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广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，又，
所以．
故答案为：C．
【分析】解一元二次不等式求出集合，根据交集的运算即可得解．
2．“”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当时，与不一定相等，比如，，即必要性不成立，
则“”是“”的充分非必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
3．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：因为向量与向量共线，
所以，即，
又因为，是两个不共线的向量，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量共线定理列式求解即可.
4．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：直观图的原图，如图所示：
易知为直角三角形，其中，则的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据斜二测画法求直观图的原图，求得相应边长，易知为直角三角形，结合三角形的面积公式求解即可.
5．已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
因为的面积为3，所以 ，解得，
由余弦定理，可得 .
故答案为：C.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合三角形面积公式求得b，再根据余弦定理求c即可.
6．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，
满足，则函数为奇函数，排除BD；
，排除C.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再根据函数的奇偶性、特殊点函数值判断即可.
7．已知函数，下列结论正确的是（　　）
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C．在区间上有3个零点
D．的最小值为-1
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
A、，则是偶函数，
因为，所以不是奇函数，故A错误；
B、当时，，
函数在上单调递减，因此在区间上单调递增，故B错误；
C、当时，，由，得，
当时，，令，得或，则在区间上有3个零点，故C正确；
D、当时，，，
由是偶函数，得，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义求解即可判断A；当时，，根据正弦函数的单调性即可判断B；分和求函数的解析式，再令求零点，即可判断C；利用奇偶性、单调性求最值即可判断D.
8．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数和函数的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点，
且横坐标分别为，
由，得，
则，所以，所以．
由于二次函数图象的对称轴为直线，
则点两点关于直线对称，
所以．则．
令，解得或，
所以，
所以．
故答案为：A.
【分析】如图，由可得，结合对数的运算法则得出，由二次函数图象的对称轴为直线可得，从而得出，再结合得出的取值范围.
二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知下列四个命题为真命题的是（　　）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为
【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，且为非零向量，
可知，故选项A正确；
对于选项B，在四边形中，有，
由平行四边形判定定理可得，四边形为平行四边形，故选项B正确；
对于选项C，因为，，
则，即，则，不能作为平面向量的一组基底，故选项C错误；
对于选项D，因为，，则，，
则向量在向量上的投影向量为，
所以在方向上的投影向量的模为，故选项D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由向量共线定理、平行四边形判断方法、基底的判断方法和数量积求投影向量的方法以及向量求模公式，从而逐项判断找出真命题的选项．
10．已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（　　）
A．若为纯虚数，则 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、复数，，
若为纯虚数，则，即，故A错误；
B、，
因为，所以，从而，故正确；
C、 由复数模的三角不等式可得，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】根据复数代数形式的乘法运算，结合复数的概念列式求解即可判断AB；根据复数模的三角不等式的定义即可判断C；根据共轭复数的定义以及复数代数形式的乘法运算、复数模的定义求解即可判断D．
11．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（　　）
A．
B．在上单调递增
C．
D．在上的实数根之和为
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、由函数是定义在上的奇函数，可得，
由，令，则，即，
则，故A正确；
B、由，得，即，
故，即8为函数的一个周期，
由，可知函数的图象关于直线对称，
又当时，，故可作出函数的图象如图：
由图象可知在上单调递减，故B错误；
C、由于函数是定义在上的奇函数，且满足，
故，故C正确；
D、当时，显然不满足，故的根即的根，也即函数的图象的交点的横坐标，作出的图象，如图所示：
由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称，则交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据函数为奇函数可得，再由，利用赋值法求即可判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，作出函数的图象，求单调区间即可判断B；利用函数的奇偶性即可判断C；问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，作出的图象，数形结合即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，，若，则=　 　
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：，，，若，
则，即，求得，故.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直以及模的坐标表示求解即可.
13．如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为　 　海里．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：，，
，，
由正弦定理，可得海里.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理求解即可.
