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广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的最大值为（　　）
A．1 B．0 C．2 D．
2．已知，，，则（　　）
A．2027 B．2028 C．2037 D．2038
3．已知函数 的图象为C，为了得到函数 的图象，只要把C上所有的点（　　）.
A．向右平行移动 个单位长度
B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度
D．向左平行移动 个单位长度
4．若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
5．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（　　）
A． B． C．或 D．
6．在中，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．当时，曲线与的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
8．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．向量，，则与的夹角余弦值为
D．向量，，则在方向上的投影向量为
10．如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（　　）
A．函数的周期是
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
11．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦面积公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（　　）
A．的周长为
B．三个内角，，满足
C．外接圆的半径为
D．的中线的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的最小正周期是　 　.
13．在中，若，，则向量的坐标为　 　.
14．如图，与存在对顶角，，且，（1）则的长　 　；（2）若，则的长　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角C的大小；
（2）求的值．
16．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最值.
17．已知向量满足.
（1）若向量的夹角为，求的值；
（2）若，求向量的坐标.
18．已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的的取值集合．
19．1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数，易知当时，有最大值.
故答案为：C.
【分析】根据正弦函数性质求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
易知，则.
故答案为：C．
【分析】根据平面向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算公式求解即可．
3．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】把 的图像向右平移 个单位长度，
得到 的图像.
故答案为：C
【分析】结合已知条件由函数平移的性质和正弦函数的图象即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】弦切互化；二倍角的正切公式
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式变形，从而求出角的正切值，再利用二倍角的正切公式，从而求出角的正切值。
5．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由和正弦定理，
因为，
所以或.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和正弦定理，从而得出角C的值.
6．【答案】A
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： 在中，，
由余弦定理可得：，解得，
则的面积为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先分别求函数和的周期，根据函数的周期性，结合五点法画出两函数在上的图象，数形结合求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，
故选：B.
【分析】
由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、在方向上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可判断A；逆用两角和的正切公式求解即可判断B；利用向量的夹角公式求解即可判断C；根据投影向量的定义求解即可判断D．
10．【答案】A,B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得，，则，解得，
即函数的最小正周期是，故A正确；
又，所以，所以，
因为，所以，所以，
又因为，
所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；
因为，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位得到，
显然为非奇非偶函数，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据函数图象过求周期从而求，再根据图象过点求，即可得到函数解析式，根据正弦函数的性质即可判断ABC；根据三角函数图象的平移变化，结合奇偶性求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由，
根据正弦定理可得，
设，则，
解得，即，
A、的周长为，故A正确；
B、由余弦定理得，而，
则，，因此，故B正确；
C、由正弦定理得外接圆的直径，即，故C错误；
D、由，得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正弦定理可得，设，利用面积公式求得，确定的边长，计算周长即可判断A；利用余弦定理求解即可判断B；利用正弦定理求解外接圆得半径即可判断C；由，结合向量的数量积运算求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：函数的最小正周期.
故答案为：.
【分析】直接利用正切函数的最小正周期公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为四边形为平行四边形，所以，
故答案为：.
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合向量的坐标运算求解即可.
14．【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：（1）设，，则，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，得，
化简得，则为中点，即；
（2）如图：
过点做，交与，则，
由，
所以，又，所以，所以，
所以，又，，所以，
由，
所以，
又，所以，所以，
所以，即，
在中，根据正弦定理可得.
故答案为：，.
【分析】（1）设，求得，，在和中，利用余弦定理分别表示出与，再根据列式化简求解即可；
（2）过点做，交与，由题意，利用三角形全等先确定角的数量关系，再根据求角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求角的余弦值，再在中，利用正弦定理求的长即可．
15．【答案】（1）解：，
则，因为，所以；
（2）解：，由正弦定理，可得，
因为，所以．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理计算即可；
（2）利用（1）的结论，结合正弦定理计算即可.
