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广东省广州市增城区2024-2025学年高三下学期5月模拟测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简求解即可.
2．满足等式的集合X共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】集合中元素的个数问题；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：方程的实数根有，则解集构成的集合为，
则的集合为，，，，共有4个.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得解集的集合，再根据，结合集合的并集与元素的关系求集合.
3．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，
所以，
所以，又因为，
所以，
所以，
又，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为，即.
故选：B.
【分析】由条件结合投影向量的定义（投影向量是将一个向量投影到另一个向量上得到的向量）可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.
4．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得，故该圆锥的表面积为.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，求底面半径，再根据圆锥的表面积公式求解即可.
5．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意可得，，则，即，.
故答案为：D．
【分析】由题意可得， ，消去可得， 结合对数运算求解即可．
6．设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数在单调递增，则，
由得，则，解得，
故甲是乙的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据函数单调性求出的范围，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
7．若函数有最大值，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
若，在上单调递增，没有最大值，
若，在上单调递减，
要想函数有最大值，则，解得；
若，，函数有最大值1，符合题意；
故实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】易知当时，，分，和结合函数的单调性列不等式求解即可.
8．已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】解：设的平分线交于点D，
则，
所以，
而，
设，则，于是，
所以，
在，由余弦定理可得：，
则，则，即椭圆离心率.
故答案为：C．
【分析】设的平分线交于点D，设，利用余弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系先求出，可得，再利用椭圆的定义，结合余弦定理，离心率公式求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
假设经验回归方程为，则（　　）
（参考公式：相关系数为）
A．
B．当时，对应的残差为0.04
C．样本数据y的第40百分位数为0.8
D．去掉点后，x与y的样本相关系数r不变
【答案】A,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、，
则样本点的中心坐标为，将它代入，得，解得，故A正确；
B、当时，的预测值为，对应的残差为，故B错误；
C、由为整数，则样本数据的第40百分位数为，故C错误；
D、去掉样本点后，新样本数据的平均值没有变化，即仍然成立，
不妨设为第组数据，即，则，其余数据没有变化.
则由相关系数公式可知，
即新样本数据与的相关系数与原数据相关系数相等，即与的样本相关系数不会改变，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据样本数据计算，得样本点中心，将样本中心点代入回归直线方程求解即可判断A；利用回归直线方程代值运算预测求残差即可判断B；根据百分位数求法步骤求解即可判断C；新样本平均值没有变化，由相关系数公式求解即可判断D.
10．已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（　　）
A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切
C． D．B，O，G三点共线
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，点，
设，
A、直线，联立，消去y得，由韦达定理可得，
则，故A正确；
B、，线段BD中点横坐标，
弦BD中点到准线的距离为，则以BF为直径的圆与准线相切，故B错误；
C、由，得，同理，
则，故C正确．
D、设直线，联立，得，则，
直线，直线OB与准线l交于，
联立，解得，
又因为，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】易知抛物线的焦点坐标和准线方程，直线，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理求解即可判断A；由抛物线的性质即可判断B；结合内错角相等求解即可判断C；设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可判断D.
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（　　）
A． B．的图象关于点对称
C． D．（）
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；简单复合函数求导法则；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、因为，所以，即，
令，得，故A正确；
B、，当时，得，则的图象关于点对称，故B正确；
C、假设成立，求导得，
即，又，所以，所以与矛盾，故C错误；
D、因为，，所以，，，，所以，则数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】对求导可得，再利用赋值法求解即可判断A；当时，两边同时除以可得，求函数的对称中心即可判断B；反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾即可判断C；求出，，推出，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求解即可判断D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等差数列的前n项和为，则　 　．
【答案】8
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列 公差为，由，可得，
即，解得，则.
故答案为：8.
【分析】设等差数列 公差为，由题意，利用等差数列的求和公式列式，求出公差，再利用等差数列求和公式求解即可.
13．某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有　 　种（用数字作答）．
【答案】42
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：6名学生随机分配到3个不同的办公室，有和两种情况，
当按照分配时，甲乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室，
先选一个办公室给甲乙两人，有种方法，将剩余的4人平均分配到两个办公室，有种方法，共有种情况；
当按照分配时，先选一个办公室给甲乙两人，有种方法，将剩余的4人按照1，3分配到两个办公室，有种方法，共有种情况，
综上，共有种情况.
故答案为：42.
【分析】利用分组、分配求解即可.
14．三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，则到平面的距离为　 　；设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为　 　.
