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根据交点确定不等式的解集 典型考点专题练
2026年数学中考二轮复习备考
一、单选题
1．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
2．已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
3．当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③当时，的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论：
①；
②时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大；
③当时，；
④有可能成为等边三角形；
⑤的解集为；
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤
二、填空题
7．如图，一次函数的图像与二次函数（）的图像交于点A、B，且点A 在x轴上，点B在y轴上，则关于x的不等式的解集为___．
8．已知二次函数与一次函数 ，二次函数图象过点，则不等式的解集为_____．
9．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______．
10．已知方程的一个实根小于，一个实根大于，则实数的取值范围是________．
11．根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________．
三、解答题
12．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根；
(2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
(3)当为何值时，？
13．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程式的两个根．
(2)写出不等式的解集．
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
14．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为．
(1)求一元二次方程的两个根分别是多少？
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集是多少？
15．如图，直线经过点和，与抛物线在第三象限内交于点，的面积为．
(1)求抛物线解析式：
(2)结合图象直接写出不等式 的解集．
16．已知函数的图象如图所示，图像过，，，根据图象回答下列问题．
(1)关于x的方程的解为______．关于x的不等式的解集为______．
(2)如果关于x的方程无实数根，求m的取值范围．
17．如图，已知二次函数图象经过点和点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，求对应的值；
(3)结合函数图象，直接写出：当时，的取值范围．
18．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为．
(1)______，______；
(2)当时，x的取值范围是______；
(3)当时，的取值范围是______；
(4)当时，x的取值范围是______．
19．已知抛物线（a，b是常数，）．该抛物线经过，对称轴是直线．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)证明：图象上任一点的纵坐标为非负数；
(3)抛物线的图象上有点，直线上有点，且，求t的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A B A C B
1．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性．
【详解】解：∵ 对任意实数a，，
∴ ，即该二次函数抛物线开口向上，
∵ 抛物线与x轴交于、，且，
∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得：
当时，；当时，或，
∵ 点在抛物线上，即，
∴ 当时，，
当时，或．
对于选项A：当时，，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意；
对于选项B：当时，或，故该选项错误，不符合题意；
对于选项C：当时，或，故该选项错误，不符合题意；
对于选项D：当时，，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】首先由一次函数得到，，然后得到抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限，联立求出两个函数交点的横坐标为0和3，然后结合图象求解即可．
【详解】解：∵一次函数（）的图象不经过第三象限，
∴，
∴
∵抛物线G的解析式为
∴抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限，
联立一次函数和抛物线，得
解得或
∴一次函数和抛物线的交点的横坐标为0和3，
示意图如下：
∴由图象可得，当时，．
3．B
【分析】将和代入求出直线经过，再分别将点坐标代入抛物线解析式求出t的值，求出抛物线与直线只有1个交点时t的值，进而求解．
【详解】解：将代入得，
将代入得，
∴直线经过，
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
令，整理得，
当时，，
此时抛物线与直线只有1个交点，，
解得，
综上所述，当时满足题意．
4．A
【分析】由抛物线开口向上、对称轴、交y轴正半轴，得、、，故、；顶点最小值为1，恒成立；将变为，结合图象即可判断四个结论．
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴，
∴，对称轴为，常数项，
∴，
∴；
∴，①正确；
∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上，
∴对任意实数，都有，②正确；
∵
∴，③正确；
由题意得，
，
∴二次函数值小于一次函数的值，
∵二次函数过点和，这两个点也在直线上，
∴两个函数的交点为和，
由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线的下方，
∴不等式成立的范围是，④正确．
综上所述，正确的个数有4个．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键在于掌握a看抛物线开口方向，b看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
根据抛物线的开口，对称轴，与y轴的交点，以及特殊值可判断①②，根据函数图象对称性可得，以及当时，是x轴上方的图像，可判断③，根据二次函数性质可判断④．
【详解】解：由图知，二次函数开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
，
，
故①正确；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，
时，，
故②错误；
抛物线对称轴为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，的取值范围是，
故③正确；
④点，都在抛物线上，且，
则，
故④正确；
综上，结论正确的个数是3个；
故选：C．
6．B
【分析】①根据直线和抛物线的图象和性质求解；
②根据直线和抛物线的图象和性质求解
③根据直线和抛物线的图象交点求解
④根据抛物线的对称性进行求解；
⑤根据直线的对称性得出，关于轴对称的直线解析式为，然后确定交点，根据图象交点进行求解．
【详解】解：①∵直线与轴交于正半轴，
∴；
∵抛物线开口向上，
∴；
∴，
故①正确；
②当时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大，
故②正确；
③∵点的横坐标是，点的横坐标是3，
∴由图象可得当时，，
故③错误；
④若为等边三角形，则，
∴点关于轴对称，
则，，与矛盾，
∴不可能成为等边三角形，
故④错误；
⑤直线关于轴对称的直线解析式为，
∵直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，
∴直线与抛物线交于两点，且两点的横坐标是，点的横坐标是2，
∴的解集为，
即的解集为，
故⑤正确；
综上，正确的结论是①②⑤．
7．或
【分析】此题考查了一次函数与二次函数图像交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图像在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键．
