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利用不等式求自变量或函数值的范围 典型考点专题练
2026年数学中考二轮复习备考
一、单选题
1．已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，点都在关于x的函数的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．关于二次函数的四个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②当时，函数值的取值范围内恰有4个整数，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；④是抛物线上两点，若，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
二、填空题
6．已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为．
（1）______；
（2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______．
7．若点，，在二次函数的图象上，且则m的取值范围是_____．
8．已知点，是抛物线上不重合的两点．
（1）当时，，则________；
（2）若对于，都有，则的取值范围为________．
9．已知抛物线经过点，．
（1）抛物线顶点的纵坐标为___________；
（2）当时，都有，则的取值范围是___________．
10．已知，，，都在二次函数的图象上，当时，．若，则的取值范围是________．
11．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____．
三、解答题
12．已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，求自变量的取值范围．
13．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2)对于抛物线上两点，，总有，求的取值范围．
14．已知二次函数的图象过点，且与轴交于、两点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直接写出当函数值时，的取值范围；
(3)若点是该函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标．
15．如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点与点关于原点对称，且点恰好在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求n的取值范围．
16．已知二次函数（为常数）的图象交轴于点．
(1)求此函数图象的顶点坐标；
(2)当时，若点，都在该二次函数的图象上，且，求的最大值；
(3)若，求的取值范围．
17．已知抛物线
(1)请写出它的图像与轴没有交点的充要条件（的取值范围）；
(2)若，函数图像在轴上方，求的取值范围．
18．已知抛物线顶点是最高点，且经过点，．
(1)求的值（含的代数式表示）；
(2)若抛物线的对称轴为直线，点在抛物线的对称轴上，连接，，当线段与线段的和的值最小时，直接写出点的坐标；
(3)连接，将线段向右平移个单位长度得到线段，若线段与抛物线有且仅有一个交点，求的取值范围．
19．已知关于的二次函数，（实数为常数）．
(1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
(2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值；
(3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D B B D A
1．D
【分析】根据二次函数顶点式得到，由点P在函数图象上得到 ，结合题意得到，则，由此确定点坐标为 ，根据点 是段上不与P、M重合的点，得到，即，结合题意即可求解．
【详解】解：∵函数 的顶点为，且点 在函数图象上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，两边同除以 得：，则，
代入得 ，则，
∴点坐标为 ，且，
∵ 是段上不与P、M重合的点，
∴ ，即，
又∵在函数图象上，，
∴ ，即，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先利用抛物线对称轴公式求出的值，再代入已知交点求出的值得到抛物线解析式，通过配方确定顶点（最小值点），结合区间端点函数值与抛物线开口方向，确定的取值范围．
【详解】解：∵二次函数中，，对称轴，
∴，解得，
∵抛物线与轴交于点，代入得：，
解得，
∴抛物线解析式为，配方得，
∵，
∴抛物线开口向上，顶点为最低点，故的最小值为，
当时，，
当时，，
又∵，在该区间内，的最大值小于，最小值大于，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了的图象与性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先利用二次函数上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出函数的对称轴，进而确定二次函数解析式，再根据点A在点B右侧的条件确定横坐标的取值范围，最后结合二次函数的性质求出n的取值范围．
【详解】解：∵点A、B纵坐标均为n，且在二次函数的图象上，
∴A、B关于二次函数的对称轴对称，
∵二次函数的对称轴为，且A、B横坐标的中点为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，其对称轴为，开口向上，顶点为，
∵点A始终在B右侧，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
对于点A的横坐标，当时，，
对于点B的横坐标，当时，，
当时，二次函数随x的增大而减小，
取，则，
取，则，
∴，
当时，二次函数随x的增大而增大，
取时，则，
取时，则，
∴，
综上，的取值范围为．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可．
【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴离直线越近，函数值越小，
∵，
∴，即，
两边平方，得，
解得．
故选：D．
5．A