14．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为　 　；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为　 　.
【答案】；
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：记该八面体为，O为正方形的中心，则平面，
设，则，解得，
在正方形中，，则，
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为，
故该正八面体外接球的体积为，
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，
取的中点E，连接，，如图所示：
则，
又因为，，所以平面，
过O作于H，又，，所以平面，
又因为，所以，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：，.
【分析】记该八面体为，O为正方形的中心，设， 根据正八面体的表面积为，求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，再利用球的体积公式求体积即可；若球O在正八面体内，若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，取的中点E，连接，，证得平面，再利用，可得，即可求得半径.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.
15．已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，若，求的值.
【答案】解：（1）因为，，
所以，
则
，
即，的最小正周期是；
（2）由，得，
因为，所以，
所以，所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求函数，再求函数的最小正周期即可；
（2）由，得，先求的范围，再求在范围内满足条件的值．
16．在中，角A、、所对的边为、、，.
（1）求角的大小；
（2）若面积为，周长为5，求的值.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得.
，代入整理可得，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：由及，可得，
因为的周长为5，所以，所以，
根据余弦定理可得，整理可得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求得，再根据的范围，求角的大小即可；
（2）由的面积求得，根据的周长可得，再利用余弦定理求解即可.
（1）由已知结合正弦定理边化角可得，.
又，
代入整理可得，.
因为，所以.
又，所以.
（2）由及可得，.
又周长为5，则，所以.
根据余弦定理可得，，
整理可得，.
17．如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、．
（1）画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积；
（2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值．
【答案】（1）解：取的中点，连接，
因为是的中点，所以，
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四点共面，
因为三点不共线，所以四点共面于平面，
所以面即为平面截正方体所得的截面，
截面为梯形，，
，，
同理可得，
如图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
所以，
故梯形的面积为；
（2）解：易知多面体为三棱台，，
，
该棱台的高为2，该棱台的体积为，
剩余部分的体积为，
故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为．
【知识点】棱柱的结构特征；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线的性质，结合平行线的传递性可证得，可知四点共面，再由三点不共线，得出面即为平面截正方体所得的截面，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式求截面面积即可；
（2）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果.
（1）如图，取的中点，连接.
因为是的中点，所以.
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以四点共面.
因为三点不共线，所以四点共面于平面，
所以面即为平面截正方体所得的截面.
截面为梯形，，
，，
同理可得，
如图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
所以，
故梯形的面积为
（2）易知多面体为三棱台，，
，
该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为
，
故剩余部分的体积为．
故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为．
18．已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：若在上单调递增，则，解得，即的取值范围为；
（2）解：，
由于，，故，
由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，
因此对任意的恒成立，
因此对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
由于，当且仅当时取到等号，
故.
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据对数有意义，结合二次函数以及对数复合函数的单调性列式求解即可；
（2），利用二次函数的性质求解的最值，根据对任意的恒成立，分离参数，对任意的恒成立，再利用基本不等式求解即可.
（1）若在上单调递增，则需满足，解得
（2），
由于，，故，
由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立，
因此对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
由于，当且仅当时取到等号，
故
19．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
（1）函数是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数在上有“飘移点”；
（3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：不存在，理由如下：
对于，则，整理得，
∵，则该方程无解，
∴函数不存在“飘移点”
（2）证明：对于，则，整理得，
∵在内连续不断，且，
∴在内存在零点，则方程在内存在实根，
故函数在上有“飘移点”.
（3）解：对于，则，即，
∵，则，
令，则，
∴，
又∵，当且仅当，即时等号成立，
则，，
∴，即，
故实数a的取值范围为
【知识点】基本不等式；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据题意，整理可得，通过判断，即可判断该方程是否有解；
（2）根据题意可得，构建函数，结合零点存在性定理分析证明；
（3）根据题意整理得，利用换元法结合基本不等式求解即可.