【答案】；
【知识点】平面向量的坐标运算；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】取中点，连接，
因为，，所以，且，
因为是等腰直角三角形，所以，且，
又，满足，所以，
因为，所以平面，
因为点为棱的中点，所以到平面的距离为；
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
则，
则，
设，则可得，
则，则，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
则，
所以，
所以，令，解得，
又，所以在单调递增，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：；.
【分析】取中点，连接，通过得出平面可求出到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系设，利用向量关系表示出，求导可求出最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）已知，D是BC边的中点，且，求AD的长．
【答案】（1）解：，由正弦定理得．
在内，，则，，
即
因为，所以，
又因为，所以，所以；
（2）解：因为，所以，
因D是BC边的中点，则，
即，所以，
在中，由余弦定理，可得，
即，，
在， ．
【知识点】二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换化简求解即可；
（2）根据，利用等面积法求得，在中，利用余弦定理得，结合勾股定理求解即可.
（1）由正弦定理得：．
在内，，则有，
所以，即
因为，所以，
因为，所以，
所以．
（2）因为，则．
因D是BC边的中点，则，
即，所以．
在中，，
所以，
所以． 所以．
在， ．
16．如图，在三棱锥中，平面PBC，平面平面ABC．
（1）证明：；
（2）若，PC与平面PAB所成角的正切值为，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．
【答案】（1）证明：过点P作，垂足为O，
因为平面平面ABC，平面平面平面，
所以平面ABC，平面ABC，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
又因为平面PAB，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以；
（2）解：由平面PAB，则PC与平面PAB所成角等于，，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
因为，由（1）知，
所以，，
以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面APC的一个法向量为，则，
令，则，做，
易知平面ABC的一个法向量为．
．
设平面PAC与平面ABC夹角为，则，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点P作，垂足为O，利用面面垂直、线面垂直的性质得、，再利用线面垂直的判定、性质证明即可；
（2）由（1）知PC与平面PAB所成角等于，根据已知求出相关线段的长度，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）过点P作，垂足为O，
因为平面平面ABC，平面平面平面，
所以平面ABC，平面ABC，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
又平面PAB，所以平面PAB．
因为平面PAB，所以．
（2）由平面PAB，则PC与平面PAB所成角等于，
，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
因为，由（1）知，
∴，，
法一：如图，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面APC的一个法向量为，则，
令，则，做，
易知平面ABC的一个法向量为．
．
设平面PAC与平面ABC夹角为，则，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
法二：过点O作，垂足为D，连接PD，
因为，所以平面POD，
由平面POD，所以，所以二面角的平面角为，
因为平面PBC，平面PBC，则，
所以，
因为平面ABC，在直角三角形POD中，，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
17．已知函数，直线l是曲线在点处的切线．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在直线l经过点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，解得，
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增；
（2）解：因为，所以，
因为，所以，所以直线l的方程为，
因为l经过点，所以，化简得，
显然，所以，
设，，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以在时取得最小值，，则，即，解得或，
故a的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分、讨论，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）求导，利用导数的几何意义求切线方程，再根据点在切线上得，构造函数设，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得参数范围.
（1）函数定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，，解得，
由，解得，由，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增；
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以直线l的方程为，
因为l经过点，所以，化简得，
显然，所以，
设，又，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以在时取得最小值，，则，
即，解得或，
所以a的取值范围是．
18．某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若，且每个元件正常工作的概率．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
（2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
【答案】（1）解：①、若，则控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
则，
，
，
控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
②、设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件
则；
（2）解：控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即；
则，
当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）①、由题意可知随机变量服从二项分布，，利用二项分布可得分布列，再求得期望即可；
②、根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率即可；
（2）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.
（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，
②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件
则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为，
（2）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即；
则，
所以，当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
19．已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：.
【答案】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，得，即，
又双曲线经过点，得，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解： （ⅰ） 令，设两条直线的方程分别为和，
设，，联立，消元整理得，
由，得，，
则，，
点，同理得点，
于是直线的斜率，
直线的方程为：，
令，得，因此，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
即；
（ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，
由消去得，因此，，
则，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据双曲线渐近线方程可得，再根据双曲线经过点求得a，即可得双曲线方程；
（2）（ⅰ）令，设过点的两条直线方程分别为和，联立直线与双曲线方程，求得弦中点坐标，再求出直线的方程，建立的关系，结合等比数列的定义求数列的通项公式即可；
（ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，联立直线与双曲线方程，求出，再利用分组求和及等比数列前项和公式计算推理证明即可.
（1）由双曲线的两条渐近线为，得，即，
又双曲线经过点，得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）令，设两条直线的方程分别为和，
设，，由得，
由，得，，
则，，
点，同理得点，
于是直线的斜率，
直线的方程为：，
令，得，因此，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，
由消去得，因此，，
则，
所以.