（1），
，
．
（2），
，
，
．
16．【答案】（1）解：，
则函数的最小正周期为；
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
当时，即时，最大值为，
当时，即时，最小值为，
综上，的最大值为1，最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再由正弦型函数的周期公式求解即可；
（2）由（1）知，由正弦型函数的值域代入计算即可.
（1）因为，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
因为，所以
当时，即时，最大值为
当时，即时，最小值为
综上，的最大值为1，最小值为.
17．【答案】（1）解：，且向量的夹角为，
则，
则；
（2）解：设，由，且，可得，解得或，
则或.
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）先根据向量的数量积求，再根据向量的模长公式求解即可；
（2）设，根据向量平行以及向量的模长列方程组求解即可.
（1）因为，且向量的夹角为，
则，
则.
（2）设，因为，且，
则，解得或，
所以或.
18．【答案】（1）解：由题意：函数，
化简得：
的最大值为1，，解得：．
（2）解：由（1）可知．
根据三角函数的性质可得：（）．
即，（）
解得：，（），
的单调递减区间为，；
（3）解：由题意：，即，
可得：．
，（）．
解得：．（）
成立的的取值范围是．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角和与差的正弦公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象求最值的方法，进而得出a的值。
（2）由（1）中求出的a的值得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象判断正弦函数的单调性的方法，进而求出正弦型函数的单调递减区间。
（3）由（1）中求出的a的值得出函数的解析式，再利用已知条件结合正弦型函数的图象，从而求出使成立的的取值集合。
19．【答案】（1）解：由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，，
则，
所以.
（2）解：由，，得，，
且，
所以，，，
则，，
因为与的夹角为，则，解得.
又，，所以；
（3）解：依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以
，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）设，利用向量数量积的定义和运算律求向量模长即可求解；
（2）设，，且，向量数量积的运算律可得和模长，再利用夹角公式求夹角余弦值，即可求解；
（3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值.
（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，，
则，，
因为与的夹角为，则，解得.
又，，所以；
（3）依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则.
1 / 1广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的最大值为（　　）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数，易知当时，有最大值.
故答案为：C.
【分析】根据正弦函数性质求解即可.
2．已知，，，则（　　）
A．2027 B．2028 C．2037 D．2038
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
易知，则.
故答案为：C．
【分析】根据平面向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算公式求解即可．
3．已知函数 的图象为C，为了得到函数 的图象，只要把C上所有的点（　　）.
A．向右平行移动 个单位长度
B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度
D．向左平行移动 个单位长度
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】把 的图像向右平移 个单位长度，
得到 的图像.
故答案为：C
【分析】结合已知条件由函数平移的性质和正弦函数的图象即可得出答案。
4．若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弦切互化；二倍角的正切公式
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式变形，从而求出角的正切值，再利用二倍角的正切公式，从而求出角的正切值。
5．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由和正弦定理，
因为，
所以或.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和正弦定理，从而得出角C的值.
6．在中，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： 在中，，
由余弦定理可得：，解得，
则的面积为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解即可.
7．当时，曲线与的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先分别求函数和的周期，根据函数的周期性，结合五点法画出两函数在上的图象，数形结合求解即可.
8．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，
故选：B.
【分析】
由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．向量，，则与的夹角余弦值为
D．向量，，则在方向上的投影向量为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、在方向上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可判断A；逆用两角和的正切公式求解即可判断B；利用向量的夹角公式求解即可判断C；根据投影向量的定义求解即可判断D．
10．如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（　　）
A．函数的周期是
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
【答案】A,B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得，，则，解得，
即函数的最小正周期是，故A正确；
又，所以，所以，
因为，所以，所以，
又因为，
所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；
因为，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位得到，
显然为非奇非偶函数，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据函数图象过求周期从而求，再根据图象过点求，即可得到函数解析式，根据正弦函数的性质即可判断ABC；根据三角函数图象的平移变化，结合奇偶性求解即可判断D.