1 / 1广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2
4．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（　　）
A． B．2 C．4 D．
5．已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知函数，下列结论正确的是（　　）
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C．在区间上有3个零点
D．的最小值为-1
8．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知下列四个命题为真命题的是（　　）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为
10．已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（　　）
A．若为纯虚数，则 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．
11．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（　　）
A．
B．在上单调递增
C．
D．在上的实数根之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，，若，则=　 　
13．如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为　 　海里．
14．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为　 　；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.
15．已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，若，求的值.
16．在中，角A、、所对的边为、、，.
（1）求角的大小；
（2）若面积为，周长为5，求的值.
17．如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、．
（1）画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积；
（2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值．
18．已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
19．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
（1）函数是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数在上有“飘移点”；
（3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，又，
所以．
故答案为：C．
【分析】解一元二次不等式求出集合，根据交集的运算即可得解．
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当时，与不一定相等，比如，，即必要性不成立，
则“”是“”的充分非必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：因为向量与向量共线，
所以，即，
又因为，是两个不共线的向量，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量共线定理列式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：直观图的原图，如图所示：
易知为直角三角形，其中，则的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据斜二测画法求直观图的原图，求得相应边长，易知为直角三角形，结合三角形的面积公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
因为的面积为3，所以 ，解得，
由余弦定理，可得 .
故答案为：C.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合三角形面积公式求得b，再根据余弦定理求c即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，
满足，则函数为奇函数，排除BD；
，排除C.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再根据函数的奇偶性、特殊点函数值判断即可.
7．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
A、，则是偶函数，
因为，所以不是奇函数，故A错误；
B、当时，，
函数在上单调递减，因此在区间上单调递增，故B错误；
C、当时，，由，得，
当时，，令，得或，则在区间上有3个零点，故C正确；
D、当时，，，
由是偶函数，得，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义求解即可判断A；当时，，根据正弦函数的单调性即可判断B；分和求函数的解析式，再令求零点，即可判断C；利用奇偶性、单调性求最值即可判断D.
8．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数和函数的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点，
且横坐标分别为，
由，得，
则，所以，所以．
由于二次函数图象的对称轴为直线，
则点两点关于直线对称，
所以．则．
令，解得或，
所以，
所以．
故答案为：A.
【分析】如图，由可得，结合对数的运算法则得出，由二次函数图象的对称轴为直线可得，从而得出，再结合得出的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，且为非零向量，
可知，故选项A正确；
对于选项B，在四边形中，有，
由平行四边形判定定理可得，四边形为平行四边形，故选项B正确；
对于选项C，因为，，
则，即，则，不能作为平面向量的一组基底，故选项C错误；
对于选项D，因为，，则，，
则向量在向量上的投影向量为，
所以在方向上的投影向量的模为，故选项D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由向量共线定理、平行四边形判断方法、基底的判断方法和数量积求投影向量的方法以及向量求模公式，从而逐项判断找出真命题的选项．
10．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、复数，，
若为纯虚数，则，即，故A错误；
B、，
因为，所以，从而，故正确；
C、 由复数模的三角不等式可得，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】根据复数代数形式的乘法运算，结合复数的概念列式求解即可判断AB；根据复数模的三角不等式的定义即可判断C；根据共轭复数的定义以及复数代数形式的乘法运算、复数模的定义求解即可判断D．
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、由函数是定义在上的奇函数，可得，
由，令，则，即，
则，故A正确；
B、由，得，即，
故，即8为函数的一个周期，
由，可知函数的图象关于直线对称，
又当时，，故可作出函数的图象如图：
由图象可知在上单调递减，故B错误；
C、由于函数是定义在上的奇函数，且满足，
故，故C正确；
D、当时，显然不满足，故的根即的根，也即函数的图象的交点的横坐标，作出的图象，如图所示：
由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称，则交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据函数为奇函数可得，再由，利用赋值法求即可判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，作出函数的图象，求单调区间即可判断B；利用函数的奇偶性即可判断C；问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，作出的图象，数形结合即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：，，，若，
则，即，求得，故.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直以及模的坐标表示求解即可.