【分析】将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线，计算得出，即与关于对称轴直线对称，即可判断①；抛物线的顶点为，求出当时，，当时，，再分两种情况：当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大；当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，分别计算即可判断②；设，，则，，求得或，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合题意得出，计算即可判断③，由抛物线的对称轴并结合题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，即与关于对称轴直线对称，
∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故①正确；
∵，
∴抛物线的顶点为，
当时，，当时，；
当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故，
∵对应的y的整数值有4个，即，，，，
∴，
解得；
当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故，
∵对应的y的整数值有4个，即，，，，
∴，
解得：；
综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故②正确；
∵抛物线与轴交于不同两点，且，
∴设，，则，
解得：或，
在中，令，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
综上所述，若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∵，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出；
当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出，故④错误；
综上所述，正确的有①②③．
6． 1 或
【分析】（）代入可得，即，然后两边同时除以即可；
（）求出顶点纵坐标，然后代入求不等式即可．
【详解】解：（）代入可得，即，
∵，
∴，
∴；
（）抛物线顶点纵坐标为，
由题意得：，
∴或，
解得或，
由（）得，
∴，
∴或，
∴或．
7．
【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向和二次函数的性质，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离大小关系，列不等式求解即可．
【详解】对于二次函数，
，
∴抛物线开口向上，
抛物线对称轴为直线，
∵点的横坐标为2，即点C在对称轴上，
是二次函数的最小值，满足，，
由，根据开口向上的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，可得：
，
整理得 ，
两边平方得：，
展开得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴m的取值范围是．
8．
【分析】（1）先求抛物线对称轴，再利用函数值相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质求解；
（2）先将抛物线配方为顶点式，再作差得到的表达式，通过分类讨论的正负，结合不等式恒成立条件求解的取值范围即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，
当时，点的横坐标为，
∵，
∴点和点关于对称轴对称，
∴，
解得，
又∵点，不重合，
∴符合题意；
（2）将抛物线配方得：
，
∵点横坐标为，点横坐标为，
∴，
由题意，即对任意都成立，
∵，
∴，
∴，
分两种情况讨论：
①当时，不等式两边除以，得：
，
要使该不等式对满足的所有恒成立，
则需，
解得，
与无交集，此时无解；
②当时，不等式两边除以，得：
，
要使该不等式对满足的所有恒成立，
则需，
解得或，
结合，得；
综上，的取值范围为．
9． 或
【分析】（1）将一般式化为顶点式即可；
（2）分为和两种情况讨论，当时，由图象可知，抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，结合题意可得，从而得出的取值范围；当时，使用同样的方法计算即可．
【详解】解：（1），
∴抛物线顶点的纵坐标为；
（2）①当时，抛物线开口向上，
由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越小，
∵当，都有，
∴对于，都成立，
∴，
∵，
∴，即；
②当时，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越大，
∵当时，都有，
∴对于，都成立，
∴，
∴，解得；
综上所述，的取值范围为或．
10．
【分析】根据题意，得二次函数开口向下，利用二次函数的增减性解答即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握增减性是解题的关键．
【详解】解：二次函数可化为，
故抛物线的对称轴为，
由时，，可知离对称轴越远函数值越小，
故抛物线开口向下，即，
由，得，
整理，得，
当时，恒成立；
当时，，解得，
当时，，无解，
故的取值范围是．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围．
【详解】解：在抛物线中，，，
∴对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
要使恒成立，则的上界须小于等于的下界，
∵，
∴的下界是，
因此，对于任意都必须满足，即，
∴且，
解得且．
同时，要使，成立，解得，．
综上，t的取值范围是．
故答案为：．
12．(1)
(2)或
【分析】()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，即可解答；
()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则：，
，
解得，
∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上，
∴当时，或．
13．(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）由图象知抛物线过， 分别找出P点和关于对称轴的对称点坐标，然后分类讨论Q点在对称轴的左侧或右侧，利用二次函数的增减性根据得到各点横坐标的大小关系，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为
（2）解∶ ，对称轴为直线，
在对称轴左侧，随增大而增大；在对称轴右侧，随增大而减小．
，
点在对称轴的左侧，
则关于对称轴的对称点在对称轴右侧，
由抛物线解析式知抛物线过点，此点在对称轴右侧，