1 / 1广东省广州市增城区2024-2025学年高三下学期5月模拟测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．满足等式的集合X共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
5．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（　　）
A． B． C． D．
6．设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若函数有最大值，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
假设经验回归方程为，则（　　）
（参考公式：相关系数为）
A．
B．当时，对应的残差为0.04
C．样本数据y的第40百分位数为0.8
D．去掉点后，x与y的样本相关系数r不变
10．已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（　　）
A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切
C． D．B，O，G三点共线
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（　　）
A． B．的图象关于点对称
C． D．（）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等差数列的前n项和为，则　 　．
13．某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有　 　种（用数字作答）．
14．三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，则到平面的距离为　 　；设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）已知，D是BC边的中点，且，求AD的长．
16．如图，在三棱锥中，平面PBC，平面平面ABC．
（1）证明：；
（2）若，PC与平面PAB所成角的正切值为，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．
17．已知函数，直线l是曲线在点处的切线．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在直线l经过点，求实数a的取值范围．
18．某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若，且每个元件正常工作的概率．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
（2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
19．已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简求解即可.
2．【答案】D
【知识点】集合中元素的个数问题；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：方程的实数根有，则解集构成的集合为，
则的集合为，，，，共有4个.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得解集的集合，再根据，结合集合的并集与元素的关系求集合.
3．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，
所以，
所以，又因为，
所以，
所以，
又，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为，即.
故选：B.
【分析】由条件结合投影向量的定义（投影向量是将一个向量投影到另一个向量上得到的向量）可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.
4．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得，故该圆锥的表面积为.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，求底面半径，再根据圆锥的表面积公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意可得，，则，即，.
故答案为：D．
【分析】由题意可得， ，消去可得， 结合对数运算求解即可．
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数在单调递增，则，
由得，则，解得，
故甲是乙的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据函数单调性求出的范围，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
若，在上单调递增，没有最大值，
若，在上单调递减，
要想函数有最大值，则，解得；
若，，函数有最大值1，符合题意；
故实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】易知当时，，分，和结合函数的单调性列不等式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】解：设的平分线交于点D，
则，
所以，
而，
设，则，于是，
所以，
在，由余弦定理可得：，
则，则，即椭圆离心率.
故答案为：C．
【分析】设的平分线交于点D，设，利用余弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系先求出，可得，再利用椭圆的定义，结合余弦定理，离心率公式求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、，
则样本点的中心坐标为，将它代入，得，解得，故A正确；
B、当时，的预测值为，对应的残差为，故B错误；
C、由为整数，则样本数据的第40百分位数为，故C错误；
D、去掉样本点后，新样本数据的平均值没有变化，即仍然成立，
不妨设为第组数据，即，则，其余数据没有变化.
则由相关系数公式可知，
即新样本数据与的相关系数与原数据相关系数相等，即与的样本相关系数不会改变，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据样本数据计算，得样本点中心，将样本中心点代入回归直线方程求解即可判断A；利用回归直线方程代值运算预测求残差即可判断B；根据百分位数求法步骤求解即可判断C；新样本平均值没有变化，由相关系数公式求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，点，
设，
A、直线，联立，消去y得，由韦达定理可得，
则，故A正确；
B、，线段BD中点横坐标，
弦BD中点到准线的距离为，则以BF为直径的圆与准线相切，故B错误；
C、由，得，同理，
则，故C正确．
D、设直线，联立，得，则，
直线，直线OB与准线l交于，
联立，解得，
又因为，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】易知抛物线的焦点坐标和准线方程，直线，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理求解即可判断A；由抛物线的性质即可判断B；结合内错角相等求解即可判断C；设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；简单复合函数求导法则；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、因为，所以，即，
令，得，故A正确；
B、，当时，得，则的图象关于点对称，故B正确；
C、假设成立，求导得，
即，又，所以，所以与矛盾，故C错误；
D、因为，，所以，，，，所以，则数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】对求导可得，再利用赋值法求解即可判断A；当时，两边同时除以可得，求函数的对称中心即可判断B；反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾即可判断C；求出，，推出，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求解即可判断D．
12．【答案】8
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列 公差为，由，可得，
即，解得，则.
故答案为：8.
【分析】设等差数列 公差为，由题意，利用等差数列的求和公式列式，求出公差，再利用等差数列求和公式求解即可.
13．【答案】42
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：6名学生随机分配到3个不同的办公室，有和两种情况，
当按照分配时，甲乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室，
先选一个办公室给甲乙两人，有种方法，将剩余的4人平均分配到两个办公室，有种方法，共有种情况；
当按照分配时，先选一个办公室给甲乙两人，有种方法，将剩余的4人按照1，3分配到两个办公室，有种方法，共有种情况，
综上，共有种情况.
