
设，则，
解得，
此时；
当时，
∵点，点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得（舍去），或（舍去），（舍去），
此时；
综上所述，点、、为顶点的三角形与相似，且或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数，配方法求最值；两点间距离公式；三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值，准确解方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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