根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围．
【详解】解：令，可得，
，
令，可得，解得，
，
由图可得关于x的不等式的解集为或，
故答案为：或．
8．或
【分析】把代入二次函数解析式可求出，联立两函数解析式可求出它们的交点的横坐标，再结合函数图象即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为，
联立得，解得或，
∴由函数图象可知，不等式的解集为或．
9．或
【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的取值范围，即可得解．
【详解】解：由图可知：当或时，抛物线在直线上方，
即不等式的解集是：或．
10．
【分析】将方程转化为开口向上的二次函数，“一个根小于、一个根大于”等价于和时函数值小于，据此分别代入函数后解不等式，再找出同时满足两个条件的的取值范围．
【详解】解：令，
二次项系数为，
函数图像开口向上，
方程一个实根小于，一个实根大于，
当或时，，
将代入可得，解得，
将代入可得，解得，
故实数的取值范围是．
11．或
【分析】本题考查了二次函数图象的性质．通过求二次函数的根，结合抛物线开口方向，确定不等式解集，即可求解．
【详解】解：当时，，
，
解得：，
由于二次项系数为，抛物线开口向上，
因此当或时，函数值大于，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
12．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，掌握相关知识是解决本题的关键．
（1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论；
（2）根据抛物线与轴交点的坐标，确定抛物线的对称轴，结合图象得结论；
（3）观察图象，在轴下方的部分总小于0．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于、，
的根为：，；
（2）解：二次函数的图象与轴交于、，
该图象的对称轴为直线，
图象开口向下，
当时，随的增大而减小．
即随的增大而减小时；
（3）解二次函数的图象与轴交于、，
观察图象可知：当或时，二次函数图象总在轴的下方．
当或时，．
13．(1)，
(2)
(3)对称轴是直线，则当时，随的增大而减小
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程以及不等式的关系，利用数形结合思想是关键．
（1）方程的解就是二次函数与轴的交点的横坐标；
（2）不等式的解就是使函数图象在轴下方部分自变量的范围；
（3）根据函数图象首先求得对称轴，然后根据函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据函数图象可得：方程的两个根是，；
（2）解：根据函数图象可得：不等式的解集为
（3）解：根据函数图象可得：对称轴是直线，则当时，随的增大而减小．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，轴对称的性质，掌握二次函数的这些性质是解题的关键．
（1）根据二次函数与一元二次方程的关系及抛物线的轴对称的性质回答即可；
（2）根据抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点横坐标回答即可．
【详解】（1）解：二次函数图象关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为。
根据对称轴性质：，解得,
所以，一元二次方程的两个根为．
（2）解：由图象可知：
二次函数开口向上，由（1）知，图象与轴交于和，
因此，当时，的取值范围是．
15．(1)；
(2)：或．
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的解析式求解、函数图象的交点问题及不等式的解集，熟练掌握函数图象的性质与交点坐标的求法是解题的关键．
（1）先代入点求直线解析式，再利用的面积求点坐标，最后代入抛物线解析式求；
（2）结合图象，找出直线在抛物线上方时的取值范围．
【详解】（1）解：∵ 直线经过点，
∴ ，
∴ ，
∴ 直线解析式为，
∵ 的面积为1，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 点在第三象限，
∴ ，
将代入得，
解得 ，
∴
将代入得，
解得，
∴ 抛物线解析式为；
（2）解：联立，
∴即，
解得，
∴ 另一个交点为，
结合图象，不等式的解集为：或．
16．(1)，；或
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系及求一元二次不等式组解集，利用数形思想解答是解题的关键．
（1）根据函数图象与x轴的交点坐标即可求解，再结合图象即可求得x的解集；
（2）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为，
将方程变形为，
由图象可知方程的解为，，
∴方程的解为，；
由函数图象可知，的解集为或，
故答案为：，；或．
（2）解：∵，
∴
∵方程无实根，
∴，
∴，
即m的取值范围是．
17．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，数形结合，掌握转化思想和数形结合思想是解题关键．
（1）利用待定系数法，将点和点代入二次函数解析式求解；
（2）令二次函数的求解即可；
（3）根据二次函数图像开口方向和时对应的值，得出的取值范围．
【详解】（1）解：点和点在二次函数图像上，
可得方程组，
解得，
则二次函数的解析式为．
答：．
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
令，则，
，
解得，．
答：，．
（3）解：由图可知，二次函数图像开口向下，
根据（2）可知，当，或，
故当时，．
答：．
18．(1)；
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为，从而可知，．再将代入，即可求出a的值；
（2）由（1）知函数解析式，令，求出x的值，得到函数图象与x轴的另一个交点，再根据函数图象即可解答；
（3）由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下，从而得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，进而得出的最大值为．求出当时，的值和当时，的值，再比较，即可得出当时，的取值范围；
（4）根据求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围，再结合图象即可得解．
【详解】（1）解：由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为，
∴，
将代入，得：，
解得：，
∴，；
故答案为：；；
（2）解：由（1）可知该抛物线的解析式为，
由图象可知该抛物线开口向下，
令，则，即，
解得：，
则该抛物线与x轴的另一个交点为，
∴时，；
故答案为：；
（3）解：由（1）可知该抛物线的解析式为，
由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，在处取的最大值为，
∵当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围是；
故答案为：；
（4）解：对于，令，则，
∴．
求时，x的取值范围，
即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围．
由图象可知当或时，函数的图象在的图象下方，
∴当时，x的取值范围是或．
故答案为：或．
19．(1)；
(2)见解析；
(3)或．
【分析】本题考查了把化成顶点式，待定系数法求二次函数解析式，根据交点确定不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
（1）根据抛物线经过点，对称轴是直线，得到关于待定字母的方程组求解，从而可得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式写成顶点式，从而可得出结论成立；
（3）分、、三种情况讨论，分别求得t的范围．
【详解】（1）解：抛物线经过点，对称轴是直线，
∴，
解得：
故抛物线的解析式是；
（2）解：由
所以图象上任一点的纵坐标为非负数；
（3）解：由已知，，，且轴．
①若时，
方程，
解得：或，
∴或时，
，
解得：或．
∴当时，的取值范围是或；
②若时，则，
不符合；
③若时，，
得，
因为，
故无解，
综上所述，的取值范围是或．
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