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：，，
，，
由正弦定理，可得海里.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理求解即可.
14．【答案】；
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：记该八面体为，O为正方形的中心，则平面，
设，则，解得，
在正方形中，，则，
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为，
故该正八面体外接球的体积为，
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，
取的中点E，连接，，如图所示：
则，
又因为，，所以平面，
过O作于H，又，，所以平面，
又因为，所以，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：，.
【分析】记该八面体为，O为正方形的中心，设， 根据正八面体的表面积为，求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，再利用球的体积公式求体积即可；若球O在正八面体内，若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，取的中点E，连接，，证得平面，再利用，可得，即可求得半径.
15．【答案】解：（1）因为，，
所以，
则
，
即，的最小正周期是；
（2）由，得，
因为，所以，
所以，所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求函数，再求函数的最小正周期即可；
（2）由，得，先求的范围，再求在范围内满足条件的值．
16．【答案】（1）解：，由正弦定理可得.
，代入整理可得，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：由及，可得，
因为的周长为5，所以，所以，
根据余弦定理可得，整理可得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求得，再根据的范围，求角的大小即可；
（2）由的面积求得，根据的周长可得，再利用余弦定理求解即可.
（1）由已知结合正弦定理边化角可得，.
又，
代入整理可得，.
因为，所以.
又，所以.
（2）由及可得，.
又周长为5，则，所以.
根据余弦定理可得，，
整理可得，.
17．【答案】（1）解：取的中点，连接，
因为是的中点，所以，
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四点共面，
因为三点不共线，所以四点共面于平面，
所以面即为平面截正方体所得的截面，
截面为梯形，，
，，
同理可得，
如图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
所以，
故梯形的面积为；
（2）解：易知多面体为三棱台，，
，
该棱台的高为2，该棱台的体积为，
剩余部分的体积为，
故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为．
【知识点】棱柱的结构特征；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线的性质，结合平行线的传递性可证得，可知四点共面，再由三点不共线，得出面即为平面截正方体所得的截面，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式求截面面积即可；
（2）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果.
（1）如图，取的中点，连接.
因为是的中点，所以.
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以四点共面.
因为三点不共线，所以四点共面于平面，
所以面即为平面截正方体所得的截面.
截面为梯形，，
，，
同理可得，
如图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
所以，
故梯形的面积为
（2）易知多面体为三棱台，，
，
该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为
，
故剩余部分的体积为．
故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为．
18．【答案】（1）解：若在上单调递增，则，解得，即的取值范围为；
（2）解：，
由于，，故，
由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，
因此对任意的恒成立，
因此对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
由于，当且仅当时取到等号，
故.
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据对数有意义，结合二次函数以及对数复合函数的单调性列式求解即可；
（2），利用二次函数的性质求解的最值，根据对任意的恒成立，分离参数，对任意的恒成立，再利用基本不等式求解即可.
（1）若在上单调递增，则需满足，解得
（2），
由于，，故，
由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立，
因此对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
由于，当且仅当时取到等号，
故
19．【答案】（1）解：不存在，理由如下：
对于，则，整理得，
∵，则该方程无解，
∴函数不存在“飘移点”
（2）证明：对于，则，整理得，
∵在内连续不断，且，
∴在内存在零点，则方程在内存在实根，
故函数在上有“飘移点”.
（3）解：对于，则，即，
∵，则，
令，则，
∴，
又∵，当且仅当，即时等号成立，
则，，
∴，即，
故实数a的取值范围为
【知识点】基本不等式；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据题意，整理可得，通过判断，即可判断该方程是否有解；
（2）根据题意可得，构建函数，结合零点存在性定理分析证明；
（3）根据题意整理得，利用换元法结合基本不等式求解即可.
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