故答案为：42.
【分析】利用分组、分配求解即可.
14．【答案】；
【知识点】平面向量的坐标运算；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】取中点，连接，
因为，，所以，且，
因为是等腰直角三角形，所以，且，
又，满足，所以，
因为，所以平面，
因为点为棱的中点，所以到平面的距离为；
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
则，
则，
设，则可得，
则，则，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
则，
所以，
所以，令，解得，
又，所以在单调递增，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：；.
【分析】取中点，连接，通过得出平面可求出到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系设，利用向量关系表示出，求导可求出最小值.
15．【答案】（1）解：，由正弦定理得．
在内，，则，，
即
因为，所以，
又因为，所以，所以；
（2）解：因为，所以，
因D是BC边的中点，则，
即，所以，
在中，由余弦定理，可得，
即，，
在， ．
【知识点】二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换化简求解即可；
（2）根据，利用等面积法求得，在中，利用余弦定理得，结合勾股定理求解即可.
（1）由正弦定理得：．
在内，，则有，
所以，即
因为，所以，
因为，所以，
所以．
（2）因为，则．
因D是BC边的中点，则，
即，所以．
在中，，
所以，
所以． 所以．
在， ．
16．【答案】（1）证明：过点P作，垂足为O，
因为平面平面ABC，平面平面平面，
所以平面ABC，平面ABC，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
又因为平面PAB，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以；
（2）解：由平面PAB，则PC与平面PAB所成角等于，，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
因为，由（1）知，
所以，，
以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面APC的一个法向量为，则，
令，则，做，
易知平面ABC的一个法向量为．
．
设平面PAC与平面ABC夹角为，则，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点P作，垂足为O，利用面面垂直、线面垂直的性质得、，再利用线面垂直的判定、性质证明即可；
（2）由（1）知PC与平面PAB所成角等于，根据已知求出相关线段的长度，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）过点P作，垂足为O，
因为平面平面ABC，平面平面平面，
所以平面ABC，平面ABC，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
又平面PAB，所以平面PAB．
因为平面PAB，所以．
（2）由平面PAB，则PC与平面PAB所成角等于，
，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
因为，由（1）知，
∴，，
法一：如图，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面APC的一个法向量为，则，
令，则，做，
易知平面ABC的一个法向量为．
．
设平面PAC与平面ABC夹角为，则，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
法二：过点O作，垂足为D，连接PD，
因为，所以平面POD，
由平面POD，所以，所以二面角的平面角为，
因为平面PBC，平面PBC，则，
所以，
因为平面ABC，在直角三角形POD中，，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，解得，
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增；
（2）解：因为，所以，
因为，所以，所以直线l的方程为，
因为l经过点，所以，化简得，
显然，所以，
设，，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以在时取得最小值，，则，即，解得或，
故a的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分、讨论，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）求导，利用导数的几何意义求切线方程，再根据点在切线上得，构造函数设，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得参数范围.
（1）函数定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，，解得，
由，解得，由，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增；
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以直线l的方程为，
因为l经过点，所以，化简得，
显然，所以，
设，又，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以在时取得最小值，，则，
即，解得或，
所以a的取值范围是．
18．【答案】（1）解：①、若，则控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
则，
，
，
控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
②、设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件
则；
（2）解：控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即；
则，
当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）①、由题意可知随机变量服从二项分布，，利用二项分布可得分布列，再求得期望即可；
②、根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率即可；
（2）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.
（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，
②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件
则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为，
（2）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即；
则，
所以，当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
19．【答案】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，得，即，
又双曲线经过点，得，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解： （ⅰ） 令，设两条直线的方程分别为和，
设，，联立，消元整理得，
由，得，，
则，，
点，同理得点，
于是直线的斜率，
直线的方程为：，
令，得，因此，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
即；
（ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，
由消去得，因此，，
则，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据双曲线渐近线方程可得，再根据双曲线经过点求得a，即可得双曲线方程；
（2）（ⅰ）令，设过点的两条直线方程分别为和，联立直线与双曲线方程，求得弦中点坐标，再求出直线的方程，建立的关系，结合等比数列的定义求数列的通项公式即可；
（ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，联立直线与双曲线方程，求出，再利用分组求和及等比数列前项和公式计算推理证明即可.
（1）由双曲线的两条渐近线为，得，即，
又双曲线经过点，得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）令，设两条直线的方程分别为和，
设，，由得，
由，得，，
则，，
点，同理得点，
于是直线的斜率，
直线的方程为：，
令，得，因此，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，
由消去得，因此，，
则，
所以.
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