11．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦面积公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（　　）
A．的周长为
B．三个内角，，满足
C．外接圆的半径为
D．的中线的长为
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由，
根据正弦定理可得，
设，则，
解得，即，
A、的周长为，故A正确；
B、由余弦定理得，而，
则，，因此，故B正确；
C、由正弦定理得外接圆的直径，即，故C错误；
D、由，得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正弦定理可得，设，利用面积公式求得，确定的边长，计算周长即可判断A；利用余弦定理求解即可判断B；利用正弦定理求解外接圆得半径即可判断C；由，结合向量的数量积运算求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的最小正周期是　 　.
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：函数的最小正周期.
故答案为：.
【分析】直接利用正切函数的最小正周期公式求解即可.
13．在中，若，，则向量的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为四边形为平行四边形，所以，
故答案为：.
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合向量的坐标运算求解即可.
14．如图，与存在对顶角，，且，（1）则的长　 　；（2）若，则的长　 　.
【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：（1）设，，则，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，得，
化简得，则为中点，即；
（2）如图：
过点做，交与，则，
由，
所以，又，所以，所以，
所以，又，，所以，
由，
所以，
又，所以，所以，
所以，即，
在中，根据正弦定理可得.
故答案为：，.
【分析】（1）设，求得，，在和中，利用余弦定理分别表示出与，再根据列式化简求解即可；
（2）过点做，交与，由题意，利用三角形全等先确定角的数量关系，再根据求角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求角的余弦值，再在中，利用正弦定理求的长即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角C的大小；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
则，因为，所以；
（2）解：，由正弦定理，可得，
因为，所以．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理计算即可；
（2）利用（1）的结论，结合正弦定理计算即可.
（1），
，
．
（2），
，
，
．
16．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最值.
【答案】（1）解：，
则函数的最小正周期为；
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
当时，即时，最大值为，
当时，即时，最小值为，
综上，的最大值为1，最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再由正弦型函数的周期公式求解即可；
（2）由（1）知，由正弦型函数的值域代入计算即可.
（1）因为，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
因为，所以
当时，即时，最大值为
当时，即时，最小值为
综上，的最大值为1，最小值为.
17．已知向量满足.
（1）若向量的夹角为，求的值；
（2）若，求向量的坐标.
【答案】（1）解：，且向量的夹角为，
则，
则；
（2）解：设，由，且，可得，解得或，
则或.
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）先根据向量的数量积求，再根据向量的模长公式求解即可；
（2）设，根据向量平行以及向量的模长列方程组求解即可.
（1）因为，且向量的夹角为，
则，
则.
（2）设，因为，且，
则，解得或，
所以或.
18．已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的的取值集合．
【答案】（1）解：由题意：函数，
化简得：
的最大值为1，，解得：．
（2）解：由（1）可知．
根据三角函数的性质可得：（）．
即，（）
解得：，（），
的单调递减区间为，；
（3）解：由题意：，即，
可得：．
，（）．
解得：．（）
成立的的取值范围是．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角和与差的正弦公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象求最值的方法，进而得出a的值。
（2）由（1）中求出的a的值得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象判断正弦函数的单调性的方法，进而求出正弦型函数的单调递减区间。
（3）由（1）中求出的a的值得出函数的解析式，再利用已知条件结合正弦型函数的图象，从而求出使成立的的取值集合。
19．1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.
【答案】（1）解：由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，，
则，
所以.
（2）解：由，，得，，
且，
所以，，，
则，，
因为与的夹角为，则，解得.
又，，所以；
（3）解：依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以
，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）设，利用向量数量积的定义和运算律求向量模长即可求解；
（2）设，，且，向量数量积的运算律可得和模长，再利用夹角公式求夹角余弦值，即可求解；
（3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值.
（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，，
则，，
因为与的夹角为，则，解得.
又，，所以；
（3）依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则.
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