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圆--求弧长及相关面积 高频考点归纳 专项练 2026年数学中考二轮复习备考
一、单选题
1．为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，先以点A为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，线段是的直径，点C是上一点，连接，以点C为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点B．若的半径为2，则图中阴影部分的周长为（　　）
A． B． C． D．
4．小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，点是边上一点，经过点且恰好与边相切于点，与边交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，以为直径作，交于点，点是上一点，连接并延长，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，是边上的中线，以为直径的分别交，于点，，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．从宋代开始，折扇逐渐进入国人的生活，由于折扇扇面多为纸质，能够绘制细腻的书面，因此在近千年来折扇广泛受到中国人特别是古代文人的喜爱，逐渐成为文人精神和追求的象征．如图，是一个折扇作品，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是______．（结果用表示）
10．如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，于点D，若，，则的长为__________（结果保留）．

11．如图，在菱形中，，，分别以点A，C为圆心，，为半径画弧，图中阴影部分面积为______（结果保留π）．

12．如图，在菱形中，，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则图中阴影部分的面积为___（结果保留根号和）．
13．如图，为矩形的对角线，，，以点为圆心，以长为半径画弧，交延长线于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和π）．
三、解答题
14．如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分，
(1)求证：是的切线；
(2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积．
15．如图，在中，，以为直径的与交于点．
(1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）
16．如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点．
(1)判断并说明与的位置关系；
(2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）．
17．如图，四边形中，，，平分，交于点，以为直径的经过的中点．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
18．如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求 的长．
19．已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，E的延长线交射线于点D，若．
(1)求证：是切线；
(2)若，，求的长．
20．已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
21．如图，是的直径，是上的一点，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B B B A C
1．C
【分析】本题考查圆周角定理，扇形的弧长公式，构造扇形求弧长是解题的关键．
连接，根据圆周角定理求的度数，根据扇形的弧长公式求解即可．
【详解】连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
连接，判定是等边三角形，得到，推出，求出的周长，即可得到阴影部分的周长．
【详解】解：连接，
由题意得到：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵的周长，
∴阴影部分的周长．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，余弦，弧长，等边对等角．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
分别求出扇形中的长，扇形中的长，即可求解．
【详解】解：由题意知，扇形中的长为周长的一半，即，
∵线段是的直径，点C是上一点，的半径为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴扇形中的长为，
∴图中阴影部分的周长为．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查求弧长，圆周角定理，先求出圆弧所在圆的半径为，再求出所对的圆心角为，进而根据弧长公式即可得出答案．
【详解】解：∵圆弧上任意两点间的最大距离为
∴圆弧所在圆的半径为，
∵洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，
∴所对的圆心角为，
∴这个门洞的圆弧长为，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，解直角三角形求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得：，
∵是的切线，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的长为：，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了弧长公式，圆周角定理及推论，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
连接，，根据三角形外角的性质结合圆周角定理的推论求出，即可求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接．
为的直径，
．
由对顶角相等，可得．
．
，
．
．
，
．
，
．
的长为．
故选B．
7．A
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂径定理，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点，由折叠的性质可得，则可证明和是等边三角形，垂直平分，进而可得，解直角三角形得到，则，可求出，同理可得，再根据列式求解即可．
【详解】解：如图，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点．
由折叠可知．
和是等边三角形，垂直平分．
，
，
在中，，
∴，
∴，
同理可得，
，
故选：A．
8．C
【分析】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．连接，求出相关线段长度，利用进行解答即可．
【详解】解：连接，
∵，以为直径的分别交，于点，，
∴，
即三点共线，
∵，是边上的中线，
∴
∴，垂直平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
故选：C
9．
【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式，用大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求解．
【详解】解：∵圆心角，，，
∴阴影部分的面积是
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用垂径定理得到，设，在中利用勾股定理求出的值，得到，利用三角函数的知识得出，再利用弧长公式即可求解．
【详解】解：，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，扇形的面积．过点D作于点E，由得到，从而，运用勾股定理求得，从而得到菱形的面积，利用扇形的面积公式可求得扇形和扇形的面积，而阴影部分的面积等于扇形和扇形的面积和减去菱形的面积，即可解答．
【详解】过点D作于点E，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟知边形的性质及扇形的面积公式是解题的关键．
连接，将阴影部分的面积转化为四边形与中间空白部分两边形面积的差即可解决问题．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
，
又 ∵，
∴是等边三角形，．
∵点是的中点，
，
∴，
，
，
同理可得，，
，
∴，
∴，，
∵，
∴中间空白部分的面积为，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，连接，过点作，垂足为，结合解直角三角形求得，然后根据等腰三角形的性质和扇形面积公式分析计算．能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积差是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，
在中，，
，
在中，，，
，
根据题意可知，，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关知识是解题的关键。
（1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到，据此可证明结论；
（2）求出，根据题意可得扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，再根据列式计算即可。
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
由题意得，扇形和扇形的半径相同，且，
∴扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，
∴。
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答．
（2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，作图如图所示．
；
（2）解：由（1），得，
∴．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∴，
∴．
如图，连接，过点O作于点H．
则，
∴，
，
∴，
，
，
则．
【点睛】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
16．(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由等腰三角形三合一定理可得，故有，所以为的直径，从而得到是中位线，则，得到，最后由切线的判定即可求证；
（）连接，过作于点，证明是等边三角形，则有，，，然后根据直角三角形的性质可得，，，，最后通过弓形面积为即可求解．
【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由：
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴为的直径，
∴，
∴是中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：如图，连接，过作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴弓形面积为
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，切线的判定，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），连接，先说明，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得，可得，再根据说明，即可得出答案；
对于（2），连接，根据中位线的性质得，根据平行线的性质求出，最后根据弧长公式得出答案.
【详解】（1）证明：如图，连接，
为直径，
，
.
为的中点,
，
，
.
平分，
，
，
，
，
.
，
，
，
.
为直径,
与相切.
（2）解：如图，连接，
为的中点，为的中点，
，.
，
.
，
.
，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了切线的证明，平行线的性质，中位线的性质，弧长公式，线段垂直平分线的性质等，准确作出辅助线是解题的关键.
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得出，结合已知和圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可求出，，根据平行线的性质可得，最后根据切线的判定即可得证；
（2）根据等边对等角和平行线的性质可得出，结合由（1）中，可求出，根据圆周角定理求出，在中，根据勾股定理可求出，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴（负值舍去），
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，明确题意，添加合适辅助线，求出是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长的计算．
（1）过C作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，推出，即可证明是切线；
（2）由圆周角定理得到，求出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长．
【详解】（1）证明：过C作圆的直径，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴直径，
∴是切线；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长．
20．(1)见解析
(2)的长为．
【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明；
（2）设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴的长．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）先根据的平分线交于点得，再结合等边对等角以及角的等量代换得，故，根据，即可作答．
（2）先根据，得，再结合由（1）得，，证明是等边三角形，借助圆内接四边形对角互补得，因为，，则，证明四边形是平行四边形，结合解直角三角形的性质得，图中阴影部分的面积，代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）解：连接，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在优弧上取一点，连接，连接交于一点，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
则
∴在中，
则，
∴，
故图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形的相关运算，圆内接四边形，垂径定理，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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