则关于对称轴的对称点在抛物线对称轴的左侧，
考虑总有
若在对称轴左侧，
则，
即；
若在对称轴右侧，
则，
即．
综上所述：或．
14．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）设函数的解析式为，代入，解答即可；
（2）根据函数的增减性解答即可；
（3）设点的纵坐标为的面积公式为：，解答即可．
本题考查了待定系数法，二次函数的增减性，面积计算，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设函数的解析式为，
将代入：
．
函数表达式为：．
（2）解：令，代入得：，
解得．
函数图象开口向上，
故时，的取值范围是：．
（3）解：根据题意，得．
设点的纵坐标为的面积公式为：，
代入得：
，即或．
当时，代入函数表达式：，
解得，
．
当时，代入函数表达式：，
解得．
综上，点的坐标为：或或或．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论等知识点，熟练掌握相应知识是解题的关键．
（1）根据二次函数对称轴为求出的值，再把点代入二次函数解析式进而求出的值即可；
（2）根据关于原点对称的坐标特征可得的坐标，把的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（3）分，，三种情况进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数对称轴为直线，
∴，
解得，
把代入得，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：点关于原点对称的点，
把代入二次函数表达式得，
解得．
（3）解：当或时，；当时，；当时，，
①当时，则在对称轴的左边，
∵二次函数的图象开口向上，
∴当时取得最大值，时取得最小值，
∴，
解得，不合题意，舍去；
②当时，则包含对称轴在内，
∴当时取得最大值，时取得最小值，
∴，符合题意；
当时，则在对称轴的右边，
∵二次函数的图象开口向上，
∴当时取得最大值，时取得最小值，
∴，
解得或，不合题意，舍去；
综上所述，n的取值范围为．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，解一元二次方程，掌握二次函数与对应一元二次方程的关系是解题的关键．
（1）将二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）将代入，得到函数解析式，根据点和点纵坐标相等，可知两点关于对称轴对称，再根据函数开口方向，可知当，即时，的值最大，即可求解；
（3）根据题意，可知为方程的两个不相等的实数根，即，代入，即可求解．
【详解】（1）解：，
二次函数图象的顶点坐标为．
（2）解：当时，函数解析式为，对称轴为直线，
点，都在该二次函数的图象上，且，
点和点关于二次函数对称轴对称，
，
二次函数开口向上，函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
当，即时，的值最大，为．
（3）解：根据题意，可知为方程的两个不相等的实数根，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的取值范围为．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质以及二次函数与轴的交点问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据二次函数与轴的交点情况，即可得出不等式，求解即可；
（2）对的正负进行分类讨论即可；
【详解】（1）解：若抛物线与轴没有交点，
∴函数图象的顶点在轴上方，
∵抛物线对称轴为直线，
故顶点纵坐标为，
化简得，
令，解得，
故当时，得其对应解集为，
故充要条件为．
（2）解：当抛物线顶点在轴或其左侧时，即时，
此时函数在上单调递增，
只需保证在 处的函数值非负即可，
此时，
当 时，，满足条件；
当抛物线顶点在轴右侧时，即时，
此时保证顶点纵坐标大于0即可，
即，
由（1）得结果为，结合，
故；
综上，的取值范围为．
18．(1)；
(2)点的坐标为；
(3)的取值范围是．
【分析】（1）将点，代入抛物线即可求解；
（2）由题意可得出点关于抛物线的对称轴的对称点为，则，当、、共线时，的值最小，求出直线的解析式，再求出当时，直线的函数值，即可求解；
（3）先求出直线的解析式，进而根据平移得到直线的解析式，联立直线解析式与抛物线得到，则抛物线在的范围内与轴有且仅有一个交点，据此求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
；
（2）抛物线的对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
，
当、、共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
在抛物线的对称轴上，
当时，，
线段与线段的和的值最小时，点的坐标为；
（3）设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
将线段向右平移个单位长度得到线段，
线段的解析式为，
即，
线段与抛物线有且仅有一个交点，
方程在的范围内有且仅有一个根，
方程在的范围内有且仅有一个解，
抛物线在的范围内与轴有且仅有一个交点，
抛物线对称轴为，，
当时，，
当时，，
即，
解得
的取值范围是．
【点睛】解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决．
19．(1)
(2)4或
(3)
【分析】（1）由二次函数的图像经过点得到，由对称轴为直线得到即可解答；
（2）分①当时，即，②当时，即，③当时，即三种情况分别根据二次函数的性质求最小值并列方程求解即可；
（3）分别求出的最小值，的最大值，由题意得到求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：当时，，
∴函数的表达式为，对称轴为直线，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当时，即，在内，y随着x的增大而增大，
当时，二次函数的最小值为12，
∴，解得（不合题意舍去）；
②当时，即，在内，
当时，二次函数最小值为12，
∴，解得（舍）（舍）；
③当时，即，在内，y随着x的增大而减小，
∴时，二次函数的最小值为12，
∴，解得（舍）或．
综上，的值为4或．
（3）解：由（1）得：，
当时，则时，的最小值为1，
∵，
∴当时，则时，的最大值为，
∵，时，始终满足，
∴，解得：．
【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
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